VETTORI
VETTORI
CORRISPONDENZA PUNTI
- ÷÷÷÷÷÷
÷
:÷÷÷÷÷÷÷÷:÷÷:::÷
: .
1122
punti su
ORIGINE
⑨ Scegliamo punti
) )
(
( 013,3
)
2,1
P
0 0,0 e
e i
PÈ POI (3-2,3-1)=11,2
)
quindi
Q P
= =
- !
:÷÷
:
parte dell' origine
"
IR
IN
SOMMA VETTORI
DI parallelogramma
si ?
"
la del
regola
segue ÙÙ
Se (
(
T' ) )
va Vw
vi Ws No Wn
= e
,
, ,
. ,
. ,
. .
.
, .
ÙTÙ È ( )
Vwtwn
Vatwsi
vetus ,
, ,
.
. . .
MOLTIPLICARE PER UNO SCALARE )
¢
IR
Useremo ( esserlo anche
Campania puoi
ma
come
over "
Ù lava
T' )
EIR È
) avn
ava
( va Vn
va → a.
= ,
,
, , ,
,
.
.
. . . .
VETTORI
DIFFERENZA TRA → "
%
/
Ì
-
tra
La definita
ben
differenza _
vettori '
è -
a .
.
÷
T
del t ii. it à )
segno
meno → - -
- • 0
Per opposto
definizione dell'
la
differenza
la è somma
↳ →
I iii. It tù )
- )
(
LUNGHEZZA NORMA VETTORE
o UN
DI
Rt
Sia t' lunghezza Ù
( allora la
) è
Vw
vs di
va :
e
= ,
, , ,
. .
.
vvitvit.it#=/EIviT
It' È
ll
VERSORE
È unitaria uguale
vettore cioè
di 2
norma
un a
,
V stesso
Dato esiste
vettore
( )
1,0 solo versare
un
un con
¥
✓ stessa
)
( direzione
0,1 direzione versati
2 con
verso ma
. e
)
( 1,1 X È tè
è
Nota : versare
sempre un
" "
VETTORI IR
SCALARE
PRODOTTO TRA IN
"
Ù Ù ( "
IR
( ) ) IR
va Vr
va wa
wa Wn
= e
e e =
, ,
, ,
, ,
. . .
.
.
. È
ÌÙ È Vnwn vi.
V. watvawat Wi
t =
. . . È via
NO-t://VIP-V.tt la regola
nave
←
=
PROPRIETÀ
t.w-w.it
(il È tblv.in
) là
aut à )
b. )
Iii I
(
) a
+ .
=
. Ù ut
Ù
f ORTOGONALI
DEF se
e eo
sono
: .
VETTORI
ANGOLO TRA 2 tra
la alla
distanza uguale
è
Pea
( ) norma
*
Ù "
Ù vettori vettore '
di 112 del
due f- ù
e P abbiamo
79 che
Il F- tilt
→ Il
Pall :
= ,
i
È
.
0 q
E asH)ȵ¥;È
Si ottiene che caso
t.it INTINTI →
= FÀ
formano
vettori
nota
Si che 2
2 a)
angoli 360-0
(
(a) 360
cos cos
ma = -
, E
µ_ '
ù
ut
È
⑧ )
frase )
is 2,2
,
,
Ì;È→ ¥ ?
costo a-
) costole ai
c-
= =
= ,
esercizio tra
calcolare distanza
la l'
Fissa
) 0 )
Alt ) (
Io
2,3 1,2
B 0,0
in
e origine o
, , ,
.
ÒÀ ÓÈH Fs
Il Il
la Il
( Il
B)
de ) 121,2111
a)
B-
O =
= =
- - =
- sarebbe
fissando
; risultato diverso
il
diversa
origine
un'
Nota non
: .
Ù DIREZIONE
UNGO
PROIEZIONE UNA
DI "
iuftividna
" II
"
µ ' ops la lungo è
e
e
di vettore
proiezione un
,
,
,
o #
w NOTI
IIII HÙ
il
Calcoliamo IIOÌII teorema ha dott Il
dei )
casco
per seni si
: =
→
= )
(
90
sen o
-
È
IIII ottenere
annoiati È
" I.
" =
- =
- "
è!÷ÌÈ
calcolare
non
trovato *
possiamo .
⑨ CALCOLARE lungo
F
la Ù
proiezione )
( (
) 1,07
2,4
1
di ,
Applichiamo la formula i terrore)
IÈ
È
ii. fa =
= =
. . .
" , "
112
BASE DI { n
IRT }
Una sistema
base vettori ÙEIR
te
è vettore può
"
di
di va Un vi
Va EIR essere
un ogni
.
, , .
.
. .
unicamente combinazione lineare dei vettori Un
vs
espresso come va , ,
, .
.
.
↳ tanti
E. a.it
aii' + . . - }
lì ?
vettore nella I.
{
componenti del base
dette e
sono
aa.ae an .
. .
. .
.
.
.
.
. {
denotata
la base }
è è
èz È
Notazione come
spesso
: , .
.
.
, ortogonali
base costituita
Una è è due
due cioè
da se
ortonormale versati
se a
a ,
i
Se
1 =
fi =
è f
/ KPONECKER
simbolo
: di
=
. ; j
. , →
, i
o FJ
se
⑤ IRI ERI unicamente
Ùla
{ ) base vettore
infatti
di b)
è
11,0) scrive
si come
io » ogni
una ,
, . ,
b.
b) a)
Io
(a) ( )
ho t
a.
= ,
Inoltre è base perché )
11,0) loro
una ORTONORMALE -0
.
⑤ { } Rt dimostrazione
base
è di
11,0) ( 2,21 una :
,
, basi
PER Buio
b) alto)
te la )
d. diverse
= +
, a
. b
atb
{ corrispondono
a a ou tolti
= )
= - (
lato b) )
) l'
la ✓
+
OTTENGO °
e - componenti
↳ p b diverse
=p = stesso vettore
per uno
↳ }
nella {
base 4,0
componenti g.
b) b
b)
di ,
) cap
ca sono e
, ,
④ IRI
base
}
{ infatti
è esprimibile
vettore
il combinazione
è
di
12,0
) )
)
ho 10,2
una
NON non come
, ,
lineare assurdo
di )
(2,0
11,0 per
) :
proviamo
e ,
) (
( )
( tap
a
)
p
91 altro
) 2,0 o
t =
= , vettori base proporzionali
di
{ atap
o = → bene
vanno
non
assedio
2=0
⑤ IPI
{ ) base di modi
più
è può
) perche )
11,0) 191 11,2) 11,2 espresso
essere
una in :
non
; ,
(1/1)=1 ) vettori
1)
( (
)
ho sono
1,2
2. to
o 3
t
. . →
, troppi
( (
)
1,2 ( )
( 1,21
1,0
) 0,1 2.
th
o
= .
-
-
1122
BASE DI formata
base pi basi
svelto le
Tutte
Una da di
proposizione di è
: .
Rt tipo
questo
di
sono "
}
sistema è
tè base
È
un f- èm M
di se
una
.
. . .
.
, stabilire
In sistema
se
caso
ogni un
}
P è "
sistema vettori
① generatori base
di IR è
di
di è
un una una
man non
linearmente indipendente
sistema semplice
② p è un cosa .
1123
BASE di MI formano
vettori base complanari
di
3 sono
non
c-
una
BASI CANONICHE
{ } base pt
11,0) ( di
)
0,2 canonica
,
{ } base 1123
(1,90 )
(
) (0,011 di
0,1 canonica
o
, ,
,
O 0
0 OPERAZIONI
matrice
Una definita
viene segue
come :
l'
§ denotato
) pia
matrici
delle
04 0km
Usa insieme viene con
, .
.
.
% q.mn
, . .
. ottiene
Se particolare sottoinsieme
si un
non
.
.
. ,
quello delle
Ok Ah
din QUADRATE
matrici
- -
-
,
, Pina )
solo matrici
(
Determinante e
per sinteticamente : in
È
out onze
a -
Wan Anz
matrice quadrate
se la generalizzare grande
)
( matrici
è può più
3×3 si a
043
042
0hm detto
È ) ) tout
detto
de -
Si sceglie elemento esclude rispettiva
colonna la
suo
o riga
riga
una poi ogni si
e e
- -
determinante
infine calcola
colonna rimaste
il tra caselle
le
si
, .
il
Pew stabilire indici dell' elemento scelto
gli poi
sommano
si
segno e :
metto la è
se PARI
t somma
- ⑧ An htt 2+3=5
2 was
t
metto la e-
→
donna →
è dispari
se -
- - Pi
VETTORIALE
PRODOTTO solo
( )
in
Siano volte indicato
(
il
sì c) rt
b. Ìxv
( I )
( ) vettoriale
yz prodotto
×
a.
= e a
= , ,
definito
è segue
come : 1123
ÈI base
la
È { è
÷
( di
È
§ canonica
)
È pi
Ùxv det e th Ì
È ) È 2)
) (
(
90 0,1 0,0
z o
= -
, , ,
,
calcoli
eseguendo i :
ùxv=det(ÉÉÈ)=(bz-cy)à(az-cDÈtlay-bx
colonna
definizione la
formale
la questo perché cantiere vettori
terza
è
Nota : non
e
,
utile formula
però la
è memorizzare
numeri a
, sistema
scelto che lo
PRO vettori
Posizione : un i
, indipendenti
sono
compongono ognuno
se
" /
vettori IR sono
2 in lineare
combinazione degli
la
sono è
non non
←
linearmente indipendenti proporzionali altri Krt
} È
in .tt
{
④ #
.
PROPRIETÀ ( in )
indipendenti
linearmente
È
e
1) Klrìxv ) Keith
Kit
Kùxv rt x
= = ,
si moltiplicazioni
bene
comporta le
( )
con
Ti
2) I l' importante
rt rt è
ordine
× ANMSIMMETRKO
x
= -
↳ particolare ÙXÙ
in o
-
ÙXV
3) individuato
ortogonale ortogonale
È due
è arte al dai
è
cioè piano
, destra
regola della
vettori il
stabilire alla mano
ricorre
per si
verso
, )
Ti
) lùxrt Ti
cioe lùxii o
= o e =
. .
4) l' angolo formato Ieri
MI
llrtxvll llùll OE
da 180
è Of .
o
sono
= ,
questa )
proprietà definisce risultante
vettore
( del
la lunghezza
[ DIMOSTRAZIONE )
È!
(ÈÌ http
milf http
lliixvli
identità det
Aaranae
° :
di =
= -
È
ii. ITÉ
liti Il
il
Ricordiamo coso
che
° = ITÉÌ
titilla
llìixvllae titilla HTTP costo
si ottiene
° - lhtxti lhtll HÙ
Il
a) http
titilla Il seno
( cos' →
1 a
=
= - titillante
serio
=
GEOMETRICA
INTERPRETAZIONE
la parallelogramma
del individuato dai
corrisponde all'
rt ti
proposizione di
norma
: area
x
vettori È
ti e .
L' Ha timidezza relativa
dito l'
Ì altezza
ripari
iii. :{ di
III. ; # Ìn
• Ma ha
il dei
teorema =
seni si
per 2
A tilt Art
Mill Il il
h seno
= = a
. .
MISTO
PRODOTTO È
pi Ù
è
siano tua (
) -17
è
ìi )
ùi )
uh wr
viva wn
e uso ws
=
e -
, , ,
,
, ,
prodotto
Il definito
misto è come :
÷±ftÈÈÌ è
TIERNEY
"
←
notazione
ABUSO DI
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA sono
se non
parallelepipedo individuato Ù
del
ti È
volume in
il
rt da
)
( rt
proposizione complanari
è
: x . , ,
!
" base
! %! ::p nanna
÷
:[
: .
!
me
/ la Ùì
è
h vettore
sul
di
Top rtxv quindi
proiezione
=
• ,
- tixvlhtxvtl
è
of = .
l' base la dimostrazione precedente
llùxvll ottiene
di è si
per
area :
,
it
È
Ab .ùx .lu?xE)=iuixE ti
h in
V Il )
= .
= .
. =
IIÙXÙH italiano
ottiene
Come si
conseguenza :
colpi complanari
ii. tu
fàxv )
è in
proposizione c-
sono
: .
, nulla
prodotto )
parallelepipedo
il misto volume
loro è
del
(
ossia se ITL3
formano )
È (vi
base XÙ Ù
sì ùi di
proposizione # O
e ↳
una .
,
, detti
↳ ;)
!
}
;
ossia se , VETTORIALI
SOTTOSPAZI
sottoinsieme "
Un ✓ R
di dice SÉVÈRE
si se :
rito tu èt
il è
V
e , appartenere V
vettori
la di deve
Tt
di due
cioè ancora
somma a .
) aiie ER
fa
tue ✓
V
ii tetta È
vettori
L' punta
la l'
dei che
⑨ origine non
pew un
passa
non
insieme su
con una
vettoriale
sottospazio "
di R
L ha sulla
la retta
rettore punta
il somma non .
,
jour ha
il vettore sulla retta
la punta
art non
↳ .
sottospazio
È
l' l'
tetta
vettori
⑨ passante
la punta
dei origine
insieme un
pew
su una
con
vettoriale IR
di " .
IRI
SPAZI
SOTTO VETTORIALI DI
si che
ha : vettore
Sotto il rullo
il è
di dimensione 0
punti spazi : . dall' tutti gli
data tetta
sotto passante
dimensione
) di origine
2 insiemi
ii in
RETE spazi una
: ,
sull'
la
vettori punta
di la coda origine
N
su
con e .
IR?
) sotto solo
Iii di dimensione 2
Pian :
spazi '
IR
VETTORIALI
SPAZI
SOTTO DI
oltre punti ) abbiamo
)
ii
i
ai e l'
a) passanti origine
piani pew
423 stesso
b)
SOTTO GENERATO SISTEMA
SPAZIO DA VETTORI
UN DI
È "
}
dalla
l' ottenuti È
È
combinazione lineare { IR
vettori
dei vettori dei ci
insieme e
, ,
,
. .
.
È
altri termini { AKER
In }
Ìn
è Ola 04
a
, ,
. .
. , ,
. . .
L' delle indicato
onda
di vettori
lineari
combinazioni di
insieme così
insieme :
è
un
spanfeii.n.ie piu
sottospazio
È
È } vettoriale
{
spari di
Proposizione è
: un
, ,
.
. .
che
Si È
appartengono }
dimostrare Spar { èa
ritti
deve out
a)
1)
→ e a .
. . ,
,
Prendiamo ès
appartenenti
rt
vettori { èr
è }
spam
2 e a
, , . .
. ,
,
ti asès KÈK
( )
"
= , , bi
. . _ ER
ai
Ù →
bàèa
( bkèk ) ,
= , .
. ,
. È È
1) ba
Titti ktbk
)
fast @ )
t t
= . . . EIR
È tckèr tbi
dove
± ca t Ai
ci =
. -
. ,
È }
{
Quindi èk
Spain
Titti e . .
. .
2) OLEIR
Oliarle
È
Ù aula t t
a. = .
. . , di 112
dove
oh È
è di e
t Oli
t a.
= =
*
. .
.
,
, }
È
Quindi ÈK
{
spam
aiuti e , . .
. ,
DI
Spari )
{
⑤ )
11,0 0,11
( =
,
↳ fa
Infatti b
) tblo.si b)
{
spam (a) HR
)
alzo
) casi
11,0 =
= ,
,
,
{ } R2
è base può espresso
vettore
) di
( ITL2
)
11,0 perciò essere
una
92 E
e ogni
, combinazione
dalla lineare di )
) 4,0
10,2 e "
IR
di
SOTTOSPAZIO
BASE UN VETTORIALE
DI V
È }
f- "
base
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