Algebra lineare - Appunti

Lezioni di algebra lineare: Applicazioni lineari, cambiamenti di base e matrici

Applicazioni lineari

Supponiamo che V e W siano due spazi vettoriali e che f : V → W sia una funzione da V a W.

Definizione: Diciamo che f è un’applicazione lineare se:

• f è additiva, cioè: per ogni v e v′ in V si ha f(v + v′) = f(v) + f(v′);
• f è omogenea, cioè: per ogni v in V e λ in ℝ si ha f(λv) = λf(v).

Conseguenze fondamentali della definizione: Segue direttamente dalla definizione che, se f : V → W è un’applicazione lineare, per ogni v₁, ..., v_k ∈ V e λ₁, ..., λ_k ∈ ℝ:

f(λ₁v₁ + ... + λ_kv_k) = λ₁f(v₁) + ... + λ_kf(v_k).

In particolare, supponiamo che B = {v₁, ..., v_n} sia una base di V. Se v ∈ V, allora v si scrive in modo unico come combinazione lineare di B, poniamo:

v = λ₁v₁ + ... + λ_nv_n.

Quindi:

f(v) = λ₁f(v₁) + ... + λ_nf(v_n).

Segue che:

• L’azione di f su una base di V determina l’azione di f su tutto V.
• Due applicazioni lineari da V a W che assumono gli stessi valori su una base di V coincidono.

Applicazioni lineari da ℝ^m a ℝⁿ

Le conseguenze della definizione ci permettono facilmente di capire cosa sono le applicazioni lineari tra spazi vettoriali di tipo ℝ. Cominciamo col dare un esempio generale di applicazione lineare; poi faremo vedere che tutte le applicazioni lineari tra spazi di tipo ℝ sono comprese in questo esempio.

Sia M una matrice n × m. Allora, per ogni v ∈ ℝ^m, il prodotto Mv è definito ed è uguale a un vettore di ℝⁿ. Possiamo quindi definire la funzione:

L_M : ℝ^m → ℝⁿ, v ↦ Mv.

L_M è un’applicazione lineare, infatti:

• L_M è additiva, perché per ogni v e v′ in ℝ^m si ha L_M(v + v′) = M(v + v′) = Mv + Mv′ = L_M(v) + L_M(v′) (proprietà distributiva del prodotto di matrici, Paragrafo 2, Proposizione 2).
• L_M è omogenea, perché per ogni v in ℝ^m e λ in ℝ si ha L_M(λv) = M(λv) = λ(Mv) = λL_M(v) (Paragrafo 2, Proposizione 2).

Quello che stiamo per vedere è che tutte le applicazioni lineari da ℝ^m a ℝⁿ sono di questo tipo, cioè agiscono come moltiplicazione a sinistra per una matrice reale di tipo n × m. Infatti, sia f : ℝ^m → ℝⁿ un’applicazione lineare, {e₁, ..., e_m} la base canonica di ℝ^m.

Sia:

M = (f(e₁) | ... | f(e_m))

(la matrice di colonne f(e₁), ..., f(e_m)) e infine v ∈ ℝ^m. Allora v = b₁e₁ + ... + b_me_m, quindi:

f(v) = b₁f(e₁) + ... + b_mf(e_m) = Mv = L_M(v)

(la seconda uguaglianza si ottiene usando la solita proprietà del prodotto matrice per vettore colonna, pag. 5).

Riassunto dei risultati

Proposizione 1: Sia f : ℝ^m → ℝⁿ una funzione. Allora:

f è un’applicazione lineare se e solo se esiste una matrice reale M di tipo n × m tale che f = L_M;

se f è lineare, la (unica) matrice M tale che f = L_M è la matrice di colonne {f(e₁), ..., f(e_m), dove {e₁, ..., e_m} è la base canonica di ℝ^m.

Matrice rispetto alle basi canoniche

Definizione: Sia f : ℝ^m → ℝⁿ un’applicazione lineare e, con le notazioni usate sopra,

M = (f(e₁) | ... | f(e_m))

(quindi f = L_M). La matrice M si chiama la matrice di f rispetto alle basi canoniche (di ℝ^m e ℝⁿ).

Problema

Sia f : ℝ³ → ℝ³, x, y, z ↦ x - y + 2z, -x + 3y + z, z. Verificare che f è lineare e scriverne la matrice rispetto alle basi canoniche.

Risoluzione: Osserviamo che

f(x, y, z) = (x, -x + y, z) = L_M(x, y, z)

con M =

Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici

[da scrivere]

Nucleo e immagine di un’applicazione lineare

Definizione: Sia f : V → W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali.

Il nucleo di f (in inglese kernel) è per definizione l’insieme:

ker f = {v ∈ V | f(v) = 0}

(dove 0 è il vettore nullo di W).

L’immagine di f è l’usuale immagine insiemistica della funzione f:

Im f = {f(v) | v ∈ V} = {w ∈ W | ∃v ∈ V tale che f(v) = w}.

Nel prossimo enunciato riassumiamo le proprietà principali del nucleo e dell’immagine di un’applicazione lineare.

Proposizione 2

Sia f : V → W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali. Allora:

• ker f è un sottospazio vettoriale di V
• Im f è un sottospazio vettoriale di W