Algebra lineare - concetti generali

Lezioni di algebra lineare: il determinante

Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale. Dunque det è una funzione dall'insieme delle matrici reali quadrate in R. Se distinguiamo la misura delle matrici, allora per ogni n intero positivo otteniamo una funzione M → det : (R_n×n) → R, restringendo il determinante alle matrici n × n.

Il determinante fornisce un criterio utilissimo per stabilire se una matrice è invertibile. Vale infatti il fatto seguente:

Proprietà fondamentale

Sia A una matrice n × n. A ha rango n se e solo se det A ≠ 0. Quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0. Inoltre, vedremo che mediante il determinante possiamo dare una formula per il calcolo dell'inversa di una matrice invertibile (al momento conosciamo solo un algoritmo di calcolo).

La funzione determinante viene definita attraverso le tre proprietà che stiamo per descrivere. Dobbiamo prima precisare il contesto. Fissiamo n, intero positivo, e limitiamoci a considerare det_n. Per semplificare la notazione omettiamo l'indice n e scriviamo solo det. Possiamo vedere det A come una funzione delle righe della matrice A. Questo vuol dire vedere det A come una funzione di n variabili, ciascuna in Rⁿ, visto come insieme di vettori riga:

det A = det (A₁, ..., A_n) (dove A₁, ..., A_n sono le righe di A). Tutto quello che diciamo vale ugualmente se sostituiamo ovunque “righe” (o riga) con “colonne” (o colonna), perché vale il fatto seguente, di cui non daremo una dimostrazione.

Proposizione 1

Per ogni matrice A, det A = det A^t.

Proprietà che definiscono il determinante

• det è una funzione multilineare delle righe di A;
• det è una funzione alternante delle righe di A;
• det I = 1 (dove I è la matrice identità n × n).

Spieghiamo il significato delle prime due proprietà

(1) Per ogni i compreso tra 1 e n, se fissiamo le righe diverse dalla i-esima e facciamo variare solo la riga A_i, otteniamo una funzione di Rⁿ in R. La proprietà di multilinearità vuol dire che ognuna di queste funzioni è lineare, cioè:

det (A₁, ..., A_i + A_i', ..., A_n) = det (A₁, ..., A_i, ..., A_n) + det (A₁, ..., A_i', ..., A_n) per ogni A_i, A_i' in Rⁿ,

det (A₁, ..., λA_i, ..., A_n) = λ det (A₁, ..., A_i, ..., A_n) per ogni A_i in Rⁿ e λ in R.

(2) La proprietà di alternanza vuol dire questo: se due righe della matrice A sono uguali, allora il determinante di A è nullo, cioè:

se esistono i, j tali che 1 ≤ i = j ≤ n e A_i = A_j, allora det (A₁, ..., A_n) = 0.

Notazione: Indicheremo talvolta det A con |A|. Se A è data esplicitamente come tabella (a_ij), scriveremo semplicemente |a_ij|, omettendo le parentesi tonde.

Esempi

1. Consideriamo la matrice:

[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]

La sua prima riga è uguale a 1(1 0 0) + 2(0 1 0) + 3(0 0 1), quindi utilizzando la linearità rispetto alla prima riga abbiamo che:

[1 2 3] = 1[1 0 0] + 2[0 1 0] + 3[0 0 1] [4 5 6] [4 5 6] [4 5 6] [7 8 9] [7 8 9] [7 8 9]

2. Sia A = [1 1 2], B = [1 1 2], C = [1 2 4].

[0 2 0] [0 2 0] [0 4 0] [1 0 1] [3 0 3] [2 0 2]

A e B hanno le prime due righe uguali, mentre la terza riga di B è uguale a 3 per la terza riga di A, quindi det B = 3 det A. Si ha inoltre C = 2A, ovvero ogni riga di C è uguale alla analoga riga di A moltiplicata per 2. Dalla proprietà di omogeneità, applicata a ciascuna riga, si ottiene quindi 3det C = 2 det A.

3. Sia A = [1 1 2]. Allora per la proprietà di alternanza det A = 0.

[1 2 1] [1 1 2]

Teorema

Le tre proprietà scritte sopra definiscono il determinante nel senso chiarito dal seguente teorema.

Esiste un'unica funzione da (R^n×n) in R che soddisfa le proprietà (1), (2) e (3) scritte sopra. Questa unica funzione è il determinante. Anche di questo teorema non daremo una dimostrazione completa.

Conseguenze delle proprietà (1), (2) e (3)

Elenchiamo alcune proprietà che sono conseguenze dirette delle proprietà (1), (2) e (3).

(4) Sia 1 ≤ i = j ≤ n, λ ∈ R e sia A la matrice n × n ottenuta dalla matrice A sostituendo la riga A_i con A_i + λA_j. Allora:

det A' = det A.

Dimostriamo come questa proprietà segua da (1) e (2). Possiamo supporre...