Algebra e geometria lineare - il rango di una matrice

Rango

→ è un numero che esiste per tutte le matrici quadrate non nulle. I vettori prendenti si determinano i passano opportune per scegliere il rango di una matrice. Ciò si può apprendere ai sistemi lineari, ci portavano per lo stronare le in sistema omogeneo una equazioni le in sugliocche ha une soluzione non nulla.

Minori e sottomatrici

Cominciamo a vedere quando una matrice A E n n ha un calo rango "p" ex. 4x4, 3x3, 2x2, 1x1 → Sottomatrice quadrate → ρ è l'ordine del minore non nullo.

Rango → è il numero che esiste per tutte le colonne quadrate con occhio la rimozione semplice e ordinata. I criteri precedenti su determinanti si possono applicare per trovare il rango di una matrice. Ciò si può applicare ai sistemi lineari, e particolarmente per stabilire se un sistema omogeneo di equazioni in n incognite ha una soluzione non nulla.

Cominciamo a vedere quando una matrice A è p×p ha un certo rango "p" ex.  [λ x 5] → [4 x 4, 3 x 3, 2 x 2, 1 x 1]    [sottomatrici quadratiche]        →  det ≠ 0.

p = 4          ρ = è l'ordine del minore non nullo.

Definizione di rango

Def di rango: Sia A E K^m-n da un campo di A e scriviamo p(A). E' l'ordine massimo di un minore non nullo estratto dalla matrice A: il rango della matrice A.

Se tutte le righe e colone sono nulle -> 0.

Se A E K^m-n, diverso da 0, A E scriviamo p(A)=r, il numero di righe (o colone) non nulle, deriv su cui tra r righe linearmente ex A.

2 1 0
3 0 2
4 0 0
Righe nulle.

p(A) = 2 (2 righe non nulla).

a_1uvl + a_2uv_m.0u K: righe non linearmente tra problema tra esiste righe non nulle o colonne estratti;

Teorema di Kronecker

NB. K: rango di un matrice compare alla dimensione dello spazio generato dalle righe di A e dalle colonne adonto il teorema di Kronecker t definisce [R, R-u)[azione di trasf/rigo]: (due base all'altra -> se V K: spazio vettoriale, ordinamento: se dup per ognuna, beta: ugu con A i... tutte base -> ricomincio vettori delle base ultime X con C, B.

base A: [U₁, U₂, U_m]

base B [V₁ V_k]

u_{a0 subscript="1">} -> Aug ero

[ a_u1 v_m ] [a₁₁, a_u0, a_um] u_m

U₁ = a_u1 + Rx + a_u1 v₁ a₁ asu = Erub_u

U₂: Aug epp.

A D[ a_u1 a_ul a_um ]

ottenuto mettendo ordinatamente nelle colonne le componenti dei versori che lo compongono e un altro tra esse di altre unità nei passaggi da A a B. Tale matrice è invertibile e la sua unica inv è il suo moltiplicatore più A.

Esercizi

Date le matrici

A = (^{1 2}_{3 5}), B = (^{-1 3}_{2 1})

Calcoliamo i determinanti delle matrici A, B, A·B e B·A.

Soluzione

Calcoliamo i 2 det A.

|A| = |^{1 2}_{3 5}| = 2·1 - 2·3 = -4

det |B| = |^{-1 3}_{2 1}| = -1·1 - 2·3 = -7

A·B = (^{3 5}_{7 4}) ≠ B·A = ()

Per calcolarne (det di A·B e B·A)

|A·B| = 12, |B| = (-4)(-1) = +5

|B A| = -1 |B| |A| = -7 (-1) = +4

Calcoliamo det A e det B

A = |^{2 1 1}_{-4 1 53 2 -1}|, B = |^{2 -1 5}_{0 4 60 3 3}|

det A = |^{2 1 1}_{-4 1 53 2 -1}|= 2 4(-1) + 1 4, 3(-1) - (-1) - 2 - (-1)= |A| (det) ≠ 4

Possiamo applicare ad A il 1° teorema di Laplace alla 2° colonna.

|A| = ^2_-1 4 -1

|B| =

Calcolare il determinante della matrice A per la 1^a Somm ma esse.

Utilizzare il Teorema di Laplace.

|A| = -5 soluzione.

Determinare il valore h

Determinare il valore h _^R per cui la seguente matrice ha determinante pari a zero.

A = _¹ h2 1 _^h

det A = 2h² - 5h - 2 = 0

h = ^9₂

h = -1

se h = 9^-