Algebra II - anelli

Teoria degli Anelli

Def.

(A,+,•) è Anello <=>

(A,+) è gruppo abeliano (associativo, Ǝ elemento (0), V a Є A Ǝ (-a) (-0), commutativo)

(A,•) è semigruppo associativo

(∀a,b,c Є A: a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc)

ES:

= anello commutativo unitario

ℤn anello commutativo unitario ∀n Є ℕ

•_n anello (univoco se gli elementi della matrice appartengono ad un anello unitario)

OSS.

A = ℤ⊕ℤ è anello commutativo unitario, col 1_A = 0_A, quindi,

λ ≠ ℤ⊕ℤ ⇔ λ ≠ 0_A

LEMMA

A anello con A ≠ ℤ⊕ℤ, allora ∀x,y Є A e ∀m,m Є

1. 0x = x0 = 0
2. (-x)y = x(-y) = -(xy)
3. (mx)y = x(my) = m(xy)
4. (mx)(my) = (mx)(my) = (mm)(xy)

Dim.

1. 0x + 0x = 0x (0 + 0)x = 0x + 0x → 0x = 0 (per assorbimento n._n.c.1)
2. x0 + x0 = x0 = (x + 0) = x0 + xo → x0 = 0 (per assorbimento n._n.c.1)
3. (-x)y + xy = (-x + x)y = 0y = 0 (p.o.)   → (-x)y = -(xy)
4. x(y) + x(y) = (x - y)y - x = 0 - 0 (p.o.)   → x(y) = x(y) => (xy) (disassorba)
5. (mx) 'y = (x, +, x), 'y = mx (my) = n(xy)

Teoria degli Anelli

Def:

(A, +, .) è anello se:

• (A, +) è "gruppo abeliano" (associativo, elemento (0), esistenza opposto, commutativo)
• (A, ., 0): è semi-gruppo associativo
• Distributive (a+b)c = ac + bc

Se

• È commutativo => (A, ., 0) è detto anello commutativo
• È anello ridotto a 1 -> 1 = (A, +, .) è detto anello unitario

Esempi:

• Z è anello commutativo unitario
• 2/m è anello commutativo unitario A meno 0
• M_m (n è anello)

Dim:

Anello con A 0 _A quindi:

• 0x = x0 = 0
• (-x)y = x(-y) = -(xy)
• (mx)y = x(my) = m(xy)
• (mx)(my) = (mx)(my) = (mmol)(xy)

x(m,y) = x(y-,+y) - xy-+xy = m(xy) ok

m volte osserviamo

d) (m)(m)y) = (_-+___-) (m)y) = (_-m(y)) _- x (m)y = m(xy) = (... ... .. m(xy) = (mn)(xy)

m(m)y) = (_-+___-) x(m)y) = x(m)y) + __ x(|yy|) = m(xy) + __ m(xy) = (m m)(xy)

NN volte osserviamo

ok

Def.

A anello commutativo con Λ ≠∅

a ∈Λ s.i. a|c_⇒ ∃b ∈Λ con b≠0 t.c. a|b_⇔ a|b₌0

_0-divisore

Oss.

O è un divisore a O mai-mano nonn c'è sense btenom un divisore b,0.

Esempio

Λ=2_g a!=3. ∃3,≠0 t.c. 2≠3. 6 = 0_⇔ 3.2 è divisore a o

Oss.

A anello commutativo unitario con Λ ≠∅

a ∈Λ soloe_{invertibile ⇔} ∃a_↔t.c. a◊=o. a=1

_{grersonal paradan}

Esempio

_{in 2} gli elemntin ivnertbili sonu. {±2,±3}

_{in Q} q.x ≠∅

in 2_m ξ, a ∈ 2_m 1_← 0(a.m)= ξ;

Oss.

0 _{mai invertibile} (mnft)

0 · a = 0= o ≠ 1 ∀ c ∈Λ con A anello commutativo e Λ ≠∅

Prop.

A anello commutativo unitario con Λ ≠∅

a ∈Λ a ei invercible _⇔ a non è 0-divisore

_eh ab = o = a. a· · b = a_· t. C. a ◊ = - b = 0 _⇔ b ◊=0 t.c. ao=0;

⇒ a non è O-divisore α;

Nota

Λ= ... a non sono 0·divisor

∀ x ∈Z con x≠o^* o=( - x non = - x ≠ g:;λ a .x∈ 1- 23

^* t.c. 0-divisore

........_g.0-divisore

PROP

In un anello commutativo unitario con A ≠ ∅a ∈ A, a ≠ 0 non o-divisore ⇔ a è cancellabile

⇐ supponiamo che a è cancellabile

a ≠ 0 ⇒ a°c = a°c ⇒ ab°b = 0 ⇒ a (b - c) = 0 ⇒ b - c = 0 ⇒ b = c⇒ assurdo Poiché a è cancellabile

⇒ o-divisore

DEBILITA a non è o-divisore

⇒ o-divisibile

• a ≠ 0 e c
• a ≠ 0

DEF

z è dominioa dominio iniettivo

ESEMPIO

• Z è dominio
• Z non è dominio con esempio 2 è o-divisore non banale

DEF

A campo{A ≠ ∅}In anello commutativo unitario∀ α ∈ A⇔ poiché A è invertibile

PROP

A campo ⇒ A è dominio

DIM

A campo ⇒ ∀ α ≠ 0 α è invertibile∀ α ∈ A con α 0 ≠ 0α non è o-divisore

FALSO

Z è dominio ma non è campo

PROP

A dominio finito ⇒ A è campo

DIM

{1, 2, 9} A è dominio finito∀ α ≠ 0α è invertibile ⇒ A è campo(Prop precedente)

α ≠ 0 non o-divisore (Def)

DEF