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Algebra lineare - Appunti

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: le applicazioni lineari, i cambiamenti di base,le matrici, la composizione delle applicazioni lineari, l'immagine dell'applicazione lineare, le definizioni, le dimostrazioni, le osservazioni, lo svolgimento, la risoluzione dei problemi. Vedi di più

Esame di Algebra lineare docente Prof. P. Cellini

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29-11-2006

Lezioni di Algebra Lineare. III Parte, paragrafi 10–12.

Contenuto

10. Applicazioni lineari

11. Cambiamenti di base

12. Applicazioni lineari, matrici e cambiamenti di base 43

10. Applicazioni lineari.

Supponiamo che V e W siano due spazi vettoriali e che

f : V W

sia una funzione da V a W .

Definizione. Diciamo che f è un’applicazione lineare se

0 0 0

(1) f è additiva, cioè: per ogni v e v in V si ha f (v + v ) = f (v) + f (v );

(2) f è omogenea, cioè: per ogni v in V e λ in si ha f (λv) = λf (v).

R

Conseguenze fondamentali della definizione. →

Segue direttamente dalla definizione che, se f : V W è un’applicazione lineare,

∈ ∈

v , . . . , v V , λ , . . . , λ allora

R,

1 k 1 k · · · · · ·

f (λ v + + λ v ) = λ f (v ) + + λ f (v ).

1 1 k k 1 1 k k

B {v } ∈

In particolare, supponiamo che = , . . . , v sia una base di V . Se v V ,

V 1 n

allora v si scrive in modo unico unico come combinazione lineare di B , poniamo

V

· · ·

v = λ v + + λ v .

1 1 n n

Quindi · · ·

f (v) = λ f (v ) + λ f (v ).

1 1 n n

Segue che:

(1) l’azione di f su una base di V , determina l’azione di f su tutto V

e quindi che:

(2) due applicazioni lineari da V a W che assumono gli stessi valori su una base di

V , coincidono. m n

Applicazioni lineari da a . Le conseguenze della definizione che abbiamo

R R

scritto ci permettono facilmente di capire cosa sono le applicazioni lineari tra spazi

k

vettoriali di tipo . Cominciamo col dare un esempio generale di applicazione

R

44 k

lineare; poi faremo vedere che tutte le applicazioni lineari tra spazi di tipo sono

R

comprese in questo esempio. m

× ∈

Sia M una matrice n m. Allora, per ogni v , il prodotto M v è definito

R

n

ed è uguale ad un vettore di . Possiamo quindi definire la funzione

R m n

→ 7→

L : v M v.

R R

M

è un’applicazione lineare, infatti

L

M 0 0 0

n

(1) L è additiva, perché per ogni v e v in si ha L (v + v ) = M (v + v ) =

R

M M

0 0

M v+M v = L (v)+L (v ) (proprietà distributiva del prodotto di matrici,

M M

Paragrafo 2, Proposizione 2); n

(2) L è omogenea, perché per ogni v in e λ in si ha L (λv) = M (λv) =

R R

M M

λ(M v) = λL (v) (Paragrafo 2, Proposizione 2).

M m n

Quello che stiamo per vedere è che tutte le applicazioni lineari da a sono

R R

, cioè agiscono come moltiplicazione a sinistra per una matrice reale

di tipo L

M m n

× → {e }

n m. Infatti, sia f : un’applicazione lineare, , . . . , e la base

R R 1 m

m

canonica di ,

R · · · |f

M = (f (e )| (e ))

1 m b 

 1

.

.. un vettore qualunque

(la matrice di colonne f (e ), . . . , f (e )) e infine v =

1 m 

 b m

m · · ·

in . Allora v = b e + + b e , quindi

R 1 1 m m

· · ·

f (e ) + + b f (e ) = M v = L (v)

f (v) = b 1 1 m m M

(la seconda uguaglianza si ottiene usando la solita proprietà del prodotto matrice

per vettore colonna, pag. 5)

Riassumiamo i risultati ottenuti nella proposizione seguente.

m n

Proposizione 1. Sia f : una funzione. Allora:

R R ×

f è un’applicazione lineare se e solo se esiste una matrice reale M n m tale

che f = L ;

M

se f è lineare, la (unica) matrice M tale che f = L è la matrice di colonne

M m

{e }

f (e ), . . . , f (e ), dove , . . . , e è la base canonica di .

R

1 m 1 m 45

m n

Definizione: matrice rispetto alle basi canoniche. Sia f : R R

un’applicazione lineare e, con le notazioni usate sopra,

|f

M = (f (e )| . . . (e ))

1 m

(quindi f = L ). La matrice M si chiama la matrice di f rispetto alle basi

M

m n

canoniche (di e ).

R R

Problema.

Sia  

x

x + y z

3 2

→ 7→

f : , y .

R R   −

x y + z

z

Verificare che f è lineare e scriverne la matrice rispetto alle basi canoniche.

Risoluzione. Osserviamo che

   

x x

−1

1 1

f y = y ,

   

−1

1 1

z z

quindi f = L con

M

−1

1 1

M = ,

−1

1 1

e perciò è lineare. Inoltre, è chiaro che le colonne di M sono le immagini dei vettori

3

della base canonica di . Perciò M è la matrice di f rispetto alle basi canoniche.

R

Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. [da scrivere]

Definizione: nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Sia

f : V W

un’applicazione lineare tra spazi vettoriali.

Il nucleo di f (in inglese kernel) è per definizione l’insieme

{x ∈ |

ker f = v f (v) = 0}

(dove 0 è il vettore nullo di W ).

46 L’immagine di f è l’usuale immagine insiemistica della funzione f

{f | ∈ } {w ∈ | ∃v ∈

Im f = (v) v V = W V f (v) = w}.

Nel prossimo enunciato riassumiamo le proprietà principali del nucleo e dell’im-

magine di un’applicazione lineare.

Proposizione 2.

Sia f : V W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali. Allora

(1) ker f è un sottospazio vettoriale di V e Im f è un sottospazio vettoriale

di W . {0}.

(2) f è una funzione iniettiva se e solo se ker f =

(3) Vale la seguente formula delle dimensioni:

dim V dim ker f = dim Im f.

{0} e dim V = dim W .

(4) f è biunivoca se e solo se ker f =

(5) f è biunivoca se e solo se dim V = dim Im f = dim W .

−1

(6) Se f è biunivoca, allora la sua inversa f è un’applicazione lineare (biuni-

voca).

Omettiamo gran parte delle dimostrazioni, ma diamo delle indicazioni abba-

stanza dettagliate su come si fanno e facciamo qualche precisazione sugli enunciati.

(1) Questo punto è semplice, bisogna semplicemente verificare che ker f e Im f sono

non vuoti e chiusi rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalari. Sugge-

6 ∅:

riamo solo come si vede che ker f = per linearità, ker f contiene sempre almeno

il vettore nullo di V , infatti

f (0 ) = f (0 0 ) = 0f (0 ) = 0 ,

V V V W

dove lo zero senza indice e sottolineatura è lo scalare 0 e per chiarezza abbiamo

distinto nella notazione i vettori nulli di V e W (nel seguito ometteremo gli indici

V e W , è sempre chiaro dal contesto di quale vettore nullo si parla). Le altre

verifiche sono standard (provate a farne qualcuna per esercizio). 47

(2) Questo punto è molto importante. Ricordiamo la definizione iniettività: f è

iniettiva se e solo se trasforma elementi diversi del dominio in elementi diversi

(dell’immagine). Due modi equivalenti di scrivere questo sono i seguenti

f è iniettiva se e solo se vale la condizione:

(a) 0 0 0

∀ ∈ ⇔

v, v V, f (v) = f (v ) v = v

f è iniettiva se e solo se vale la condizione:

(b) per ogni w in Im f esiste un unico v in V tale che f (v) = w.

{0}

= 0, quindi la condizione ker f = vuol dire

Abbiamo già osservato che f (0)

che l’unico v in V tale che f (v) = 0 è lo 0 di V . Il punto è che se la condizione

(b) vale per w = 0, allora vale per tutti i w Im f . In effetti, quello che vale è

che 0 0 − ∈

f (v) = f (v ), se e solo se v v ker f

0

(quindi se e solo se v = v + u per un certo u in ker f )

perché 0 0

0 0 ⇔ − ⇔

− ∈ ⇔ − f (v) f (v ) = 0 f (v) = f (v ).

v v ker f f (v v ) = 0

∈ ∈

Quindi, se w Im f , v V è un qualunque elemento tale che f (v) = w, e

← 0 ∈

f (w) è l’insieme controimmagine di w, cioè l’insieme di tutti i v V tali che

0

f (v ) = w, allora ←

f (w) = v + ker f,

{v | ∈ }.

dove v + ker f = + u u ker f Poiché ker f è un sottospazio vettoriale di

V , questo vuol dire che:

la controimmagine di un qualunque w in Im f è un sottospazio affine di V che

ha come spazio vettoriale associato ker f .

(3) Questa dimostrazione è molto simile alla dimostrazione della Proposizione 2 del

∅ {0}) e la si

paragrafo 6: si considera una base B di ker f (B = se ker f =

0 0

completa a una base di V , B = B B , con B disgiunto da B. Si dimostra

V

0

{f | ∈ }

quindi che (v) v B è una base di Im f . La tesi sulle dimensioni segue

direttamente.

(4) Qui basta ricordare le definizioni:

la funzione f : V W si dice suriettiva se Im f = W , cioè se:

per ogni w in W esiste un v in V tale f (v) = w;


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: le applicazioni lineari, i cambiamenti di base,le matrici, la composizione delle applicazioni lineari, l'immagine dell'applicazione lineare, le definizioni, le dimostrazioni, le osservazioni, lo svolgimento, la risoluzione dei problemi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frau81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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