Algebra II - Campi

Teoria dei campi

DEF: A è un campo sse

• (A, +) gruppo abeliano
• (A \ {0}, •) gruppo abeliano
• valgono le distributive di • su +

D dominio ⇒ ℚ(D) (1, ·, :) è un campo

(a,b) ~ (c,d) ⇔ ad = bc

• Vale la riflessiva, infatti ∀(a,b) ∈ D✖D\{0}

  ab = b•a ⇒ (a,b) ~ (a,b)

  (identità di commutazione)

• Vale la simmetrica, infatti ∀(a,b),(c,d) ∈ D✖D\{0} con (a,b) ~ (c,d)

  ad = bc ⇒ cb = ad ⇒ (c,d) ~ (a,b)

  (inversione)

• Vale la transitiva, infatti ∀(a,b),(c,d),(e,f) ∈ D✖D\{0} con (a,b) ~ (c,d) ∧ (c,d) ~ (e,f)

  ad = bc ∧ cf = de

  moltiplico per cf ↔ moltiplico per bd ⇒ ad•cf = bcf ↔ bde

  => ad•f = b•e ⇒ (a,b) ~ (e,f)

⇒ ~ è una relazione di equivalenza

Considero l'insieme delle classi di equivalenza

Q(D) = { [a,b] | a,b ∈ D, b ≠ 0 } = D✖D/{ (a,b) ~ (c,d) | a,b ∈ D, b ≠ 0 }

[a,b] = [c,d] ↔ a/d = c/d ↔ (a,b) ~ (c,d) ⇒ ad = cb

+: ℚ(D) ✖ ℚ(D) ⇒ ℚ(D)

[a,b] + [c,d] = [ad + bc, bd]

• È ben definita, infatti:

  a/b = a'/b', c/d = c'/d'

  ad' = a'b' ∧ cb' = c'b' (definizione di equivalenza)

  a/b + c/d = ad' + cb'/bd'

  Numeratore: (ad' + cb')/bd' = (a'b'd + c'b'a'/b'd' = ab'd + cba'/bd' =

  (a'b'd + c'b'a')/b'd' = ad' + cb'

• = [ad + cb, bd] =
• Numeratore: ab'd + ab'c'' = adcb/bd'avv║ denominatore proprio coso bb'
• => ad + cb = ad + cb

-o.k.-

Teoria dei Campi

Def: A è campo se:

• (A, +) gruppo abeliano
• (A \ {0}, ·) gruppo abeliano
• valgono le distributive di × su +

Def: Campo dei quozienti di un dominio

D dominio → (Q(D), +, ·) è campo

Dim:

Definisco la relazione ∼ su D × D \ {0}. ∀(a, b), (c, d) ∈ D × D \ {0}

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc

- Vale la riflessiva, infatti: ∀(a, b) ∈ D × D \ {0}:

ab = ba ⇒ (a, b) ∼ (a, b)

- Vale la simmetria, infatti: ∀(a, b), (c, d) ∈ D × D \ {0} con (a, b) ∼ (c, d)

⇒ ad = bc ⇒ cb = da ⇒ (c, d) ∼ (a, b) ✓

- Vale la transitività, infatti: ∀(a, b), (c, d), (e, f) ∈ D × D \ {0}, con (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f)

⇒ ad = bc e cf = de ⇒ adf = bcf ∧ bcf = bde ⇒ adf = bde ⇒ ad = be

⇒ af = be ⇒ (a, b) ∼ (e, f) ✓

⇒ ∼ è una relazione di equivalenza

Considero l’insieme delle classi di equivalenza

Q(D) = {[a, b] | a, b ∈ D, b ≠ 0} = {a/b | a, b ∈ D, b ≠ 0}

[a, b] = [c, d] ⇔ ad = bc

Definisco la somma + in Q(D)

+: Q(D) × Q(D) → Q(D)

+, quindi:

[a/b] + [c/d] = (ad + cb)/bd

e ben definita:

a/b = c/d ⇔ ob = ah e u/d = ch

⇒ obdd = abcd = abcbd ⇔ (a, b) ∼ (e, f)

⇒ ad + cb = (ad + bc) bd/

= a/b = c/d ⇒ a = std/d ⇒ dd = cd

⇒ a/bdd = cb/abc = BD = shady bc ⇒ u

⇒ ad + cb = a+d + bc

bd = (ad + bc) bd = (ad + bc) bd/

⇒ ad = cb^per bd ⊗ t = 1

OK ✓

Vale la proprietà associativa infatti,

∀ _{a c e} ∈ ℚ(ᴰ) _{b d f}

_a + ( _c + _e ) = _a + _c + _e = adf + cf + eb _b ( _{d f} ) _{b d f} bdf

( _a + _c ) + _e = ad + cb _e = adf + cbf + eb _{b f bd f}

ok

Vale la proprietà commutativa infatti

∀ _{a c} ∈ ℚ(ᴰ) _{b d} a _c = ad + cb _{b d} bd

ok

∃ u = ₀ = ₀ ∀ _b ∈ ℚ ₀ ∉ ℚ infiniti _1b ^1b

_a = _ab = _a ∀ _a ∈ ℚ(ᴰ)_{b b2} b

∃ l'opposto ∀ _a ∈ ℚ(ᴰ) ∃ − _a = − _a

(infiniti)

_{b b a} + _ab + (−_b) = ab + ab = ₀ = ₀

_{b b2 b2} ¹₀

ok