Algebra II - gruppi

Ripasso

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

Comunque si possono considerare "inclusioni" in quanto

∃ f: N → Z iniettiva ecc...

ma dire che R ⊆ C è un abuso poiché i numeri complessi sono coppie, i reali sono numeri.

Quindi si perde anche l'ordine.

Def: Norma dei Numeri Complessi

N_c : C → R⁺

(α + iβ) → α² + β² quando il quadrato del modulo

oss. α² + β² = (α - β)(α + β) = z̅ . z

Prop:

z ∈ C z = α + iβ

N_c(z) = 0 ⇔ α² + β² = 0 ⇔ α = β = 0

unico z complesso con norma 0 è 0

quindi ∀ z ∈ C & z ≠ 0 ⇒ N_c(z) > 0

Prop:

z₁, z₂ ∈ C

N_c(z₁ · z₂) = N_c(z₁) · N_c(z₂)

La norma è moltiplicativa

Dunque N_c(z₁ · z̅₂) = z₁ · z̅ = z₂ · z̅₁ = z₂ · z̅₂ = z̅₂ · z̅₁ = (z₃ · z̅₃)(z₂ · z₂) = N_c(z₂) · N_c(z̅₂)

associativa e commutativa

ok

Prop:

z₁, z₂ ∈ C₁

N_c(z₁ + z₂) ≠ N_c(z₁) + N_c(z₂)

La norma non è additiva

Controesempio

z₁, z₂ ≠ 0 z = α + iβ z̅ = -α - iβ

N_c(z₁ + z̅₂) = N_c(0) = 0

N_c(z₁) + N_c(z̅₂) > 0 + 0 = 0

ok

Teoria dei Gruppi

Def

• * è un'operazione binaria interna su un insieme X
• * : X x X -> X è un'applicazione data un prodotto cartesiano in X

(X, *) è una struttura algebrica semplice

Def

Nella struttura algebrica (X, *) vale associativa (X, *) è semigruppo

Def

Il semigruppo (X, *) v/e e : e ∈ X : e * x = x * e = x ∀ x ∈ X:

(X, *) è monide

Prop

Il monide è dotato di un unico e elemento neutro

Supponiamo e, e' ∈ I neutri

• e * e' = e (per Def. di e')
• e * e' = e' (per Def. di e)

=> e = e'

Def

Nel monide (X, *) ∀ x ∈ X ∃ x' ∈ X t.c. x * x' = x' * x = e

(X, *) è gruppo

Prop

∀ x ∈ X ∃! x' t.c. x * x' = x' * x = e con (X, *) gruppo

• Suppongo x e x' inversi a x
• x * (x * x') = x * e = x' (per ident.)
• (x * x') * x' = e * x' = x'

Def

Nel gruppo (X, *) vale commutativa per (X, *) è gruppo abeliano

OSSERVAZIONE

(N, _e) è un mondo ma NON sottogruppo di (ℤ, +)

perché non è finito

Prop

f : A → B con A, B finiti

allora f è iniettiva ⇔ f⁻¹ suriettiva

• ⇒ A = {_a1, …, _an}

  B = {_b1, …, _bm}

  f : A → B iniettiva

  _ai→_bi

  f è iniettiva ⇒ ∀_a∈A ∃_b∈B t.c. f(_a) = _b con i=1,...,m

  ⇒ ^A(A)= {_b1, ..., _bm} ⊆ B ⇒

  f è suv OK.

• ⇐ B= {_b1, ..., _bm}

  A={ _a1, ..., _am}

  f : A → B suriettiva

  _ai→_bi

  f è suriettiva ⇒ ∀_b∈B ∃_a∈A t.c. f(_a) = _b

  =>B = { _b1,_b2 ... _bm} = {f(_ai), ..., f(_am)} = {_a1, …, _am} ∈ A

  ⇒ f è iniettiva OK.

OSSERVAZIONE

g:ℕ → ℕ

 m → m+1

g è iniettiva ma NON suriettiva,

infatti     è  infinito

Prop

G è finito x∈G

m∈Z\{0} : x^m = e

     => x è periodico e o(x)|m

Dim

Se o(x) = d

  considero la divisione euclidea di m per d

=> m = dq + r   m = dq + r   con 0 ≤ r < |d|

  x^m = x^dqx^r

  x^m = (x^d)^qx^r

  e = e · x^r = x^r = e

  r = 0   altrimenti     ok

Def

G gruppo x∈G

m∈Z\{0}

   m è esponente    se

    di x    x^m = e

     x è periodico

Prop

G gruppo x,y∈G

x y = y x

<x> ∩ <y> = {e}

   => o(x·y) = mcm(o(x), o(y))

Dim

Se o(x) = s o(y) = t    t

e o(x·y) = m e mcm(s,t) = m

=> s|m e t|m   => ∃k,ℓ∈Z tc. m = sk   e m = tℓ

(x·y)^m = x^m y^m

  x^m = x^sk

  x·y = x·x·y·y

...\^{m volte} y^m y²

    y^m y^t

(x·y)^m(x·y)^t

  (x^k)^e = e   e = e = e = e

=> m è un esponente per xy

DEF.

s ∈ S_n

s(1)=a₁ s(2)=a₂ ... s(m)=a_m

V ∀ s ∈ S_m

con i₁,i₂,1 ≤ i_m ≤ m

⇒ s 1 2 3 ... m

a₁ a₂ a₃ ... a_m

s(i₁)=a_i1, s(i₂)=a_i2, s(i_m)=a_im

QUANDO NON SARANNO IN QUESTA SCRITTURA È INUTILE SONO ORDINATI OSSERVATA

DEF. PERMUTAZIONE CICLICA (o CICLO)

(S_m, o)

s ∈ S_m

s è una permutazione ciclica ⟺

sop(s)={a₁, ... a_k}⇒sop(s)=k

s è una permutazione se di lunghezza k (k−ciclo)

s (a)=a_i+1 ∀ i=1, ... k−1

s(a_k)=a₁

QUINDI

s=(a₁, a₂ ... a_k-1, a_k)

DEF TRASPOSIZIONE

(S_m, o)

s ∈ S_m

s è un 2−ciclo ⇒ s: UNA TRASPOSIZIONE

TEOREMA

V ∀ s ∈ S_m

s si scrive come PRODOTTO FINITO DI CICLI DISGIUNTI

IN MODO ESSENZIALMENTE UNICO (A MENO DELL’ORDINE)

(NO DVL)

ORDINALMENTE?

s = (23)(24)(25) = (132)(15) = (15)(132)

COMMUTANO

PERCHE SONO DISGIUNTI

SONO UNA COMPOSIZIONE TRA UN 3−CICLO E UNA TRASPOSIZIONE

s = (23) (21,5)

s⁻¹ = (23) (1,5)

s= (1,5)(23)(1,32)(1,5)(22,4)

INIZIO DA DX E CERCO 1 (O PASSO AL SUO EQUIVALATO A DX CHE CERCO SEGUENDO VADO SX….

FINO CHE 1 NON RITORNA DOVE LO AVVISO DA 2 E CHIUDO IL CICLO

POI ESISTENDO NUMERI NON USATI (NON ELEMENTI DI A DESTRA) HO DIVERSI

SE HO UN CICLO CON UN UNICO ELEMENTO IN L’INTERNO POSSONO ESSERIVI CON ALTRI

SONO DESSI ANCHE LUI QUINDI POSSONO NON ESSERLO

DEF. L'INVERSO DI UN CICLO C

c: a r−ciclo c: (a₁, ... a_r) ⇒ c⁻¹ = (a_r... a₁)

a=a_r, i_r+1 s=a₁, =Id_s

(Id_s)⁻¹ = Id_s

(a₁, ... a_r)⁻¹ = Id_s