Algebra lineare

CLwitdzwztd. tninntow vv > va: nonw-.. ,, vettore ININabbiamo ilcambiera espansivisparsaviincluso }}= ,wwnwa wmma . .. ., ., ., .,seguentiDef costruiamoVEVdati VdiW insiemisiamo issv: :, ,,v.eu/veW,veU sottoinsiemeWmv^ intersezione}:{: ⇐wtvlwew sottoinsieme2 }Willi :{ ueu ⇐ somma,Teorema tuttiWNU Vdisono ssv: e rispettodimostriamo moltiplicazioneINN che diallechiusoJim operazioniè somma e: :VZEWNU haessendo tvzevmetri Uvzev tvzelndeitv sissv v.v.vi. vi.e e:v. ,,?tvzetvnv dell allora WmvWNUauew VU didue ssvduesev. , W euc-wztvaelntv alloraEWTUw.tu.lt/wzth)--(w.twz)t(v.tVa)elNtUeWeUaelRconsideriamo WTU siamo (w.tv e. , tutti diwww.t.dwitdv.ewtu Vssv,Ossi In INUU1 generale Vdiè ssvunnon= WIOUWdirettadicealloraWNU Wtv:{ Udi}a sise somma efinita dimirlwi.su/=dimirUtdim,rlNUdisse hanno alloradimensioneUew}se e. ottienebase basedi base didalle WUIOW di di Usi unioni unaunauna conFormula leseguente formula che legala dimensionivalegenerale di Utili W Unwv.in:

,,dimirlvi.tn/=dim,rlNtdim,rU-dimirUnW formula Grossmandielpilx.ytz.to:{}sparsi" }! È! laVAREs trovareIN diminwtv① basev. v. sua: unse, .② trovare la basedimirlnnv e suaunai ÷ :*:* :* ":* ; :÷;;: : ÷:c :: ÷ ::; :- LI WW-ispanswuwz.ws chevediamo base} sono perauubuala.be/R}www.t.saw.tpwattws/L,p,8elR3WtU=spanEw..wa,ws,u.,vr:{sssdvi.ua} WUpsiche sparse:= , generatoritrovare determiniamo ilbase di} di Wtu numerounaperI. fatti calcolil che !Lvediamodvitpwatiwstedvproviamo iWw v.uacon sono} ,. ... , , Ntvdimirlwtvt.li base di}{ è.li.wse .uaw ,,2 formula dimirfvnwdalla diminuizione dimhtdim.IN) )chedi 1ricaviamo <- -grossman vewa.be/Rv=au.tbuz=a!tb!=!.eU ebdevosparso scagliareveli}Unw = a,appartenga f-aw ) b)che anche I 2=25modo =Db- -126=0a)Isoin :( so a⇐ a- +ytzx. -v - ;!6=1scegliere =possiamo ✓ .Matrici linearidisistemi equazionie ?È " !? I;A- realiEIR A coefficientimatricedice= i.a sii jsi an mxnm... .. .,,;C) 2mm.

.mi . , l' tutte leAlcune IRMm matricimatricenotazioni quadrataA chiamerà diinsiemesise anon ;: ..l'coefficienti reali quadrateMNIIR) delle matriciinsieme nxn;

Operazioni tra matrici : matricelaA.be/Ym.nlR definire IRAtbeltm^ Somma vogliamo somma: ..÷÷ :cioiii.: : :⇐: !! !!! ! !!prodotto !:-.aekscalare AdYm.IRmatrice .IRehm' a =L:- , ..TeoremaIRMm vettoriale le di (moltiplicazione )scalareoperazionispazioè con somma euno. ..Inoltredimnamm.nl?=mmOss:Eijla ha tuttimistica dalladiverseche qualesulle nella 1è )zeri posizioni ècoppia ti c'juna un- .! !!? ?% !! ! matrici! EEijlisi.imEC- E di}= è insieme1!si en un non" ""; .. -, IRMmbase. formano lo spazioperuna ..matriciEs Verifichiamomsn.si/YalREn=taleche basedi quandoinsieme 'e una: ! 53+38+93+38! ! !? } !i. ! ! generatorisistemaEri di A. =Eiè =Ezé =sono :un,. A matricidelleEntbcztctizits CL En EzzEia= EriEraa è ,,

ÈÈ ! }LI consideriamo =xentyfiztzez.ttC. →L Ez =sono : oz =una g.⇐,. zlkbasequindi concludere En ,Eche Eiz Ezpossiamo sono peruna»,,,Prodotto tra matriciA- .IRehm laIRBeh .IRehmdefinisce prodottomatrice A- Bsltbdi :c=si per, ,, ,!)( prodotto nbnj"elemento colonna cij-aiibijti.itil dia 7inci aie =rigagenerico -. . ., , , bnj Visihbhidi=.mn/j--1...kEs:A=i:.B-.i3=oc=a.B-.%cc:=I5c,,=(i,i..!I = ") ( ÷1-11-1.1=2 Ca ÷, :cinismo «». ..Oss tra ammutolivoprodotto matriciil AA. B B-#è: non( KelvinAtac .IRVA .IRBenn distributivaproprieta ' ACTBC:: , ,cftttstcittcb Kelvin.IRVA .IRBeth2 , , AssociativaAIBC)B) V.ABC .mil?,BelYn,lR,CeMr..nllRlAEIYM} c-: " !Kitchen matriceIì.dk AIi-Inh.lt" identitasia !Def invertibile )AAEIY.IR BEMNIIR indicaEc solitoABEBA Indice diBsia si-si: se e. ,. ,"B- Acome ! 13=7 }!matricela matricevediamo troviamocalcolare D=diinversa 2×2puòsi :unacome ;!Ì )(?i.

.))Afrgllt }di Eminemrango n,?!!Es rglltlsminsaD= vettorinotiamo ! !A ha percheche33=2 2 2ci riga: rango sono,Oss dell'Ase donna calcolotale esclusaallora neldonnanullaè rigarigaviin va: ouna rangoo,caratteristica sottomarinila averti determinantequadrateilA degli delle Aordinidi massimo inè noncaratteristicaPropnullo rango =.conseguenze : n.me/RvettoriPer la^ b.studiare di1 ildi calcolare diinsieme puòsivi. va rangoun .. , . . ,.IRehm posto b.colonna di A 1PernellaA- i cuiesimavi.vnva .vnvi. com v. sono= - . ...,, .. . . ,digli⇐ determinantequadrata.vn/Ym.nlR sottomarca2 SEAconsideriamo D= hacheèse vi. va suae una. . .,A* le di b.individuano lcolonne che 5o sono .}}!Es costruitoD= controlliamo sulladei 'Ignis della))regia =3 33 # rigao: :} } }I} }"!fittiif gfdi.gldella) dei 3)dei89 )dei -21+48-27=0Ffs7 t.isi + ==> - -- Ì }sottomarino dellaconsideriamo 5<3 to:S 8=-3= = aziendaa.rg -,'inoltre LII LI) la dicolonna

le righe D vale anche L cioè sono pere .,

Calcolo del rango del determinante

Se parte A il calcolare dal si è sn o = se senxn nrg ;:, il sottomarino de considerazione dci prende il calcola) è xp1) insi in siso i una see--, sotto altro matrice) considerare gia* è si Dxlnin no = se oim un= - -- ., tutte matric