Algebra lineare - Appunti

29-11-2006

Lezioni di Algebra Lineare. III Parte, paragrafi 10–12.

Contenuto

10. Applicazioni lineari

11. Cambiamenti di base

12. Applicazioni lineari, matrici e cambiamenti di base 43

10. Applicazioni lineari.

Supponiamo che V e W siano due spazi vettoriali e che

→

f : V W

sia una funzione da V a W .

Definizione. Diciamo che f è un’applicazione lineare se

0 0 0

(1) f è additiva, cioè: per ogni v e v in V si ha f (v + v ) = f (v) + f (v );

(2) f è omogenea, cioè: per ogni v in V e λ in si ha f (λv) = λf (v).

R

Conseguenze fondamentali della definizione. →

Segue direttamente dalla definizione che, se f : V W è un’applicazione lineare,

∈ ∈

v , . . . , v V , λ , . . . , λ allora

R,

1 k 1 k · · · · · ·

f (λ v + + λ v ) = λ f (v ) + + λ f (v ).

1 1 k k 1 1 k k

B {v } ∈

In particolare, supponiamo che = , . . . , v sia una base di V . Se v V ,

V 1 n

allora v si scrive in modo unico unico come combinazione lineare di B , poniamo

V

· · ·

v = λ v + + λ v .

1 1 n n

Quindi · · ·

f (v) = λ f (v ) + λ f (v ).

1 1 n n

Segue che:

(1) l’azione di f su una base di V , determina l’azione di f su tutto V

e quindi che:

(2) due applicazioni lineari da V a W che assumono gli stessi valori su una base di

V , coincidono. m n

Applicazioni lineari da a . Le conseguenze della definizione che abbiamo

R R

scritto ci permettono facilmente di capire cosa sono le applicazioni lineari tra spazi

k

vettoriali di tipo . Cominciamo col dare un esempio generale di applicazione

R

44 k

lineare; poi faremo vedere che tutte le applicazioni lineari tra spazi di tipo sono

R

comprese in questo esempio. m

× ∈

Sia M una matrice n m. Allora, per ogni v , il prodotto M v è definito

R

n

ed è uguale ad un vettore di . Possiamo quindi definire la funzione

R m n

→ 7→

L : v M v.

R R

M

è un’applicazione lineare, infatti

L

M 0 0 0

n

(1) L è additiva, perché per ogni v e v in si ha L (v + v ) = M (v + v ) =

R

M M

0 0

M v+M v = L (v)+L (v ) (proprietà distributiva del prodotto di matrici,

M M

Paragrafo 2, Proposizione 2); n

(2) L è omogenea, perché per ogni v in e λ in si ha L (λv) = M (λv) =

R R

M M

λ(M v) = λL (v) (Paragrafo 2, Proposizione 2).

M m n

Quello che stiamo per vedere è che tutte le applicazioni lineari da a sono

R R

, cioè agiscono come moltiplicazione a sinistra per una matrice reale

di tipo L

M m n

× → {e }

n m. Infatti, sia f : un’applicazione lineare, , . . . , e la base

R R 1 m

m

canonica di ,

R · · · |f

M = (f (e )| (e ))

1 m b 

 1

.

.. un vettore qualunque

(la matrice di colonne f (e ), . . . , f (e )) e infine v =

1 m 

 b m

m · · ·

in . Allora v = b e + + b e , quindi

R 1 1 m m

· · ·

f (e ) + + b f (e ) = M v = L (v)

f (v) = b 1 1 m m M

(la seconda uguaglianza si ottiene usando la solita proprietà del prodotto matrice

per vettore colonna, pag. 5)

Riassumiamo i risultati ottenuti nella proposizione seguente.

m n

→

Proposizione 1. Sia f : una funzione. Allora:

R R ×

f è un’applicazione lineare se e solo se esiste una matrice reale M n m tale

che f = L ;

M

se f è lineare, la (unica) matrice M tale che f = L è la matrice di colonne

M m

{e }

f (e ), . . . , f (e ), dove , . . . , e è la base canonica di .

R

1 m 1 m 45

m n

→

Definizione: matrice rispetto alle basi canoniche. Sia f : R R

un’applicazione lineare e, con le notazioni usate sopra,

|f

M = (f (e )| . . . (e ))

1 m

(quindi f = L ). La matrice M si chiama la matrice di f rispetto alle basi

M

m n

canoniche (di e ).

R R

Problema.

Sia  

x

−

x + y z

3 2

→ 7→

f : , y .

R R   −

x y + z

z

Verificare che f è lineare e scriverne la matrice rispetto alle basi canoniche.

Risoluzione. Osserviamo che

   

x x

−1

1 1

f y = y ,

   

−1

1 1

z z

quindi f = L con

M

−1

1 1

M = ,

−1

1 1

e perciò è lineare. Inoltre, è chiaro che le colonne di M sono le immagini dei vettori

3

della base canonica di . Perciò M è la matrice di f rispetto alle basi canoniche.

R

Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. [da scrivere]

Definizione: nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Sia

→

f : V W

un’applicazione lineare tra spazi vettoriali.

Il nucleo di f (in inglese kernel) è per definizione l’insieme

{x ∈ |

ker f = v f (v) = 0}

(dove 0 è il vettore nullo di W ).

46 L’immagine di f è l’usuale immagine insiemistica della funzione f

{f | ∈ } {w ∈ | ∃v ∈

Im f = (v) v V = W V f (v) = w}.

Nel prossimo enunciato riassumiamo le proprietà principali del nucleo e dell’im-

magine di un’applicazione lineare.

Proposizione 2.

→

Sia f : V W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali. Allora

(1) ker f è un sottospazio vettoriale di V e Im f è un sottospazio vettoriale

di W . {0}.

(2) f è una funzione iniettiva se e solo se ker f =

(3) Vale la seguente formula delle dimensioni:

−

dim V dim ker f = dim Im f.

{0} e dim V = dim W .

(4) f è biunivoca se e solo se ker f =

(5) f è biunivoca se e solo se dim V = dim Im f = dim W .

−1

(6) Se f è biunivoca, allora la sua inversa f è un’applicazione lineare (biuni-

voca).

Omettiamo gran parte delle dimostrazioni, ma diamo delle indicazioni abba-

stanza dettagliate su come si fanno e facciamo qualche precisazione sugli enunciati.

(1) Questo punto è semplice, bisogna semplicemente verificare che ker f e Im f sono

non vuoti e chiusi rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalari. Sugge-

6 ∅:

riamo solo come si vede che ker f = per linearità, ker f contiene sempre almeno

il vettore nullo di V , infatti

f (0 ) = f (0 0 ) = 0f (0 ) = 0 ,

V V V W

dove lo zero senza indice e sottolineatura è lo scalare 0 e per chiarezza abbiamo

distinto nella notazione i vettori nulli di V e W (nel seguito ometteremo gli indici

V e W , è sempre chiaro dal contesto di quale vettore nullo si parla). Le altre

verifiche sono standard (provate a farne qualcuna per esercizio). 47

(2) Questo punto è molto importante. Ricordiamo la definizione iniettività: f è

iniettiva se e solo se trasforma elementi diversi del dominio in elementi diversi

(dell’immagine). Due modi equivalenti di scrivere questo sono i seguenti

f è iniettiva se e solo se vale la condizione:

(a) 0 0 0

∀ ∈ ⇔

v, v V, f (v) = f (v ) v = v

f è iniettiva se e solo se vale la condizione:

(b) per ogni w in Im f esiste un unico v in V tale che f (v) = w.

{0}

= 0, quindi la condizione ker f = vuol dire

Abbiamo già osservato che f (0)

che l’unico v in V tale che f (v) = 0 è lo 0 di V . Il punto è che se la condizione

∈

(b) vale per w = 0, allora vale per tutti i w Im f . In effetti, quello che vale è

che 0 0 − ∈

f (v) = f (v ), se e solo se v v ker f

0

(quindi se e solo se v = v + u per un certo u in ker f )

perché 0 0

0 0 ⇔ − ⇔

− ∈ ⇔ − f (v) f (v ) = 0 f (v) = f (v ).

v v ker f f (v v ) = 0

∈ ∈

Quindi, se w Im f , v V è un qualunque elemento tale che f (v) = w, e

← 0 ∈

f (w) è l’insieme controimmagine di w, cioè l’insieme di tutti i v V tali che

0

f (v ) = w, allora ←

f (w) = v + ker f,

{v | ∈ }.

dove v + ker f = + u u ker f Poiché ker f è un sottospazio vettoriale di

V , questo vuol dire che:

la controimmagine di un qualunque w in Im f è un sottospazio affine di V che

ha come spazio vettoriale associato ker f .

(3) Questa dimostrazione è molto simile alla dimostrazione della Proposizione 2 del

∅ {0}) e la si

paragrafo 6: si considera una base B di ker f (B = se ker f =

0 0

∪

completa a una base di V , B = B B , con B disgiunto da B. Si dimostra

V

0

{f | ∈ }

quindi che (v) v B è una base di Im f . La tesi sulle dimensioni segue

direttamente.

(4) Qui basta ricordare le definizioni:

→

la funzione f : V W si dice suriettiva se Im f = W , cioè se:

per ogni w in W esiste un v in V tale f (v) = w;

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: le applicazioni lineari, i cambiamenti di base,le matrici, la composizione delle applicazioni lineari, l'immagine dell'applicazione lineare, le definizioni, le dimostrazioni, le osservazioni, lo svolgimento, la risoluzione dei problemi.