Algebra 1 - teoria ed esercizi

ALGEBRA 1

INSIEMI:

Esempi di insiemi sono:

• insieme dei numeri naturali, cui elementi sono 0,1,2,3... → ℕ
• insieme dei numeri interi, cui elementi sono 0,1,–1,2,–2,... → ℤ
• insieme dei numeri razionali, cui elementi sono i numeri del tipo p/q con p,q interi e q ≠ 0: → ℚ
• insieme dei numeri reali: → ℝ
• insieme dei numeri complessi: → ℂ

Notazione: A insieme ↔ x ∈ A ↔ x ∉ A

Vedi sotto come si denotano gli insiemi:

1) insiemi specifici hanno caratteri tipografici specificati

• ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ϕ

2) elencando gli elementi dell'insieme: {1, 2, 3}

• ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
• ℤ = {..., 0, ±1, ±2, ±3, ...}

3) usando una proprietà per descrivere quali sono gli elementi dell'insieme:

• Q = {x = p/q, dove p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 ± 1}
• {1, 2, 3} = {x | x ∈ ℤ, 0 < x < 4}

Operazioni tra insiemi:

• unione tra insiemi: A,B insiemi → A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• intersezione tra insiemi: A,B insiemi → A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• differenza tra insiemi: A,B insiemi → A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

ALGEBRA 1

INSIEMI:

• insieme dei numeri naturali, cui elementi sono 0, 1, 2, ...
• insieme dei numeri interi, cui elementi sono 0, 1, -1, 2, -2, ...
• insieme dei numeri razionali, cui elementi sono i numeri del tipo ^p/_q con p,q interi e q≠0
• insieme dei numeri reali
• insieme dei numeri complessi

Notazione: A insieme ⇔ x ∈ A x ∉ A

Vediamo come si descrivono gli insiemi:

1. insiemi speciali hanno certe proprietà specifiche
2. elencando gli elementi dell'insieme
3. usando una proprietà che descrive qual è un elemento dell'insieme:

insieme degli x tale che

Operazioni tra insiemi

• unione tra insiemi: A, B insiemi → A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• intersezione tra insiemi: A, B insiemi → A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
• differenza tra insiemi: A, B insiemi → A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Definizione:

Un sottoinsieme B di A è un insieme B t.c. ∀ x ∈ B si ha x ∈ A.

Quindi A, B insiemi, A ⊆ B se ∀ x ∈ A → x ∈ B.

∀B B è sottoinsieme di B.

Definizione:

A e B sono disgiunti se A ∩ B = ∅

01/10/2020

Definizione:

B ⊆ B B = il sottoinsieme improprio di B.

Tutti gli altri sottoinsiemi vengono detti sottoinsiemi propri di B.

Definizione:

A, B insieme A ⊆ B ( A è un punto ⊇ B ) se A ∩ B ⊆ A, B ⊆ A.

Due insiemi sono uguali quando contengono gli stessi elementi.

Definizione:

A insieme l'insieme delle parti di A e l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A:

P(A) = { X | X ⊆ A }

Esempio:

A = { ∅, 1, 2 }_A

P(A) = { ∅, { ∅, 1 }, { ∅, 2 }, { 1, 2 }, { ∅, 1, 2 }, A }

P(∅) = { ∅ }

P({ 1, 2, 1 }) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }, { 2, 1 } }

P({ 1 }) = { ∅, { 1 } }

P({ ∅, { 1 } }) = { ∅, { 1 }, { ∅, 1 }, { { 1 } } }

1 elemento, 2 elementi, 3 elementi

Osservazione:

L'unione di insiemi si associa.

Dati A, B, C insiemi A ⋃ ( B ⋃ C ) = ( A ⋃ B ) ⋃ C

Vale anche la proprietà commutativa: A ⋃ B = B ⋃ A

Poniamo quindi senza perdita operativa: A ⋃ B ⋃ C.

Se ho A₁, A₂, ...., Aₙ insiemi per fare A₁ ⋃ A₂ ⋃ ... ⋃ Aₙ.

Idem per l'intersezione: ( A ⋂ B ) ⋂ C = A ⋂ ( B ⋂ C ) = A ⋂ B ⋂ C

A ⋂ B = B ⋂ A

Anche qui posso scrivere senza perdita operativa: A₁, A₂, ...., Aₙ insiemi → A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ.

2

Esempio

∀ i = 1, ⋯, n sia A_i = [i, +∞[ , x ∈ ℝ | x ≥ i

• A₁ ∩ A₂ ∩ ⋯ ∩ A_n = A_n
• A₁ ∪ A₂ ∪ ⋯ ∪ A_n = A₁

Proprietà distributive

Se A, B, C sono insiemi, allora

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Dim.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Dobbiamo verificare la doppia inclusione cioè che A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e che (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C).

• “⊆” Si x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A oppure x ∈ B ∩ C
  • - se x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B, e x ∈ A ∪ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • - se x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ B, e x ∈ C ⇒ x ∈ A ∪ B, e x ∈ A ∪ C ⇒ x ∈ (