Algebra e gemoetria - relazioni binarie

Algebra degli insiemi e relazioni binarie

Operatori insiemistici

Insiemix X x | x X oppure x X ∈ X ∪ Y = ∈ ∈ X x | x X ∩ Y = ∈ = x ∈ Y X OR DISGIUNZIONE ∩ Y X AND CONGIUNZIONE ∪ YES.

Esempi di inclusione

• Tutti gli italiani sono europei
• Tutti gli europei sono italiani
• Non è vero che tutti gli europei sono italiani
• Non è vero che tutti gli italiani sono europei

Inclusione degli insiemi

I = insieme degli italiani
E = insieme degli europei
I vero Mario ∈ I Mario ∈ E ⊆ E ?

¿L'insieme degli italiani è incluso in quello degli europei?

1. E ? No perché, per esempio, ci può essere un europeo non italiano ∈ I
2. E ⊈ I vero
3. I Falso ⊈ E

Relazioni tra insiemi di numeri

Nota che T = {multiplo di 3}
S = {numeri tali che la somma delle cifre è un multiplo di 3}

T ogni multiplo di 3 ha la proprietà di S ⊆ S e quindi S è incluso in T ⊆ T.

Definizione di coppia e prodotto cartesiano

Def. (a,b) coppia è un oggetto in cui distinguiamo una prima componente a e una seconda componente b.
A x B = {(a,b) | a in A, b in B}

Es. P(A x B) con A = {a,b}, B = {1,2}

|A x B| = |A| * |B| = 2*2 = 4

|P(A x B)| = 2^|A * B| = 2^4 = 16

A x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
P(A x B) = { {(a,1)},{(a,2)}, {(b,1)}, {(b,2)}, {(a,1), (a,2)}, {(a,1),(b,1)}, {(a,1), (b,2)}, {(a,2),(b,1)}, {(b,2),(a,2)}, {(a,2),(b,1),(b,2)}, {(a,1),(b,1),(b,2)}, {(a,1),(a,2),(b,2)}, {(a,1),(a,2),(b,1)}}.

Relazioni binarie

A ∈ B
Def. Una relazione è un sottoinsieme di A x B, R ⊆ A x B.

Notazione:
Se (a, b) ∈ R, Sottoinsieme di: a R b
Se (a, b) ∉ R, Sottoinsieme di: a ! R b.

Esempio A = {cane, gatto} B = {osso, topo}
A x B
R = {(cane, osso), (gatto, topo)}

¿Cane R osso
Gatto R topo

Definizione di insiemi numerici

• N è l'insieme dei multipli di 2 (multipli pari)
• 2N + 1 è l'insieme dei numeri dispari
• 2Z e 2Z +1 sono l'insieme dei numeri interi pari e dispari in generale
• kN sono i multipli di k
• 3N = {a,3,6,9,12,...}
• 102N = {0, 102, 204, 306, ...}

Esempi di relazioni

Es. R ⊆ N ⊈ 2N n in N) } ⊆ N x 2N
R = {(n,2n)| R 6(3,6) ∈ R
32 R8(2,8) ∈ R
2R4 5R10 6!R13
R(2,4) ∈ n ∈ N } ⊆ N x 2N

R1 = {(2n, 2n+2) | }
3 R1 6 4 R2 6 5!R17 10 R2 12n IN N} ⊆ N x N

R2 = {(n,n²) ((1,1) APPARTIENE a R
23 R2 94!R2 10

Relazioni binarie

Def. R ⊆ A x A allora R si chiama relazione binaria ∈ A

Se Es. r2 (di prima) + una rel. binaria su N
Es. A={a,b,c} x A
R = {(a,a),(a,b),(b,a),(a,c)} ⊆ A x A
{(a,a), (b,b),(c,c)} ⊆ A
Nota che una Rel. Binaria è in A.