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Algebra lineare - concetti generali Appunti scolastici Premium

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: la determinante, la proprietà fondamentale, la proprietà determinante, gli esempi, la matrice,i teoremi, le dimostrazioni, le definizioni, gli sviluppi di Laplace, il calcolo... Vedi di più

Esame di Algebra lineare docente Prof. P. Cellini

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2 t

Proposizione 1. Per ogni matrice A, det A = det A.

Proprietà che definiscono il determinante.

(1) det è una funzione multilineare delle righe di A;

(2) det è una funzione alternante delle righe di A;

×

(3) det I = 1 (dove I è la matrice identità n n).

n n

Spieghiamo il significato delle prime due proprietà.

(1) Per ogni i compreso tra 1 e n, se fissiamo le righe diverse dalla i-esima e facciamo

n

variare solo la riga A , otteniamo una funzione di in La proprietà di

R R.

i

multilinearità vuol dire che ognuna di queste funzioni è lineare, cioè:

0 00 0

det (A , . . . , A + A , . . . , A ) = det (A , . . . , A , . . . , A )

1 n 1 n

i i i

00

+ det (A , . . . , A , . . . , A )

1 n

i

0 00 n

e A in

per ogni A e

R

i i , . . . , λA , . . . , A ) = λdet (A , . . . , A , . . . , A ),

det (A 1 i n 1 i n

n ∈

per ogni A in e λ

R R.

i

(2) La proprietà di alternanza vuol dire questo: se due righe della matrice A sono

uguali, allora il determinante di A è nullo, cioè

≤ 6 ≤

se esistono i, j tali che 1 i = j n e A = A , allora det (A , . . . , A ) = 0.

i j 1 n

|A|.

Notazione. Indicheremo talvolta det A con Se A è data esplicitamente come

|a |,

tabella (a ), scriveremo semplicemente omettendo le parentesi tonde.

ij ij

Esempi.  

1 2 3

1. Consideriamo la matrice 4 5 6 . La sua prima riga è uguale a 1(1 0 0) +

 

7 8 9

2(0 1 0) + 3(0 0 1), quindi utilizzando la linearità rispetto alla prima riga abbiamo

che 1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

4 5 6 =1 4 5 6 +2 4 5 6 +3 4 5 6 .

7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 3

     

1 1 2 2 2 4

1 1 2

2. Sia A = 0 2 0 , B = 0 2 0 , C = 0 4 0 .

     

1 0 1 3 0 3 2 0 2

A e B hanno le prime due righe uguali, mentre la terza riga di B è uguale a 3

per la terza riga di A, quindi det B = 3det A.

Si ha inoltre C = 2A, ovvero ogni riga di C è uguale alla anologa riga di A

mltiplicata per 2. Dalla proprietà di omogeneità, applicata a ciascuna riga, si

ottiene quindi 3

detC = 2 det A.

 

1 1 2

3. Sia A = 1 2 1 . Allora per la proprietà di alternanza det A = 0.

 

1 1 2

Le tre proprietà scritte sopra definiscono il determinante nel senso chiarito dal

seguente Teorema. M

Teorema. Esiste un’unica funzione da (R) in che soddisfa le proprietà (1)

R

n

(2) e (3) scritte sopra.

Questa unica funzione è il determinante. Anche di questo teorema non daremo

una dimostrazione completa.

Conseguenze delle proprietà (1), (2) e (3). Elenchiamo alcune proprietà che

sono conseguenze dirette delle proprietà (1), (2) e (3).

0

≤ 6 ≤ ∈ ×

(4) Sia 1 i = j n, λ e sia A la matrice n n ottenuta dalla matrice

R,

A sostituendo la riga A con A + λA . Allora

i i j

0

det A = det A.

Dimostriamo come questa proprietà segua da (1) e (2). Possiamo supporre i < j

senza perdita di generalità. Allora:

0

det A = det (A , . . . , A + λA , . . . , A , . . . , A ) =

1 i j j n

det (A , . . . , A , . . . , A , . . . , A ) + det (A , . . . , λA , . . . , A , . . . , A ) =

1 i j n 1 j j n

4 det A + λdet (A , . . . , A , . . . , A , . . . , A ) = det A

1 j j n

(la seconda e terza uguaglianza seguono dalla linearità rispetto all’i-esimo argo-

mento, la quarta segue dall’alternanza.)

0

≤ 6 ≤ ×

(5) Sia 1 i = j n e sia A la matrice n n ottenuta dalla matrice A

con A . Allora

scambiando A i j 0 −det

det A = A.

Per dimostrare questa proprietà, consideriamo la matrice B ottenuta da A sosti-

tuendo sia A , sia A con A + A . Allora B ha determinante nullo per l’alternanza

i j i j

e otteniamo: (a)

0 = det B = det (A , . . . , A + A , . . . , A + A , . . . , A ) =

1 i j i j n (b)

det (A , . . . , A , . . . , A + A , . . . , A ) + det (A , . . . , A , . . . , A + A , . . . , A ) =

1 i i j n 1 j i j n (c)

det A + det (A , . . . , A , . . . , A , . . . , A ) + det (A , . . . , A , . . . , A , . . . , A ) =

1 j i n 1 j j n

0

det A + det A

(Per l’uguaglianza (a) abbiamo usato la linearità rispetto all’i-esimo argomento;

per la (b) abbiamo usato la proprietà (4) per ottenere che il primo determinante

è uguale a det A e poi la linearità rispetto al j-esimo argomento per decomporre

0

il secondo determinante; infine per la (c) abbiamo usato la definizione di A , per

0

ottenere che il secondo determinante è det A , e l’alternanza, per ottenere che il

terzo determinante è nullo.) In questo modo la (5) è provata. ×

Ricordiamo che la diagonale (principale) di una matrice quadrata n n è costi-

tuita per definizione dai termini di posto (i, i), per i = 1, . . . , n.

×

Definizione. Una matrice n n, T = (t ), si dice triangolare superiore se tutti i

ij

suoi elementi posti sotto la diagonale sono nulli (cioè se t = 0 per tutti gli i e j

ij

≤ ≤

tali che 1 j < i n).

T si dice strettamente triangolare superiore se è triangolare superiore e in più

anche i termini diagonali sono tutti nulli (cioè t = 0 per tutti gli i e j tali che

ij

≤ ≤ ≤

1 j i n). 5

Analogamente, T si dice triangolare inferiore se tutti i termini posti sopra la

diagonale sono nulli e strettamente triangolare inferiore se in più anche la diagonale

è nulla.

Osserviamo che una matrice quadrata a scala è necessariamente triangolare su-

periore.

Dalle proprietà (4) e (5) otteniamo direttamente il risultato seguente.

Proposizione 2. Se la matrice triangolare T è ottenuta dalla matrice A mediante

eliminazione di Gauss, allora |det |det |

A| = T

(qui le barre laterali indicano il valore assoluto). Si ha det A = det T se il numero

−det

totale di scambi di righe fatti durante l’algoritmo è pari; mentre det A = T se

il numero di scambi di righe è dispari.

Esempio 4. 0 1 2 1 1 3 1 1 3

− −

(a) 1 1 3 = 0 1 2 = 0 1 2

1 1 4 1 1 4 0 0 1

0 0 2 3 1 2 3 1 2

(b) = =+

3 1 2 0 0 2 0 1 5

0 1 5 0 1 5 0 0 2

Come vedremo, il calcolo del determinante di una matrice triangolare è immedia-

to. Per questo l’eliminazione di Gauss può essere un buon metodo per il calcolo di

un determinante.

Dalla proprietà (4) e dalla multilinearità otteniamo invece facilmente il risultato

seguente.

Proposizione 3. Se una riga di A è combinazione delle altre (in particolare se A

ha una riga nulla), allora det A = 0.


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: la determinante, la proprietà fondamentale, la proprietà determinante, gli esempi, la matrice,i teoremi, le dimostrazioni, le definizioni, gli sviluppi di Laplace, il calcolo della determinante, la determinante della matrice triangolare, i sistemi lineari delle equazioni incognite.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frau81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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