Algebra e Geometria - Appunti

ESEMPIO (MONOIDE DELLE PAROLE)

Fissiamo un alfabeto, cioè un insieme di lettere di A, una parola è una sequenza di

lettere.

abcd è una parola

Definiamo ora un’operazione di concatenazione e un insieme A di parole

u

abc∗acd=abcacd ( )

¿(uv )=¿ +¿ (v )

L’operazione di concatenazione non è commutativa ma è associativa. Non esiste, in

questo caso, l’elemento neutro. ε → ε=0

¿

Se però introduciamo un elemento

u∗ε=ε∗u=u

Gruppo: è una struttura algebrica tale che:

• L’operazione considerata è associativa;

• Esiste l’elemento neutro;

• Ogni elemento è simmetrizzabile.

Funzione di Eulero: è una funzione che permette di calcolare il numero di elementi

invertibili un numero p: φ p p−1;

( )=

• Se p è primo: allora n n n−1

( )

φ p p ;

=p −

• Se p è primo: allora φ a∗b a b .

( ) ( )∗φ ( )

=φ

• Se p non è primo ed è composizione di a*b, allora:

a

( )

A , o è una struttura algebrica dove :

Gruppo delle permutazioni:

A '

A è l insieme dellle funzioni A → A

• ;

o è la composizioni di funzioni ;

• ' a

( )

id è l elemento neutro di A , o ;

• A

A

( )

A , o è un monoide ;

• '

Sia B l insieme delle funzioni biettive di A∈ A , allora B , o è un gruppo ed è chiamato

( )

• A A

( ) ( )

Gruppo delle permutazioni su A

G ,∗¿ ⊆G

H se :

Sottogruppo: se è un gruppo, allora

¿

∈ ∈

x , y H → x∗ y H proprietà dichi u sura ;

( )

• Per ogni −1

∈ ∈

x H → x H

• ; det ≠ 0

ESEMPIO (Gruppo di Matrici quadrate di ordine 2 con )

M ,∗¿ è un gruppo dove:

¿ - * è il prodotto righe per colonne;

( )

1 0

- è l’elemento neutro;

0 1

( )

a b

- { | a,b,c,d € R e ad – bc ≠ 0}

c d

Infatti ( ) ( ) ( ) ( )

a b 1 0 a∗1+b∗0 a∗0+b∗1 a b

* = =

c d 0 1 c∗1+ d∗0 c∗0+d∗1 c d ( )

a b

Nota: il prodotto righe per colonne non è commutativo, inoltre ogni matrice c d

con det ≠ 0 è invertibile

d

( )

−b

det ⁡ A) det ⁡ A

( ( )

( )

a b -1 = a

c d −c

det ⁡ A) det ⁡ A

( ( )

Ora si fa il prodotto della matrice

−1

( ) ( )

a b a b e se da la matriceidentità allora è un gruppo

∗

c d c d

∣

{ }

( )

1 a

H= a∈ R ≤ M. H è un sottogruppo ?

0 1

1∈ H

• . ESEMPIO (Sottogruppo)

Z ,+¿

¿

¿ ∈2Z

0 ;

• Elemento neutro:

Relazione d’equivalenza determinata da un sottogruppo: se

⊆

H G sidefinisce R su G −1 ∈

x R y se e solo se x∗y H

H H

'

R è una relazione d equivalenza :

H −1

x R y perchè x∗x H

=1∈

Riflessiva:

o H

Simmetrica:

o −1

−1 −1 −1

( )

∈ ∈ ∈

se x R y allora x∗y H → x∗y H → x y H → y R x

∗

H H

Transitiva:

o ( ) ( )

−1 −1 −1 −1 −1

∈ ∈ ∈ ∈

x R y e y R z → x∗y H e y∗z H → x∗y y∗z H → x∗z H → x R z .

∗

H H H

G ,∗¿ H ≤ G allora H divide G :

∣ ∣ ∣ ∣

Laterale destro: sia un gruppo finito e

¿

a ∣

{ }

∈G ∈

[ ]

1 proprietà :se x allora x hx h H è il laterale destrodi x

= =Hx

o Rh

a ∣ ∣ ∣ ∣

∈G

2 proprietà :se x , y allora Hx Hy H∨¿

= =¿ cioè le classi

o R

d’equivalenza rispetto ad di 2 elementi di G hanno la stessa

H

cardinalità che coincide con quella di H.

G ,∗¿

¿

Teorema di Lagrange: .

¿ A ,+,∗¿

Anello: un anello è una struttura algebrica con 2 operazioni tali che:

¿

A ,+¿

• è un gruppo commutativo;

¿

A ,∗¿

• è un monoide;

¿

• Vale la proprietà distributiva;

A ,+,∗¿ ∈

a A

• Se è un anello, un elemento si dice divisore dello 0, se esiste

¿

∈

b A b ≠ 0 tale che a∗b=0

( ) ;

A ,+,∗¿ ∈

a A a ≠ 0

( )

• Se è un anello, un elemento si dice invertibile se esiste

¿

∈

b A b ≠ 0 tale che b∗a=1

( ) .