Algebra Lineare e Geometria (parte 1)

VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori a, b, c sono una base indipendente di R³ se e solo se la loro combinazione lineare è uguale a zero solo quando i coefficienti sono tutti nulli. In altre parole, i vettori a, b, c sono linearmente indipendenti se l'equazione x₁a + x₂b + x₃c = 0 ha soluzione unica x₁ = x₂ = x₃ = 0.

Quando interpretiamo i vettori come punti nel piano, la combinazione lineare x₁a + x₂b + x₃c rappresenta un punto P sulla retta. In altre parole, i vettori a, b, c sono i vettori direttori della retta. La retta può essere parametrizzata come P = P₀ + t(b - a), dove P₀ è un punto sulla retta e t è un parametro scalare.

Le rette parallele hanno vettori direttori proporzionali, cioè sono della forma P = P₀ + tv, dove v è un vettore direttore. Le rette sono ortogonali se il prodotto scalare tra i loro vettori direttori è zero.

Le rette che non hanno punti in comune sono dette sghembe.

Concretamente, per scrivere una retta come una equazione parametrica, fissato un punto P₀ sulla retta e un vettore direttore v, la retta può essere scritta come P = P₀ + tv.

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