algebra lineare

Algebra Lineare

1. Vettori in ℝ² e ℝ³

• Vettore = è un oggetto geometrico con tre proprietà

  • lunghezza o modulo |v|
  • una direzione (retta su cui giace v)
  • un verso

|u| = √a² + b² |v| = √a² + b² + c²

• vettore nullo = il vettore di modulo zero. Per definizione non ha direzione né verso
• versori: vettori di modulo unitario
• -v = vettore con la stessa lunghezza e direzione di v, ma di verso opposto

Somma tra vettori

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

1. proprietà associativa (u + v) + w = u + (v + w)
2. proprietà commutativa u + v = v + u
3. identità u + 0 = v (elemento nullo)
4. opposto u + (-u) = 0 = -u + u = 0 (elemento inverso)

Moltiplicazione per scalare

λ × u = λu avente la stessa direzione di u e modulo |λ| × |u|. Se λ > 0 allora λu ha lo stesso verso di u, altrimenti ha verso opposto.

• identità 1u = u
• associativa λ(μu) = (λμ)u
• distributiva λ(u + v) = λu + λv

Algebra Lineare

1. Vettori in ℝ² e ℝ³

• Vettore = è un oggetto geometrico con tre proprietà

  1. lunghezza o modulo |V|
  2. una direzione (retta su cui giace v)
  3. un verso

|V| = √a²+b²_{v = c1i + c2j}

|V| = √a²+b²+c²

• vettore nullo = il vettore di modulo zero. Per definizione non ha direzione né verso

• versori = vettori di modulo unitario

• -V = vettore con la stessa lunghezza e direzione di V, ma di verso opposto

Somma tra vettori

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

1. proprietà associativa (u+v)+w = u+(v+w)

2. proprietà commutativa u+v = v+u

3. identità u+0 = u (elemento nullo)

4. opposto u+(-u)=0 -u=u=0 (elemento inverso)

Moltiplicazione per scalare

λ x u = λu avente la stessa direzione di u e modulo |λ| x |u|. Se λ>0 allora λu ha lo stesso verso di u, altrimenti ha verso opposto.

• identità 1.u = u
• associativa λ(μ.u) = (λμ)u
• distributiva λ(u+v) = λu + λv _{algebra λu = (λu1, λu2)}

Indipendenza Lineare

i = (1,0)

j = (0,1)

(vettori fondamentali):

• i = (1,0,0)
• j = (0,1,0)
• k = (0,0,1)

Ogni altro vettore si può scrivere in termini di i e j

v = (a, b) = ai + bj

u = (a, b)

u = u₁(1,0) + u₂(0,1) = u₁i + u₂j

Combinazione Lineare

Una combinazione lineare di vettori u₁, u₂, ..., u_k con coefficienti λ₁, λ₂, ..., λ_k è data da λ₁u₁ + λ₂u₂ + ... + λ_ku_k.

Possiamo dire che ogni vettore è combinazione lineare di i e j (R²)

- x u = un vettore

Indipendenza Lineare

Due vettori nel piano u₁, u₂ (diversi da 0) si dicono indipendenti se non esistono scalari λ₁, λ₂ diversi da zero da: λ₁u₁ + λ₂u₂ = 0

R³ => λ₁u₁ + λ₂u₂ + λ₃ = 0

Prodotto scalare

u·v = |u||v|cos(θ) dove θ è l'angolo tra i due vettori.

(teoricamente)

u·v = u₁v₁ + u₂v₂

(algebrica)

1. Proprietà commutativa u·v = v·u
2. Proprietà distributiva u·(v + w) = u·v + u·w
3. Compatibilità con prodotto per scalare (λu)·v = λ(u·v)

Proprietà

- u·v = 0 e

- u e v sono ortogonali se u·v = 0

Osserva => Il prodotto scalare di due vettori è un n.r. reale.

Il vettore nullo è sempre lin. dipendente

Esercizi

1. Def. geometrica di differenza tra due vettori.

   b - a e per def. la somma dei due vettori dove -a è il vettore con stesso modulo e direzione di a, ma di verso opposto.

2. I vettori i e j, e i, j e k sono indipendenti?

   i = (0,1) j = (1,0)

   Sono indip. poichè non posso scrivere uno come comb. lineare dell'altro.

   a = ₁i + ₂j per avere a = 0 allora ₁ = ₂ = 0

3. Determina se i seguenti vettori sono indipendenti.