Algebra lineare

Vettori vettoriali

spazi

e

V vettoriale definite

)

( dato

dice SV operazioni

spazio 2

si in insieme sono

se un :

^ )

addizione "

indicheremo

che "

'

somma tu t

: un

o elemento

tra chiamato scalare

reale

moltiplicazione di V

2 ⇐

e numero

un

: un vettori

elementi diranno

V

di

gli si

! ?

§

{ le

IR }

IRXIR definiamo

ix. vettore

go.IR IR

colonna

ix. ⇐

g)

= - operazioni

v : su

;

.

È

Ì È % ?

Hammett

?

dell av

vi.

v.

v. vi.

= + ; ,

, '

Proprietà nel di IR

caso

? commutativa

( )

'

^ Associativa

( )

tv V. tvzivatv

vztv

V.

tvz

somma v. +

=

: , } ,

;

% " "

valore I.

nulla Vi

a Vita =

c.

un

% definire

vettore vettore

opposto vi questo

"

il modo

di ) possiamo

tfv

ciascun a

v. in

=

-

: .

tlywev

sottrazione

la vettori

tra vtfw )

2 v. w P

Associativa

:P o.net/aelR,veV

moltiplicazione

2 R

Va vev

dlpv

) pel

rapir pian o a-

" avevi

> > ,

, %

% Distributiva tvev

tlaelp NZEV

diritti

) t.VN

evitava

> v. ,

,

le caratterizzano affinche

moltiplicazione

le

proprietà V

%

P SV

di sia

operazioni

e somma e

,

.int/xielR,i--i...n

:{

Es l'

IR } ordinate della

di reali

( delle rupie

insieme numeri esima

i i.

x. Ya xs x

: ;

. . .

,

, .

" ?

vettore " le

dell' colonna

componente vettore di IR

IR di

definiamo

⇐ operazioni

vs ; =L

! aelR.net/Iia.v.=a

!

!

! "

vii.vzelk •

• !

' vivi + =

. . L Ì

verificate proprietà particolare

questa le viste

definizione precedenza sensi :

vi

in in -

:

sono

con i

,

vettoriale astratto

Es di spazio verificare la

struttura SV

SIR basta moltiplicazione

} di

dotare di

f V

:{ 0,1 ⇐

v possiamo

: somma

: una e

;

f. ( fa

fa t.fr/rx)--fix)tfzixiVxeEs,i f

EV f. fitta)

(

^ =P

=P =3

3 × 2

] in +

×

, ,

,

f.cl/aelR(d.f.ixi--dlfiixi

) Kieran

.

,

l'elemento %

funzione

la

} nullo di V Vieto

è :O ,

Def vettori lineare

IR

EV combinazione

V di

CL

di dice

siamo

siamo si .vn

K

va vi.

vie a dire va

.az

v.

: -

. . . , .

. . . .

, , .

,

vettore

dati seguente

scolari EV

gli il tante

d. Vitdzvat

con i.

: -

, EIÈ

§ §

Es vettori

questi

§ tra

calcolare la CL

d. dssz

=L da

vi.

v. -1

: = ↳ = = :

,

,

, , §

§ § !

!

§ §

§ §

§ '

d. Lzvzt 234=1

Vit e +2 = =

- =

+

t - ,

vettori

tra

Lineare / indipendenza

dipendenza l'

LI

indipendenti

EV linearmente modo

diremo di ev

unico

siano esprimere

Va

vi. v .vn

.vn come

sono

.

. .

.

.

, ( :o)

vettori scalari il

di

quello

dei

CL agli valore d.

0 divitdzvzt =L

tanvn.eu

è = '

.vn -

assegnare

vi .

. . "

. .

.

, linearmente LD

dipendenti

diremo che I.

tutti nulli

invece

aNitdzVzt.iitanVies0_rEsi@VslR.v

di a

se

sono non c.

"

. .

.

:L !

! ?

LI I.

consideriamo

ivi dieta

y a .az

e c.

↳ sono .

, , %

%

%

I

Ita !

!

!

%

!

a. LI

=

. v.

. v. sono

e

.

①

' È

VAR ? al

Kell la tra

studiamo

• /

b. di ki

variare

v. vs

= vi. va e

vi.

v , .

, ,

, ,

vettori

la dei

considerando CL :

xv.tyvztzvs-o@x.yezelR kx

D=

kxtyto

! -

④ o

=

§

× 2-

+ y = xtzkx

2-

xtzytz o =

> - -2×+4 0

+391-22=0 3 =

X kx

+ kx

-

g. KX

= - LD

vettori

( 1) i

14=1

se 4=0

K so 9=2--0 sono

+ -

+2k ,

,

⇐ xc.IR vettori LI

xtkx K #1 2-

o × i

- × =

se y=

- sono

-

, ,

Ossi " sistema

hanno di

IR risolvere

equivale lineari

LI

vettori dire che equazioni

in K

si a n

se sono un

, ,

incognite

K

equazioni con opportuni scalari

per

} sistema

EV generatori

Def di VEV

:{ loro

dice di V CL vsd.vitdzvat-i.tdmvma.az

è

ogni

si

.vn

v se .am

:

un

. . .

.

.

. . generatori

vettori

di di

Def VI. sistema

base di ed LI

Una }

V di

di V

Ev

insieme .vn

è un sono

: un

c

. . . . .

indicata base

la sistema

di dim.pt generatori

il loro di

indica dimensione V

numero , Ì ?

!

È !

[ seguenti IR

vettori di

base

consideriamo formano

i

si =

e. =

e. e.

= una

, , ,

!

? ④ ⑤

?

sistema ? ?

veh

^ generatori cell

di b.

vs a. b

sono un =

=

lo

si sono ⑨

④ ③

④

? y.zc.tl?xe.tyeatze,--o

2 LI siamo 2=5-2--0

sono z

+

x

x. = =

.

lo base canonica

si sono dimp.IR?=3

'

IR

che

concludiamo

quindi base di

se } è

.ee e una

,

. ,

Ossi In "

la

generale base

' IR

di {

'

canonica .cn}

2

no .cz

e

un e

, . .

. .

,

finita

2 vettori

vettoriale tuttavia che

infinite di

basi

ha il

dimensione I

che

generico spazio

per un numero

, , di

alla

basi V

delle che corrisponde dimensione

medesimo

il

ciascuna è

compone sottospazio

Def vettoriale vettoriale

INEV ( )

sottospazio

V di

dice V W SV

si ssv

spazio è

: se

un con

un

,

, ,

le definite V

operazioni in verificare le seguenti

devono condizioni

V

di

SSV

Wei si

se :

Vw

IN

.me/N2aweW

^ c-

w.tw

, ,

their wow

, rispetto

chiuso alle di V

deve 2

cioè operazioni

essere .dk/i-yt3z--o3Wei5SVdilR

' È '

' htt ?

VAR

Es WEIR

sia

e

: È

È !

È ! !

! eh

consideriamo ew quindi w.tw

y.tsz.co xz-yzt32.io

vi

w = >

× e

- ,

, ,

, yii-3.z.lt/Xz-yat3zz)=o;Lw=%felNl=ddX-dyt3(dZ)=df-yi- 32-1=0

fitta tydt3lz.tk

) ( =p

)

y

- -

,

,

Ossi V vettori

finita generatori

dice

1 dimensione

di E LI di

di V

}

SV Ev

si insieme

se .vn e

un . .

. .

,

Tale redimerti

base

dice V

insieme si per e base

la

vettori

formate

2 dipende

V dal

? dalla

Quindi

basi V

di

dimensione

di medesimo di

numero

sono non

.

che sceglie

si

Notazione tdmvmla

vi.

generatori diremo che

allora } and

di di Sparso

{ } {

V antenati

insieme

è .vn

se .vn

v -

.

: un .

.

. . . .

.

. . .

. ,

allora vettori LD

} generatori allora redimerti redimerti

di V i

se

sono

v

se sono

.vn ,

. . . vettori base

redimerti LI

i

se sono sono

e

Ì

! }

spot ! ' la

EIR Troviamo dimensione

Es W

di

wessv

in >

: . , .

! consideriamo

LI

RIR tv

vettori

dim 3 di

psiche dei

CL primi

3 in

più

essere una

possono

non ,

, È !

! :} !

! È

:{

}

generatori -

} ×

: '

'

vettori 3sdim.HR dim.HN WAR

che

loro

LI il

essendo

i pari » i

sono segue

a

numero e

, ,

'

vettori base

considerati WAR

di

} sono una

Oss WEV allora

diminuir

: :

, ,

dimirw-nc-dw-vsdimirwc.si

diminuita Wnevv

vettori

' allora dimirwk

te

}

il ]

.in K

2

no w

- ,

, .

.

. .

. .

.

, ,

2 din RW W di

base

}

:{ W

{

a

:O } è

.vn

e w una

, . .

.

" W.tw EWW

generatori generatore

wniwcsmtinva

di ad

se w .me sono essere

. _

. .

. . .

infatti

dal attribuendo nullo

punto VEIN valore

nella

4 di il

CL

witdzwzt

d. tninntow v

v > v

a

: non

w

-

.

. ,

, vettore IN

IN

abbiamo il

cambiera espansivi

sparsavi

incluso }

}

= ,w

wn

wa wm

ma . .

. .

, .

, .

, .

,

seguenti

Def costruiamo

VEV

dati V

di

W insiemi

siamo i

ssv

: :

, ,

,

v.eu/veW,veU sottoinsieme

Wmv

^ intersezione

}

:{

: ⇐

wtvlwew sottoinsieme

2 }

Willi :{ ueu ⇐ somma

,

Teorema tutti

WNU V

di

sono ssv

: e rispetto

dimostriamo moltiplicazione

INN che di

alle

chiuso

Jim operazioni

è somma e

: :

VZEWNU ha

essendo tvzev

metri U

vzev tvzeln

dei