Algebra II - anelli

Def

(A,+,•) è Anello se

• (A,+) è gruppo abeliano
• (A,•) è semigruppo associativo
• Distributiva (a(b+c)=ab+ac)

Se (•) è commutativo → (A,+,•) è detto anello commutativo

Se ∃ e_A,neutro rispetto a • → (A,+,•,1) è detto anello unitario

Esempi

• Z è anello commutativo unitario
• Z_m è anello commutativo unitario m∈N
• Z_mⁿ è anello (unitario se tui elementi della matrice appartengono ad un anello unitario)

Obs

A={0_A} è anello commutativo unitario con 1_A=0_A quindi

A≠{0_A} ⇔ 1_A≠0_A

Equivalenze

• Anello con A≠{0_A} nulla ∀x,y∈A ∀m,n∈Z
• Ox=xo=0
• (-x)y=x(-y)=-(xy)
• (mx)y=x(my)=m(xy)
• (mx)(my)=(mx)(my)=(mn)(xy)

Dim

O•x+O•x=(O+O)x=Ox+Ox → Ox=0 (Pe annullamtore in (A,+))

xO+O=xO=(x+O)x-(O+)x=Ox+Ox → xo=0 (Pe annullamtore in (A,+)) OK

(-x)y+x(-y)=(-x+y) (y+0 Per a) → (-x)y=-(xy) OK

(x(-y)+xy)=(-x+y) → xO=0 (Pe a) → x(-y)=-(xy) OK

(mx)y=(x...+x)y=xy+...+xy=m(xy)

x(m(y))=x(y₁) + y_k = x_nell'ipotesi + y = m(xy)

DJ (m x) (m y) = (x_{procediamo costruendo da 0} + (m) x)_{assumendo la divisione}= m(x y) + ... + x (m)_{termine nest} = (m) m(x y)_chiusura

m (x m y) = x (m)_ipotesi + x (m y₁) - m(y)_ipotesi- m(x y) = (m) m(x y) (xy)

OK

Def: Anello commutativo con A ≠ O⊘

a∈A si a leff (0 diverso a 0 oppure 0 0)

Esempio

A=Z₆

0̸=2 3≠0 t.c. 2 3 ≠ 6=0 ⇒ Z/2 è diverso a 0

Def: Anello commutativo unitario con 1≠0_invisibile (dato nel paradosso)

a∈A show 1∈ (∃x) show a Esempio_{(preso al paradosso)}

in ℤ show elementi invisibili sono a_J 5_show

in Q show ℚ⊘

in Z^m

∑a∈Z^m 1∩O(a m)=∑

OSS

O mai invertibile (INFIN)

O a≠0≠1 for alle a show A anello ong il A≠O⊘_invisiamo

Prop: Anello corrente unitario con A≠O⊘

a≠A a show invisibile ⇒ O non il 0-diverse

DEU

b≠0 = show ao_{1somiglian o A con 0 per O. Sort}

O non il 0-diverse OK

A=Z_{corrente ho creato il diverso a o}

Va≠C con il o = Z non è m per ℕ, banco!verkettete show diverso xa con 1-2(≠0)0-diverso x Rail! wo √x^invisimile (S. x-2)

DEF

A anello commutativo

x∈A

<x> := { ∑ _i a_ixⁱ | T≥0, x∈A }

prodotto generato da X

PROP A commutativo unitario

IDEALE PRINCIPALE GENERATO DA X

<x> := { ∑ a_i xⁱ }

DIM

<x> = { ∑ a xⁱ | x∈I } ⊆ I

∀ A,U,T, x ⇒ ∃ a x ⋂ ∑ a x_i ∀ x,I,xε , x

∀ A,U, I⇒x∃ a x ⋂ ∑ x,xε , x

∀ z∈S z∈S

-∀ z₁,z₂ ε S ⇒ ∃ a, b ε A t.c. z₁=ax ⋂ z₂=bx

z₁ - z₂ = ax - bx =(a-b)x ε S

(a-b) ε A in anello

∀ z ε S ∀ b ε A

zεS ∃ aεA t.c. z=0x

b z=(b x) ε S dato,-b α+a in anello

x∈A , x ε S quindi α ε unit (A)

∃ n I∈ΔA

∃ n Σ diag (x∈I)Σ(S) ⊆

a.z Z (=1,+) SIA T ⊇ = (1,+,) ⊆ (1,-)

QUINDI⇒ Z ε N(∘ stesso )

PROP A anello commutativo

unitario f, ε E f, ⊇ A

δ=AεI

(f) Δ ε I

DIM

I ⊆ A rem(e)

⇔ I=A

fε (f)

DEI

A + ∃, come unit

P ⊈ A

def P ⊈ A