Algebra lineare - concetti generali

Proprietà del determinante

Sia A una matrice n x n e sia A' ottenuta da A sostituendo la riga i con la somma della riga i-esima e il suo multiplo λA. Allora il determinante di A' è uguale a det(A) + λdet(A).

Dimostriamo come questa proprietà segua da (1) e (2). Possiamo supporre i < j senza perdita di generalità. Allora:

det(A') = det(A, ..., A + λA, ..., A, ..., A) = det(A, ..., A, ..., A, ..., A) + det(A, ..., λA, ..., A, ..., A) = det(A) + λdet(A)

(La seconda e terza uguaglianza seguono dalla linearità rispetto all'i-esimo argomento, la quarta segue dall'alternanza.)

0 ≤ 6 ≤ ×(5)

Sia i = j = n e sia A la matrice n x n ottenuta dalla matrice A scambiando la riga i con la riga j. Allora:

det(A') = -det(A)

Per dimostrare questa proprietà, consideriamo la matrice B ottenuta da A sostituendo sia la riga i-esima, sia la riga j-esima con la somma delle due righe. Allora B ha determinante nullo per l'alternanza e otteniamo:

0 = det(B) = det(A, ..., A + A, ..., A + A, ..., A) = det(A) + det(A)

Tutti i suoi elementi posti sotto la diagonale sono nulli (cioè se t = 0 per tutti gli i e j tali che 1 ≤ j ≤ i ≤ n). T si dice strettamente triangolare superiore se è triangolare superiore e in più anche i termini diagonali sono tutti nulli (cioè t = 0 per tutti gli i e j tali che i ≤ j ≤ n). Analogamente, T si dice triangolare inferiore se tutti i termini posti sopra la diagonale sono nulli e strettamente triangolare inferiore se in più anche la diagonale è nulla.

Osserviamo che una matrice quadrata a scala è necessariamente triangolare superiore.

Dalle proprietà (4) e (5) otteniamo direttamente il risultato seguente.

Proposizione 2. Se la matrice triangolare T è ottenuta dalla matrice A mediante eliminazione di Gauss, allora |det(A)| = |det(T)| (qui le barre laterali indicano il valore assoluto). Si ha det(A) = det(T) se il numero totale di scambi di righe fatti durante l'algoritmo è pari; mentre det(A) = -det(T) se il numero di scambi di righe fatti durante l'algoritmo è dispari.

righe è dispari.

Esempio 4. 0 1 2 1 1 3 1 1 3− −(a) 1 1 3 = 0 1 2 = 0 1 21 1 4 1 1 4 0 0 10 0 2 3 1 2 3 1 2−(b) = =+3 1 2 0 0 2 0 1 50 1 5 0 1 5 0 0 2

Come vedremo, il calcolo del determinante di una matrice triangolare è immediato. Per questo l'eliminazione di Gauss può essere un buon metodo per il calcolo di un determinante.

Dalla proprietà (4) e dalla multilinearità otteniamo invece facilmente il risultato seguente.

Proposizione 3. Se una riga di A è combinazione delle altre (in particolare se A ha una riga nulla), allora det A = 0.

Dimostrazione. Supponiamo che, per un certo i (1 i n), A sia combinazione delle altre righe di A: A = λ A . Sottraendo alla i-esima riga λ A per ogni i j j j jj6 =i 06j = i, trasformiamo A in una matrice A che ha la i-esima riga nulla e le altre righe uguali a quelle di A. Per la proprietà (4) det A = det A. Ma, per la proprietà di omogeneità rispetto alla i-esima riga, dal fatto che la i-esima

riga di A è nulla, segue che det A = 0, quindi che det A = 0. A questo punto diamo una formula generale per il calcolo del determinante.

Sviluppi di Laplace. Precisiamo le notazioni. Sia A = (a_ij), 1 ≤ i, j ≤ n. Per ogni coppia (i, j) indichiamo inoltre con A_ij la matrice (n-1)×(n-1) ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna. Infine, per brevità, per ogni matrice B denotiamo det B con |B|.

Parliamo di sviluppi di Laplace, al plurale, perché in realtà abbiamo 2n formule equivalenti, una per ogni riga e una per ogni colonna. Le formule sono di tipo ricorsivo:

|A| = a_1j|A_1j| - a_2j|A_2j| + ... + (-1)^n+ja_nj|A_nj|

Se A è una matrice 1×1, allora |A| è uguale all'unico elemento di A.

Se A è una matrice n×n con n > 1, uno sviluppo di Laplace riduce il calcolo di |A| al calcolo di n determinanti (n-1)×(n-1). Ricorsivamente, ogni determinante è ridotto al calcolo di determinanti 1×1, che sono noti.

Sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima riga.

i+j|A| |A |.= (−1) a_ij i_jj=1

Nella formula i è fisso; al variare di j gli a percorrono la i-esima riga; i segni i^i+j − −(−1) , al variare di j, sono + e alternati: si parte con + se i è dispari, con è pari.

Sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima colonna.

nX i+j|A| |A |.= (−1) a_ij i_ji=1

Qui è j che è fisso; al variare di i gli a percorrono la j-esima colonna; la regola dei segni è analoga al caso precedente.

7Esempi. ×5. Calcolo di un determinante 2 2. Scriviamo cosa è il determinante di ×una generica matrice 2 2. Utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga. (Ovviamente utilizzando gli altri sviluppi possibili dobbiamo ottenere lo stesso risultato.)

a b 1+1 1+2 −= (−1) ad + (−1) bc = ad bc.

c d ×Quindi il determinante di una matrice 2 2 è la differenza dei “prodotti incrociati”.

6. Per il calcolo seguente utilizziamo ancora lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga.

2 3 4 1

2 1 2 1 11+1 1+2 1+3= (−1) 21 1 2 + (−1) 3 + (−1) 4 =2 3 1 3 1 21 2 3 − − − − −2 −2(3 4) 3(3 2) + 4(2 1) = 3 + 4 = 37. Per il calcolo seguente utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla secondacolonna: questa scelta è la più conveniente perché la seconda colonna ha solo dueelementi non nulli (gli elementi nulli della colonna danno un contributo nullo allasommatoria).

2 0 4 5 2 4 52 4 51 3 2 0 3+22+2 + (−1) 2 1 2 0 == (−1) 3 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 1 11 0 1 1 ×[il primo dei due determinanti 3 3 scritti sopra è nullo per la Proposizione 3,perché la seconda riga e la terza sono proporzionali]2 4 5 1 2 2 41+3 3+3−2−2 = (−1) 5 + (−1) 1 == 0 + 1 2 0 1 1 1 21 1 1 −2(5(1 −= 2) + 0) = 10×[per il determinante 3 3 abbiamo usato lo sviluppo di Laplace rispetto alla terzacolonna.]

88. Determinante di una matrice triangolare. Sia T una matrice triangolaresuperiore,

··· ···
···t t11 1n.... .0 .t 
 T = . 
.. ...... 
... . ···0 0 tnn

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo
··· ···
t t22 2n.... .0 .det T = t .. ..11 .... ... .···0 0 tnn

Quindi, con una facile induzione
· · ·
det T = t t t .11 22 nn

Supponiamo ora che T sia una matrice triangolare inferiore,
···t 0 0
 
11.. .... ... .. .
 T = . 
. .... 
. 0 ··· ···
t tn1 nn

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga otteniamo
···t 0 0
22.. .... ... .. .
det T = t ..11 .. .. 0··· ···
t tn1 nn

Induttivamente,
· · ·
det T = t t t .11 22 nn

9. Per il prossimo calcolo utilizziamo insieme la proprietà (4), le formule di Laplacee

L'esempio precedente. 0 2 0 02 4 2 4 1 1 1 21 1 1 2 ==1 3 1 3 1 3 1 31 2 3 31 2 3 3 91 1 2 1 1 21 1 2 −2−2 =4= 0 0 1 =2 0 2 0= 1 1 3 0 0 11 3 3 0 2 0

[In ordine abbiamo: sottratto alla prima riga la seconda riga moltiplicata per 2;applicato lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga; ridotto a scala la ma-×trice 3 3 ottenuta, tenendo conto che uno scambio di righe cambia di segno ildeterminante; usato l’esempio 8.]

Nell’esempio 8 abbiamo mostrato che il determinante di una matrice triangolareè il prodotto dei termini diagonali. In particolare, il determinante di una matricetriangolare è non nullo se e solo se tutti i suoi termini diagonali sono diversi da0. Limitiamoci per il momento a considerare una matrice triangolare superioreT . Se tutti i termini diagonali di T sono non nulli, allora T è una matrice scalacon tutte le righe non nulle, quindi ha rango n. Questa osservazione permettedi provare facilmente quella che abbiamo chiamato la

Proprietà fondamentale del determinante: × 6

Proposizione 4. Sia A una matrice n n. Allora det A = 0 se e solo se rk A = n. Equivalentemente, A è invertibile se e solo se det A = 0.

Dimostrazione. A può essere ridotta ad una matrice a scala T mediante eliminazione di Gauss. T è triangolare e ha rango n se e solo se ha tutti i termini diagonali non nulli (deve avere n pivot), quindi se e solo se det T = 0. Poiché |det |det |, rk A = rk T e A| = T otteniamo la tesi.

Formula per l'inversa di una matrice. Diamo ora una formula per calcolare l'inversa di una matrice A con det A = 0. Conserviamo le notazioni introdotte per gli sviluppi di Laplace e definiamo A come la matrice che ha come elemento di posizione (i, j) i+j |A |(-1) ije 0* tA = A . Allora 1 ** -16 A .AA = (detA)I , quindi, se det