Algebra e geometria lineare - il rango di una matrice

Rango → è un numero che esiste per tutte le matrici quadrate non nulle.

I vettori prendenti si determinano i passano opportune per scelere il rango di una matrice. Ciò si può apprendere ai sistemi lineare, ci portabano per lo stronare le in sistema omogeneo una

equazioni le in sugliocche ha une soluzione non nulla. Cominciamo a vedere quando una matricia A E n n ha un calo rango "p"

ex.

• 4x4, 3x3, 2x2, 1x1 → SOTTOMATRICE QUADRATE

→ ρ è l'ordine del minore non nullo

Rango → è il numero che esiste per tutte le colonne quadrate conocchio la rimozione semplice e ordinata.

I criteri precedenti su determinanti si possono applicare pertrovare il rango di una matrice. Ciò si può applicare ai sistemilineari, e particolarmente per stabilire se un sistema omogeneo diequazioni in n incognite ha una soluzione non nulla. Cominciamoa vedere quando una matrice A è p×p ha un certo rango "p"

ex.

 [λ x 5] → [4 x 4, 3 x 3, 2 x 2, 1 x 1]   [sottomatrici quadratiche]

       →  det ≠ 0p = 4          ρ = è l'ordine del minore non nullo

Def di rango: Sia A E K^m-n da un campo di A e scriviamo p(A). E' l'ordine massimo di un minore non nullo estratto dalla matrice A: il rango della matrice A.

• Se tutte le righe e colone sono nulle -> 0
• Se A E K^m-n, diverso da 0, A E scriviamo p(A)=r, il numero di righe (o colone) non nulle, deriv su cui tra r righe linearmente

ex A.

• 3 0 2 4
• 0 0 0 Righe nulle

p(A) = 2 (2 righe non nulla)

K: righe non linearmente tra problema tra esiste righe non nulle o colonne estratti;

Teorema di Kronecker

NB. K: rango di un matrice compare alla dimensione dello spazio generato dalle righe di A e dalle colonne adonto il teorema di Kronecker t definisce [R, R-u)

• [azione di trasf/rigo]: (due base all'altra -> se V K: spazio vettoriale, ordinamento: se dup per ognuna, beta: ugu con A i

... tutte base -> ricomincio vettori delle base ultime X con C, B

base A: [U₁, U₂, U_m]

base B [V₁ V_k]

u_{a0 subscript="1">} -> Aug ero

[ a_u1 v_m ] [a₁₁, a_u0, a_um] u_m

p.A D

ottenuto mettendo ordinatamente nelle colonne le componenti dei versori che lo compongono e un altro tra esse di altre unità nei passaggi da A a B. Tale matrice è invertibile e la sua unica inv è il suo moltiplicatore più A.

Esercizi:Date le matriciA = (^{1 2}_{3 5}),B = (^{-1 3}_{2 1})

Calcoliamo i determinanti delle matrici A, B, A·B e B·A.SoluzioneCalcoliamo i 2 det A

|A| = |^{1 2}_{3 5}| = 2·1 - 2·3 = -4

det |B| = |^{-1 3}_{2 1}| = -1·1 - 2·3 = -7

A·B = (^{3 5}_{7 4}) ≠ B·A = ()

Per calcolarne (det di A·B e B·A)

|A·B| = 12, |B| = (-4)(-1) = +5|B A| = -1 |B| |A| = -7 (-1) = +4

Calcoliamo detA e detB

A = |^{2 1 1}_{-4 1 53 2 -1}|,B = |^{2 -1 5}_{0 4 60 3 3}|

det A = |^{2 1 1}_{-4 1 53 2 -1}|

= 2 4(-1) + 1 4, 3(-1) - (-1) - 2 - (-1)= |A| (det) ≠ 4

Possiamo applicare ad A il 1° teorema di Laplace alla 2° colonna

|A| = ^2_-1 4 -1

|B| =

Calcolare il determinante della matrice A

per la 1^a Somm ma esse

Utilizzare il Teorema di Laplace

|A| = -5 soluzione

Determinare il valore h _^R per cui la seguente matrice ha determinante pari a zero

A = _¹ h

2 1 _^h

det A =

2h² - 5h - 2 = 0

h = ^9₂

h = -1

se h = 9^-