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Teoria dei Campi

DEF:

A è campo di ⇒

  • (A, +) gruppo abeliano
  • (A\{0}, *) gruppo abeliano
  • valgolno le distributive dx e sx

DEF: Campo dei quozienti di un dominio

D dominio ⇒ (Q(D), +, *) è campo

DEF: Definisco la relazione ~ su D x D\{0} ⇒ ∀(a,b),(c,d)∈D x D\{0}

(a,b) ~ (c,d) ⇔ ad = bc

Vale la riflessiva, infatti ∀(a,b)∈D x D\{0}

ab = ba ⇒ (a,b) ~ (a,b) (id comunitivo)

Vale la simmetrica, infatti ∀(a,b),(c,d)∈D x D\{0} con (a,b) ~ (c,d)

⇒ ad = bc ⇒ cb = da ⇒ (c,d) ~ (a,b) ok

Vale la transitiva infatti ∀(a,b),(c,d),(e,f)∈D x D\{0} ok, (a,b) ~ (c,d) ∈ (c,d) ~ (e,f)

⇒ ad = bc ∧ cf = de ⇒ adf = bcf ∧ bcf = bde ⇒ adf = bde ⇒

Moltiplicare per ↔ moltiplicando ⇒ af = be ⇒ (a,b) ~ (e,f) ok

⇒ ~ è una relazione di equivalenza

Considero l'insieme delle QQ ≡{ [a,b] | a,b ∈ D , b ≠ 0 } = ≡ ∈ ∀b | a,b ∈ D , b ≠ 0

classi di equivalenza

[ (a,b) ] def = [ a : in, : ] quindi:

bb

a/b = c/d ↔ (a,b) ≡ (c,d) ⇔ ad = cb

Definisco la somma + in Q(D)

+ : Q(D) x Q(D) ⇒ Q(D) tc. \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + ad + bc

bd bd in Q(D) perché bd ≠ 0

E' bene Definita?

ac = bd + bd ⇒

ad + cb ad + bc + ad + bc

bd bd bd bd

a/d = \frac{a

b/c = ↔ ∀d ≠ c/d = \ldots ⇒ ab = ab ∧ c = cd ∧

ad bd = ≠ cb e abcd = abcd = bdcd = bcdcd

bcdcd+bbcdcd; ⇒ o+ bcdcd=(o+d*c)bcd; abdcd=() ⇒ (ab+bc)bd⇒

⇒ ad+bc=ad+cb bd bd=ok

Vale la proprietà associativa infatti,

∀ a c e ∈ Q(D)

a/b + (c/f + e/d) = cf+ed/df

a/b + c/f = ad+cf/bd+bed

↑ = adf+cbf+ebd/bdf

or

Vale la proprietà commutativa infatti,

∀ a c ∈ Q(D)

a/c = ad+cb/cd

b/d = cd/cd

d/f = cd-adf+cb/cd = cd-adf+cb/cd

or ok.

∀ u = 01/02 = 03/04 ∀ ε ∈ inf.

01/b = a/10 = a1/a2

∀ a2/b ∈ Q(D)

or

∃ l'opposto ∀ a ∈ Q(D), ∃ -a/b = -l1/-l2

infatti:

a = -b/c + -b/a = ab-ab/b2 = b2/10

ok

Definisco il prodotto "×"

∈ Q(D) × Q(D) = Q(D) t.c = c1/c2 ∈ Q(D) poiché b≠0 + d ≠0 → b≠d≠0

∃ ben definito?

a/b ⊂ ac/bd ⊂ cprimed/dprimed = ac1 ⊂ a1c1/bd ↑

∃

= → a1/bprimed ÷ bprimed = ac a1 ∃

=> ↑ bcd + b1c1; abcd = ab(=) ⊃← bsubcd

not. per ci; ¬ bc bc &arrbldsub. cb = abcd

=> aicsub = ac

bdc = cc11

a = bd f a

c⊂ = d1&o;

ok

Vale l'associativa infatti,

∀ a c e ∈ Q(D)

(a/c) (e/e) = ae

a/b (c/

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Publisher
el_ces_94
A.A. 2014-2015
36 pagine
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SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher el_ces_94 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Perugia o del prof Lorenzini Anna.