Algebra 1 - teoria ed esercizi

ALGERBRA 1

INSIEMI:

Esempi di insiemi sono:

• insieme dei numeri naturali, cui elementi sono 0, 1, 2, ... → ℕ
• insieme dei numeri interi, cui elementi sono 0, 1, 2, -2, ... → ℤ (dal tedesco Zahlen)
• insieme dei numeri razionali, cui elementi sono i numeri del tipo p/q con p, q ∈ ℤ interi e q ≠ 0 → ℚ
• insieme dei numeri reali → ℝ
• insieme dei numeri complessi → ℂ

Notazione A insieme, x ∈ A x ∉ A

Vediamo come si denotano gli insiemi:

1. insiemi speciali hanno connotati. Proprietà specifica {ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ∅};
2. elencando gli elementi dell’insieme: 1, 2, 3; ℕ = {0, 1, 2, 3, ... }; ℤ = {0, 1, -1, 2, -2, ...}
3. si usa una proprietà per descrivere quali sono gli elementi dell’insieme.

esempio:

ℚ = {x = p/q dove p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}

{1, 2, 3} = {x | x ∈ ℤ, 0 < x < 4}

Operazioni tra insiemi

• Unione tra insiemi: A, B insiemi → A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione tra insiemi: A, B insiemi → A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
• Differenza tra insiemi: A, B insiemi → A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

DEFINIZIONE

Un sottinsieme B ⊆ A è un insieme B ⊆ ℰ B ⊆ ∈ ℰ ∀ B si B, a, ∀ x ∈ B, x ∈ A.

Quindi, A e B insiemi, A ⊆ B se ∀ x ∈ A ∀ x ∈ B.

∀ B (ℰ es sottinsieme) ∅ ⊂ B.

DEFINIZIONE

A e B sono disgiunti se A ∩ B = ∅

01/10/2020

DEFINIZIONE

B ⊆ B, B ≠ ∅ e ditronio proprio di B.

Tutti gli altri sottinsiemi vengono detti sottinsiemi propri di B.

DEFINIZIONE

A, B insiemi, A − B (A \ B) e ∀ a ∈ A, a ∉ B. (B ⋂ A)

Due insiemi sono uguali quando sono contenenti gli stessi elementi.

DEFINIZIONE

A insieme, l’insieme delle parti P di A e l’insieme di tutti sottinsiemi di A.

P(A) = {X | x ⊆ A}

Esempio: A = {0, 1, 2}

P(A) = {φ, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}

P(b) = {b}

P({0, {1}}) = {φ, {0}, {1}, {0, 1}, {{0}, {1}}}

φ sott. element{sub} {subset} {sub} sottos.

OSSERVAZIONE

L’unione di insiemi e associativa.

Dati A, B, C insiemi find A’el (A∪B)∪C = (A∪B) ∪ Bν.

Vale anche la proprieta commutativa: A ∪ B = B ∪ A.

Per questi insiemi scrivere parentesi: A ∪ B ∪ C.

Se a0, a1, a2 ↲ A insiemi per scrivere A0 ∪ A2 ∪ A, ∴

Idem per l’intersezione: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

A ∩ B = B ∩ A

Anchi qui sarà scrivere senza le parenti: A0, A1, ..., A_{= insiemi = ≻} A}}{{A^_n

DEFINIZIONE:

A insieme. Una relazione su A è un sottoinsieme di A×A.

Esempio: ℝ Relazione di comparazione "essere minore di".

∀ a,b ∈ ℝ a = minore di b o a non è minore di b

È una relazione su ℝ:

β={(x,y)| x,y ∈ ℝ e x è minore di y}

(x,y) ∈ β → x < y

β⊆ℝ → x < y

02/10/2020

ES. 1.4:

A={0,1,2}

• ∃! 0 ∈ A vero
• ∃! 0 ∉ A falso
• ∃! 0 ∉ A falso
• c) 0 ∈ A vero
• ∃!∅ ∈ A falso
• ∃!∅ ∉ A falso
• f) ∅ ∉ A falso
• g) ∅ ∈ A vero

ES. 1.12:

{∅, {∅}} e {∅, {∅}} sono disgiunti?

{∅, {∅}} ∩ {∅, {∅}} = {∅}

⇒ x = {∅} no, non sono disgiunti

ES. 1.19:

A, B insiemi A ∩ (A ∪ B) = A e A ∪ (A ∩ B) = A

1. A ∩ (A ∪ B) = A
2. c ∉ A ∩ (A ∪ B) ∀ x
3. ∃ x ∈ A ⇔ x ∉ A ⋁ B
4. ⇒ x ∉ A ∩ (A ∪ B)
5. A ∪ (A ∩ B) = A
6. c ∉ A ∪ (A ∩ B) ⇒ x ∉ A ⋁ B

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Esempio: f(x):{x|x∈ℕ}∄y∈ℚ,2x=y|.

f(x)=2x ∀x∈ℕ

• E’ iniettiva? Sì, perché se x₁ ≠ x₂ e x₁∈ℕ e x₂∈ℕ allora f(x₁) ≠ f(x₂) → 2x₁ ≠ 2x₂ → x₁ ≠ x₂
• E’ suriettiva? No, ad esempio ∄x∈ℕ Tc f(x)=1

Esempio: f : ℕ → ℕ

f(a) = n+1

0 → 1

1 → 2

2 → 3

…

• Perché n∈ℕ e suppongo che f(n) = f(n’) → n+1 = n’+1 → n = n’ → è iniettiva
• NON è suriettiva perché ∄n∈ℕ Tc f(n) = 0, ∴0∄ Tc n+1 = 0

Esempio: g : ℕ → ℕ

g(n) = {0 se n=0; n−1 se n≠0}

∀n∈ℕ

0 → 0

1 → 0

2 → 1

• NON è iniettiva perché f(0) = 0 e f(1)
• È suriettiva perché ∀n∈ℕ, n+1∈ℕ ed f(n+1) = n

DEFINIZIONE:

A insieme (applicazione (CA): A → A definita da a(a) = a ∀a∈A, è detta applicazione identica. I_A(TC₁ identità di A). E’ una bijezione (è iniettiva!)

• è iniettiva. Prendo a₁,a₂∈A e suppongo che I_A(a₁) = I_A(a₂) → a₁ = a₂, è iniettiva.
• è suriettiva. Sì.

OSSERVAZIONE:

Due applicazioni f : A → B e g : C → D si considerano uguali ↔ A = C, B = D e f(x) = g(x) ∀x∈A=C

Esempio: f : ℕ → ℕ

f(n) = n+1, g : ℕ → ℤ

g(n) = n+1 ∀n∈ℕ

• → f e g non sono uguali
• → f è suriettiva

DEFINIZIONE:

A, B, C insiemi, f : A → B, g : B → C due applicazioni. L’applicazione composta g∘f

detta funzione composta (g∘f)(a) = g(f(a)) ∀a∈A

NUMERI INTERI E NATURALI:

DIVISIONE EUCLIDEA:

Se a, b ∈ ℤ e b ≠ 0, ∃! (q, r) ∈ ℤ × ℤ t.c. a = bq + r e 0 ≤ r < |b|.

Esempio:

DEFINIZIONE:

Siano a, b ∈ ℤ. Si dice che a divide b (che a è un divisore di b, che b è un multiplo di a) se ∃c ∈ ℤ t.c. b = ac.

Si scrive a|b.

Esempio: a|b 3|6

PROPRIETÀ:

∀a ∈ ℤ, a|a, (a|b) ∧ (b|c) ⇒ a|c,

1|a, (–1)|a. Questa è divisibile, qualunque numero o il suo semplice.

a = 0, 1, a bene sempre divisi di 0, a

DEFINIZIONE:

p ∈ ℤ si pratica se p ≠ ±1 e p = ±1 è una divisiva sino solo (±p, ±p, = ±1.

Esempio: Vedi Il a = 0, b = 0 non è un numero prima.

Sono primi 2, –2, 3, ±3, ±5, ±5, –7, 7

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA:

Ogni numero intero n > 0 o n = 1 si prodotto di primi in necessariamente titità. P(So l)fattorizzazione in primi è essenzialmente invel senso seguente se s₁ s₂ •• p_r = q₁ •• q_a ca prop; primo numero o ιρ divi due altri a escIIole o ommetto dividdo ∀ i, q

Esempio: 6 = (2) (3) × 2 = (3) × 2 = 3 – 2 (2)

TEOREMA:

1 a figli t meno primi.

DIM (Euclide): Supponiamo per assurdo che u numero Finita risonale {p₁ p_n} siano tutti primi.

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ES 3.19:

ϕ: ℕ → ℤ definito da ϕ(n) = {ⁿ/₂ se n è pari⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ se n ∈ ℕ e dispari

2ℕ →_ϕ ℤ₀ insieme dei numeri pari

2ℕ+1 →_ϕ ℤ₀ insieme dei numeri dispari

ℤ₀ →^ϕ⁻¹ 2ℕ

ℤ₀ →^ϕ⁻¹ 2ℕ+1

Per n pari ∈ 2ℤ₀, si ha ϕ(n) = 2 ∈ℤ ⇒ ⁿ/₂ = 2∈ℤ ⇒ n = 2ℤ.Per n dispari ∈ 2ℤ₀, si ha ϕ(n) = 2 ∈ℤ ⇒ ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ = 2 ∈ℤ ⇒ n+1 = 2ℤ ⇒ n = 2ℤ−1.

Quindi ϕ⁻¹ : ℤ → ℕ definito da ϕ⁻¹(z) = {2z se z ∈ℤ₀2z−1 se 2 ∈ℤ₀

ES 4.6:

Dividere 202 per 20.Trovo q ed r ∈ ℤ e ℤ+ 202 = q·20 + r, 0 ≤ r < 20.

20:20 10 a resto 2 → 0 202 = 20·10 + 2