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Algebra lineare - concetti generali

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: la determinante, la proprietà fondamentale, la proprietà determinante, gli esempi, la matrice,i teoremi, le dimostrazioni, le definizioni, gli sviluppi di Laplace, il calcolo... Vedi di più

Esame di Algebra lineare docente Prof. P. Cellini

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6 ≤ ≤

Dimostrazione. Supponiamo che, per un certo i (1 i n), A sia combinazione

i

P

delle altre righe di A: A = λ A . Sottraendo alla i-esima riga λ A per ogni

i j j j j

j6 =

i 0

6

j = i, trasformiamo A in una matrice A che ha la i-esima riga nulla e le altre righe

0

uguali a quelle di A. Per la proprietà (4) det A = det A. Ma, per la proprietà di

0

omogeneità rispetto alla i-esima riga, dal fatto che la i-esima riga di A è nulla,

0

segue che det A = 0, quindi che det A = 0.

A questo punto diamo una formula generale per il calcolo del determinante.

≤ ≤

Sviluppi di Laplace. Precisiamo le notazioni. Sia A = (a ), 1 i, j n. Per

ij

− × −

ogni coppia (i, j) indichiamo inoltre con A la matrice (n 1) (n 1) ottenuta

ij

da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna. Infine, per brevità, per ogni

|B|.

matrice B denotiamo det B con Parliamo di sviluppi di Laplace, al plurale,

perché in realtà abbiamo 2n formule equivalenti, una per ogni riga e una per ogni

colonna. Le formule sono di tipo ricorsivo:

× |A|

Se A è una matrice 1 1, allora è uguale all’unico elemento di A.

×

Se A è una matrice n n con n > 1, uno sviluppo di Laplace riduce il calcolo di

|A| al calcolo di n determinanti (n−1)×(n−1). Ricorsivamente, ogni determinante

×

è ridotto al calcolo di determinanti 1 1, che sono noti.

Sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima riga.

n

X i+j

|A| |A |.

= (−1) a

ij ij

j=1

Nella formula i è fisso; al variare di j gli a percorrono la i-esima riga; i segni

ij

i+j − −

(−1) , al variare di j, sono + e alternati: si parte con + se i è dispari, con

se i è pari.

Sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima colonna.

n

X i+j

|A| |A |.

= (−1) a

ij ij

i=1

Qui è j che è fisso; al variare di i gli a percorrono la j-esima colonna; la regola

ij

dei segni è analoga al caso precedente. 7

Esempi. ×

5. Calcolo di un determinante 2 2. Scriviamo cosa è il determinante di

×

una generica matrice 2 2. Utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima

riga. (Ovviamente utilizzando gli altri sviluppi possibili dobbiamo ottenere lo stesso

risultato.) a b 1+1 1+2 −

= (−1) ad + (−1) bc = ad bc.

c d ×

Quindi il determinante di una matrice 2 2 è la differenza dei “prodotti incrociati”.

6. Per il calcolo seguente utilizziamo ancora lo sviluppo di Laplace rispetto alla

prima riga.

2 3 4 1 2 1 2 1 1

1+1 1+2 1+3

= (−1) 2

1 1 2 + (−1) 3 + (−1) 4 =

2 3 1 3 1 2

1 2 3 − − − − −2 −

2(3 4) 3(3 2) + 4(2 1) = 3 + 4 = 3

7. Per il calcolo seguente utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda

colonna: questa scelta è la più conveniente perché la seconda colonna ha solo due

elementi non nulli (gli elementi nulli della colonna danno un contributo nullo alla

sommatoria).

2 0 4 5 2 4 5

2 4 5

1 3 2 0 3+2

2+2 + (−1) 2 1 2 0 =

= (−1) 3 2 2 2

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 ×

[il primo dei due determinanti 3 3 scritti sopra è nullo per la Proposizione 3,

perché la seconda riga e la terza sono proporzionali]

2 4 5

1 2 2 4

1+3 3+3

−2

−2 = (−1) 5 + (−1) 1 =

= 0 + 1 2 0 1 1 1 2

1 1 1 −2(5(1 −

= 2) + 0) = 10

×

[per il determinante 3 3 abbiamo usato lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza

colonna.]

8

8. Determinante di una matrice triangolare. Sia T una matrice triangolare

superiore, ··· ···

t t

 

11 1n

..

.. .

0 .

 

T = .

 

.. ..

..

..

 

.

.

. .

 

···

0 0 t nn

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo

··· ···

t t

22 2n

..

.. .

0 .

det T = t .. ..

11 ..

.. .

.

. .

···

0 0 t nn

e quindi con una facile induzione · · ·

det T = t t t .

11 22 nn

Supponiamo ora che T sia una matrice triangolare inferiore,

···

t 0 0

 

11

.. ..

.. ..

. .

. .

 

T = .

 

. ..

..

 

. 0

 

··· ···

t t

n1 nn

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga otteniamo

···

t 0 0

22

.. ..

.. ..

. .

. .

det T = t ..

11 .. .

. 0

··· ···

t t

n1 nn

e induttivamente · · ·

det T = t t t .

11 22 nn

9. Per il prossimo calcolo utilizziamo insieme la proprietà (4), le formule di Laplace

e l’esempio precedente. 0 2 0 0

2 4 2 4 1 1 1 2

1 1 1 2 =

=

1 3 1 3 1 3 1 3

1 2 3 3

1 2 3 3 9

1 1 2 1 1 2

1 1 2 −2

−2 =4

= 0 0 1 =2 0 2 0

= 1 1 3 0 0 1

1 3 3 0 2 0

[In ordine abbiamo: sottratto alla prima riga la seconda riga moltiplicata per 2;

applicato lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga; ridotto a scala la ma-

×

trice 3 3 ottenuta, tenendo conto che uno scambio di righe cambia di segno il

determinante; usato l’esempio 8.]

Nell’esempio 8 abbiamo mostrato che il determinante di una matrice triangolare

è il prodotto dei termini diagonali. In particolare, il determinante di una matrice

triangolare è non nullo se e solo se tutti i suoi termini diagonali sono diversi da

0. Limitiamoci per il momento a considerare una matrice triangolare superiore

T . Se tutti i termini diagonali di T sono non nulli, allora T è una matrice scala

con tutte le righe non nulle, quindi ha rango n. Questa osservazione permette

di provare facilmente quella che abbiamo chiamato la proprietà fondamentale del

determinante. × 6

Proposizione 4. Sia A una matrice n n. Allora det A = 0 se e solo se rk A = n.

6

Equivalentemente, A è invertibile se e solo se det A = 0.

Dimostrazione. A può essere ridotta ad una matrice a scala T mediante elimi-

nazione di Gauss. T è triangolare e ha rango n se e solo se ha tutti i termini

6

diagonali non nulli (deve avere n pivot), quindi se e solo se det T = 0. Poiché

|det |det |,

rk A = rk T e A| = T otteniamo la tesi.

Formula per l’inversa di una matrice. Diamo ora una formula per calcolare

6

l’inversa di una matrice A con det A = 0. Conserviamo le notazioni introdotte per

0

gli sviluppi di Laplace e definiamo A come la matrice che ha come elemento di

posizione (i, j) i+j |A |

(−1) ij

e 0

∗ t

A = A .

Allora 1 ∗

∗ −1

6 A .

AA = (detA)I , quindi, se det A = 0, A =

n det A


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Frau81

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: la determinante, la proprietà fondamentale, la proprietà determinante, gli esempi, la matrice,i teoremi, le dimostrazioni, le definizioni, gli sviluppi di Laplace, il calcolo della determinante, la determinante della matrice triangolare, i sistemi lineari delle equazioni incognite.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frau81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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