algebra lineare

Algebra Lineare

• Vettori in ℝ² e ℝ³

Vettore = è un oggetto geometrico con tre proprietà

1. lunghezza o modulo |V|
2. una direzione (retta su cui giace)
3. un verso

|u| = √(a² + b²)

|V| = √(a² + b² + c²)

• vettore nullo è il vettore di modulo zero. Per definizione non ha direzione né verso
• versori = vettori di modulo unitario (possiamo ottenere un versore da ogni vettore v normalizzando cioè v/|v|)
• -V = vettore con la stessa lunghezza e direzione di V, ma di verso opposto

Somma fra vettori (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

1. proprietà associativa (u + v) + w = u + (v + w)
2. proprietà commutativa u + v = v + u
3. identità u + 0 = v (elemento nullo)
4. opposto u + (-u) = 0 - u = 0 (elemento inverso)

Moltiplicazione per scalare λ * u = λ u avente la stessa direzione di u e modulo |λ| * |u|. Se λ > 0 allora λu ha lo stesso verso di u, altrimenti ha verso opposto.

• identità 1u = u
• associativa λ(μu) = (λμ)u
• distributiva λ(u + v) = λu + λv

Indipendenza Lineare

i = (1, 0, 0)j = (0, 1, 0)k = (0, 0, 1)(versori fondamentali):

= (1, 0, 0)= (0, 1, 0)= (0, 0, 1)

Ogni altro vettore si può scrivere in termini

u = (a, b) = ai + bja ib j

u = u₁i + u₂j = u₂i + u₂j

Combinazione Lineare

Una combinazione lineare di vettori u₁, u₂, u_k con coefficienti a₁, a₂, a_k è data da a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_ku_k.

- possiamo dire che ogni vettore è combinazione lineare di i, j e k - a_i u_i è un vettore.

Indipendenza Lineare

Due vettori nel piano u₁, u₂ (diversi da 0) si dicono indipendentise non esistono scalari a₁, a₂ diversi da zero da a₁u₁ + a₂u₂ = 0- IR³ => a₁u₁ + a₂u₂ + a₃v₃ = 0

Prodotto scalare

u∙v= |u||v|cos(θ) dove θ è l’angolo tra i due vettori.

- u∙v = u₁v₁ + u₂v₂ (algebrica)

1. Proprietà commutativa u∙v = v∙u
2. Proprietà distributiva u∙(v + w) = u∙v + u∙w
3. Compatibilità con prodotto per scalare (λu)∙v = λ(u∙v)

Proprietà

- v∙v = |v|²- u e v sono ortogonali se u∙v = 0

Osserva => il prodotto scalare di due vettori è un nr. reale.il vettore nullo è sempre lin. dipendente.

2) Rette e Piani in R³

Equazione della retta:

1. parametrica
2. cartesiana

1) equazione parametrica

p = p₀ + tv

• facilmente ottimile un p₀ qualsiasi p₀ che le appartiene e t il parametro moltiplicato un generaretti vettore v₀, che rappresenti la direzione della retta
• ∀t corrisponde un pt diverso delle retta → t parametrizza la retta

• rappresentazione esplicita

2) equazione cartesiana e implicita = insieme di pti che soddisfano una o più equazioni lineari.

retta che passa per (x₀, y₀, z₀) e (x₁, y₁, z₁)

(x - x₀) / (x₁ - x₀) = (y - y₀) / (y₁ - y₀) =

(y - y₀) / (y₁ - y₀) = (z - z₀) / (z₁ - z₀)

cioè (x - x₀) / (x₁ - x₀) = (y - y₀) / (y₁ - y₀) =

(z - z₀) / (z₁ - z₀)

• una retta è un oggetto di dimensione 1 e ogni equazione lineare fissa una dimensione dello spazio originale

1) Dato le rette x = 3 y = 2t z = 1 v₁ = (0, 0, 1, 2) v₂ = (4, 0, 0) Δ = Δv₂ = 4 = 0 la retta

2) Dato le rette x = y + t y = 2t y = -3 z = 5t

Determina se sono parallele, perpendicolari o nessuna delle due.

= parallele se v₁ = v₂ in questo caso Δ = Δv₂ = 0 per cui le due rette sono parallele.

= perpendicolari v₁ = 0 = 0 . 2 + 4 . 2 = 3 . 2 + 2 . 5 = 0 quindi le due rette non sono ortogonali.

4) Date le rette

x = 3y y = 2z

v₁ . v₂ = 0 . 1 + 0 . 1 = 0 quindi le due rette sono perpendicolari.

5) Date le rette

x = 3y x = 4 y = 2t z = 2t determina se sono parallele, perpendicolari o nessuna delle due.

v₁ = v₂ = 0 + 1 = 0 dunque le due rette non sono.