Algebra e gemoetria - sottogruppo, omomorfismi, isomorfismi

Sottogruppi

Se (G,*) è un gruppo, allora un insieme H <= G è un sottoinsieme di G tale che -1 è presente se e solo se l'identità di G è presente. Ad esempio, nel gruppo (ℚ,{0},*), possiamo considerare:

• 1, 2, 3, 4, 0, -1, -2
• |= 2, 2, 2, 2, 2 = 1, =, 2 = }∈ ℤ

Quindi 2 ⊆ (ℚ,{0}) e H = {2, 22, 2} è un sottogruppo se è chiuso rispetto all'operazione di gruppo e contiene l'inverso rispetto all'operazione. Si verifica che H è un sottogruppo di (ℚ,0,*).

Verifichiamo ora un altro esempio: se 1 ∈ 4, allora (+)2 2 ∈ 2 * 2 = 2, e -1, -2 ∈ ->(2) = 2, allora 1 | {0} ? ∈ ℕ, e ⊆ ℚℚ\k = {31 1 1* ( ) = ∈ (+)3 3 31 -1 ( ) = 3 ∉ 3.

Definizione e Proprietà della Relazione RH

Se H <= G, si definisce la relazione RH su G come -1 * ∈ x RH y <=> Proprietà RH è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione:

• Riflessiva: x RH x poiché -1 -1 -1 * ∈ ->( * ) ∈
• Simmetrica: se x RH y allora -1-1 -1 ( ) =* * ∈ ->ℎ=>
• Transitiva: x RH y e y RH z => -1 -1) ( )* * * ∈ =>=>

Quindi (x-1 * ∈ =>ℎ{2 |. = ∈ ℤ} ⊆ ℚ\{0} -1 <=>∈ <=> * = 2 = 2 * x RH y <=> x * y^-1 2 = 3 * 2 !

Quindi 2 RH 3? 3 RH 12 = 3 * 4, 12 = 3 * 2², Y = x * 2², 3 = 12 * 2^-2 | V3 = 12 * ¼ = 3!

Esempio e Applicazione del Teorema di Lagrange

(ℤ₆,+) è un gruppo con un esempio di sottogruppo: H = {[0]₆, [2]₆, [4]₆} è un sottogruppo di (ℤ₆,+).

Consideriamo: {[0]₆,[1]₆,[2]₆,[3]₆,[4]₆,[5]₆}

• [1] RH [0]? [0] [1] = [-1] = [5] - Si
• [2] RH [4]? [2] [4] = [-2] = [4] - Si
• [5] RH [3]? [5] [3] = [2] - NO
• [2] RH [1]? [2] [1] = [1]

Teorema di Lagrange: Sia (G,*) un gruppo finito e H <= G. Allora |H| divide |G|, cioè |G| è un multiplo di |H|.