Ripasso
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Comunemente si possono considerare "inclusioni", in quanto:
∃ f: N → Z iniettiva ecc...
Ma dire che R ⊂ C è un abuso poiché i numeri complessi sono coppie, i reali sono numeri:
g: R → C
- x → (x,0)
- Quindi si perde anche l'ordine.
Def: Norma dei numeri complessi
Nc: C → R+0
(α + iβ) → α2 + β2 avendo il quadrato del modulo.
Oss. α2 + β2 = ( α - iβ )( α + iβ ) = &overline;z . z
Prop: z ∈ C
z = α + iβ
Nc(z) = 0 ↔ α2 + β2 = 0 ↔ α = β = 0
Unico z complesso con norma 0 è 0.
Quindi:
∀ z ∈ C e z ≠ 0 ⇒ Nc(z) > 0
Prop: z, z′ ∈ C
Nc(z · z′) = Nc(z) · Nc(z′) La norma è moltiplicativa
Dunque:
- Nc(z · z′) = z · z · &overline;z · &overline;z′ = z · z′ · &overline;z′ · &overline;z = (z · &overline;z) · (z′ · &overline;z′) = Nc(z) · Nc(z′)
- Associativa e commutativa
OK
Prop: z, z′ ∈ C
Nc(z + z′) ≠ Nc(z) + Nc(z′) La norma non è additiva
Controsenso:
- z, z′ ≠ 0
- z = α + iβ z′ = -α - iβ
- Nc(z + z′) = Nc(0) = 0
- Nc(z) + Nc(z′) > 0 + 0 = 0
OK
Ripasso
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \)
Def: Norma dei numeri complessi
\( N_c: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^+_0 \)
\( (\alpha+i\beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 \) avendo il quadrato del modulo
Oss. \( \overline{z} \cdot z = (\alpha-i\beta)(\alpha+i\beta) = \overline{z} \cdot z \)
Prop: \( z \in \mathbb{C} \)
\( z = \alpha + i\beta \)
\( N_c(z)= 0 \Leftrightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta = 0 \)
Unico \( z \) complesso con norma 0 è 0.
Quindi
Se \( z \in \mathbb{C} \) e \( z \neq 0 \quad \Rightarrow \quad N_c (z) > 0 \)
Prop: \( z, z' \in \mathbb{C} \)
\( N_c (z \cdot z') = N_c (z) \cdot N_c (z') \) La norma è moltiplicativa
Quindi \( N_c (z \cdot z') = z \cdot z' \cdot \overline{z} \cdot \overline{z'} = \overline{z} \cdot z \cdot \overline{z'} \cdot z' = (\overline{z} \cdot z)(\overline{z'} \cdot z') = N_c(z) \cdot N_c(z') \)
Associativa e commutativa ok
Prop: \( z, z' \in \mathbb{C} \)
\( N_c(z + z') \neq N_c(z) + N_c(z') \) La norma non è additiva
Controesempio
\( z, z' \neq 0 \quad z = \alpha + i\beta \quad z' = -\alpha - i\beta \)
\( N_c(z + z') = N_c(0) = 0 \)
\( N_c(z) + N_c(z') > 0 + 0 = 0 \)
ok
Teoria dei Gruppi
DEF:
- * è un'operazione binaria interna su un insieme X
- * = è un'applicazione dal prodotto cartesiano X×X → X
(X, *) è una struttura algebrica semplice
DEF:
Nella struttura algebrica (X, *) vale ⇔ associativa
⇒ df: (X, *) è semigruppo
DEF:
Il semigruppo (X, *) def: ∃e ∈ X : e*x=x*x=e=x
∀x ∈ X
df: (X, *) è monoid
Non vuoto perché altrimenti è contraddizione l'esistenza
PROP: Il monoid è dotato di un unico e elemento neutro
Supponiamo e e' elementi neutri
- e*e' = e (per def. di e')
- e*x=e' (per def. di e)
⇒ e = e'
OK
DEF:
Nel monoid (X, *) ∀x ∈ X ∃x' ∈ X t.c. x*x' = x'*x = e
df: (X, *) è gruppo
Non vuoto altrimenti è contraddizione l'esistenza
PROP: ∀x ∈ X ∃! x' t.c. x*x' = x'*x = e con (X, *) gruppo
Dim: Supponiamo x' e x'' inversi di x
x'*(x*x'') = x'*e = x'
(con ipotesi)
(x'*x)*x'' = e*x'' = x''
x' = x''
OK
DEF:
Nel gruppo (X, *) vale commutativa per *
df: (X, *) è gruppo abeliano
PROP
β : A → A
β è IN ⇔ β è invertibile a SX
∃ β-1 : A → A t.c. β-1 ∘ β = idA
⇨
- ∀ y ∈ A
β-1{y} = ∑x∈A | β(x) = y | = {φ}
DEFINSICO
β
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