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Algebra e geometria - algoritmi sui numeri interi

Appunti con spiegazione sul funzionamento e il calcolo del massimo comun divisore, spiegazione dell'algoritmo di Euclide, spiegazione del teorema fondamentale dell'aritmetica e dell'esistenza di infiniti numeri primi per l'esame di Algebra e geometria della professoressa Gerla.

Esame di Algebra e Geometria docente Prof. B. Gerla

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Es.

MCD (15,32)

32 = 15 * 2 + 2

15 = 2 * 7 +1

2 = 1 * 2 + 0

1 = 15 – 2 * 7

2 = 15 - 32 * 7 + 15 * 14 =

= 15 * 15 – 32 * 7

MCD (42,15)

42 = 15 * 2 + 12

15 = 12 * 1 + 3

12 = 3 * 4 + 0

L'ultimo resto non 0 è il massimo comune divisore

DEF. Se MCD(a,b) = 1 allora a e b si dicono COPRIMI (Primi tra loro)

Es. 3,5 sono coprimi 3,15 non sono coprimi

15,7 sono coprimi 10,8 non sono coprimi

15,32 sono coprimi 42,5 non sono coprimi

DEF.

Sia p>1

p è primo se qli

unici divisori di p

sono 1 e p

p > 1 primo se

se p divide ab

allora p divide a oppure divide b

Es.

2,3,5,7,11,13, 17, …...

Teorema fondamentale dell'aritmetica

Ogni numero intero (diverso da 0) e prodotto di numeri primi in modo unico ( a meno di

permutazioni dei fattori)

II forma del principio di induzione

Se P vale per n0

• Se Supponendo che P sia vera per tutti i numeri < n

Si dimostra che P è vera per m

Allora P è vera per ogni n>= n0

Dimostrazione del teorema

+

n∈ℕ Se n è primo allora il teorema vale banalmente

Se n non è primo allora ha dei divisori != 1, n

n = a * b a,b != 1

Applico passo si induzione

a < n supp che il teorema vale per a e b

b < n

a = p1 …... ps b = q1 ….... qt pi,q; sono numeri primi

n = p1.........ps * q1 ….... qt

Teorema

Esistono infiniti numeri primi

Dim PER ASSURDO supponiamo che l'insieme dei numeri

primi sia finito P= {p1,....,pn} TUTTI I NUMERI PRIMI


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AUTORE

koganzjo

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher koganzjo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Insubria Como Varese - Uninsubria o del prof Gerla Brunella.

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