Anteprima
Vedrai una selezione di 24 pagine su 112
Algebra 1 - Appunti Pag. 1 Algebra 1 - Appunti Pag. 2
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 6
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 11
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 16
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 21
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 26
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 31
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 36
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 41
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 46
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 51
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 56
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 61
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 66
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 71
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 76
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 81
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 86
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 91
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 96
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 101
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 106
Anteprima di 24 pagg. su 112.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Algebra 1 - Appunti Pag. 111
1 su 112
D/illustrazione/soddisfatti o rimborsati
Disdici quando
vuoi
Acquista con carta
o PayPal
Scarica i documenti
tutte le volte che vuoi
Estratto del documento

Definizione delle operazioni su N

N∈ ∀n ∈m

m + 0 := m

m + s(n) = s(m + n)

Per ogni n ∈ N, S := + n e definito

N|m∈0 S∈ ∈n S => s(n) S S =

allora N

Analogamente si definiscono il prodotto e l'elevamento a potenza

DEFINIZIONE · · ·

m m 0 = 0 => m s(n) = m n + m

Sia un numero naturale. Si pone

20 INDICE

DEFINIZIONE 0 s(n) n6 ·m m = 0 m = 1 => m = m m

Sia un numero naturale. Se si pone n· · ·

m n = m + ... + m n m = m ... m,

(se si guarda bene, abbiamo: , volte;n volte)

DEFINIZIONE∈ ≤m, n n m n m

Siano Diciamo che è minore o uguale ad , e scriviamo

N.∈a m = n + a

se esiste tale che

NOSSERVAZIONE

Abbiamo denito delle operazioni binarie interne su N× −→+ : N N N7−→(a, b) a + b

TEOREMA ∀a, ∈+ b, cè un operazione binaria su N,

Na + (b + c) = (a + b) + c

associativa a + b = b + a

commutativa 0+ a = a +0= a

esistenza dell' elemento neutro

a + c

= b + c => a = b

di cancellazione −ba + b = 0 => a =· ∀a, ∈b, cè una operazione binaria su N N0.3 Numeri naturali 21a(bc) = (ab)cassociativa ab = bacommutativa + a(b + c) = ab + acdistributiva rispetto al · ·a 1=1 a = aesistenza dell'elemento neutroab = 0 => a = 0 b =0annullamento del prodotto oValgono inoltre per l'elevamento a potenza:m+n m n m n m·n n n na = a a (a ) = a a b = (ab)≤La relazione è una relazione d'ordine totale su . Inoltre valgono:Na < b => a + c < b + c6c = 0 a < b => ac < bc,6x = 0 => ac = bc => a = b,DimostrazioneSi usano le denizioni ricorsive e gli assiomi di Peano.Inoltre usando gli assiomi di Peano si dimostra anche che si ha la catena:≤ ≤ ≤0 1 2 ... 0 1 1, 2, ... n s(n)e non è possibile inserire numeri naturali tra ed , tra tra e .Altra formulazione del principio d'induzione∈ ⊆ {n ∈ ≥a A A := a}.Sia N, N,

Nn ∈ ℕ, n ∈ ℕ, S ⊆ A, a ∈ S, n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S Sia S un sottoinsieme non vuoto di ℕ. TEOREMA (principio del minimo) Sia S un sottoinsieme non vuoto di ℕ. Se S ⊆ A e per ogni s ∈ S, a ∈ S ⇒ a ≤ s, allora S ha un minimo, cioè esiste un m ∈ S tale che m ≤ a per ogni a ∈ S. Dimostrazione. Dimostrare che S ha un minimo equivale a provare che S non ha un massimo, dimostrazione per contrapposizione. Supponiamo che S non abbia un minimo. Poniamo: {n ∈ ℕ : n ≤ s per ogni s ∈ S} Poiché S non ha un minimo, {n ∈ ℕ : n ≤ s per ogni s ∈ S} ∩ S = ∅ Sia S' = {n ∈ ℕ : n ≤ s per ogni s ∈ S} Se proviamo che S' è finito, infatti: S' = {n ∈ ℕ : n ≤ s per ogni s ∈ S} ∩ S = ∅, ma S' ⊆ ℕ, quindi S' è finito, il che è assurdo. Quindi S' ≠ ∅, cioè esiste un n ∈ S' tale che n ≤ s per ogni s ∈ S. Se quindi S' = ∅, concludo con l'induzione che S = ℕ. Si può dimostrare utilizzando per esempio il principio del minimo, la seconda formulazione del teorema.

del principio d'induzione.

CARDINALITÀ (insiemi niti e inniti)

{1,∈ := ..., n}

n

Per ogni poniamo

N∅ {1}...0 = 1 = n, insieme standard con elementi

DEFINIZIONE

a) X Y X Y

Siano e due insiemi. Diciamo che e hanno la stessa cardinalità o

0.3 Numeri naturali 23−→f : X Y.

lo stesso numero cardinale, se esiste una biezione (biunivocità)

card X = card Y

In questo caso scriviamo ∈

b) X n X

Un insieme è detto nito se esiste un tale che abbia la

Nn

stessa cardinalità di

OSSERVAZIONE X n

Si dimostra che se è un insieme nito, esiste un unico tale che ci sia

X n n

una biezione tra ed (attenzione: la biezione non è unica, ma è unico ).

X card X = card n, card X = n

Quindi se è nito e possiamo scrivere

DEFINIZIONE

Un insieme che non sia nito è un insieme innito.

∃X X

Se è un insieme innito, tale che una biezione tra ed diciamo che

N,X è numerabile.

Paradosso di Galileo

Esiste una biezione tra ed un suo

proprio (equivalentemente, N − ∅ esiste una applicazione iniettiva: che non è suriettiva) Dimostrazione. 1−1−→f : SN su7−→n 2n{ } ⊆6S = =numeri pari No anche24 INDICE1−1−→ − {0}s : N Nsu7−→n n + 1 −f 1 1 suSi può anche pensare ad come una applicazione e non da aN N1−1−→f : N N7−→n 2nsue non OSSERVAZIONE Si dimostra che per gli insiemi finiti questo non è possibile. Cioè se è finito, non può esistere una biezione tra ed un suo sottoinsieme proprio. ⊆ −S SSi dimostra che se è un sottoinsieme finito di allora è ancora numerabile. 0.4 Interi e naturali({+}×N )∪{0}∪({−}×N )indica i numeri interi cioè , con le operazio-Z 0 0ni ordinarie(somma,dierenza, prodotto, elevamento a potenza), con l'ordineusuale e tutte le proprietà conosciute. {n ∈ ≥N = 1}DoveN|n0E' possibile costruire le operazioni e l'ordine su a partire da quelle suZe dimostrare le relative proprietà usando gli assiomi di Peano.N0.4 Interi e naturali 250.4.1 Numeri di Fibonacci ≤(a ) a = 0, a = 1, ... , a = a + a n 2denita da per , sin n∈N 0 1 n n−1 n−2chiama successione di Fibonacci. ! ! !√ √Si ha: n n−5 51 1+ 1√ − ∀n ≥a = 0n 2 25n =0Allora: per è veran =1per è vera − −n 2 n 1 nDimostriamo che s'è vera per ed allora è vera per„ „Ž Ž! ! ! !√ √√ √n−2 n−2 n−1 n−1− −1+ 5 5 1+ 5 51 11 1√ √− −+ =2 2 2 25 5! ! !√ √n n−1 1+ 15 5√ −2 25„ !Ž! ! !√ √ √ √n−2 n−2− −1 1+ 1+ 1 15 5 5 5√ −1+ 1+ =2 2 2 25 ! ! !√ √n n−1 1+ 5 1 5√ −2 25 √ √√ √ √25 3+ 5 5 1− 5 3− 51+ 1+= = 1 + = =1 + eAllora ricordando che 2 2 2 2 2√ 21− 52 ! ! !√ √n n−1 1+ 5 1 5√{n ∈ − }S : =N|a n 2 25∈0, 1 Sho fatto vedere che− − ∈ ∈ ≤(n 2, n 1 S => n S n 2)se26 INDICE∈0 Scioè che≤ ≤ ∈ ∈n = 1 0 x n 1, x S => n S,( ) concludo con la seconda formula-Nzione dell'induzione≤ ≤ ∈ ∈n = 1 0 x 0, 0 S => 1 SDEFINIZIONEI coecienti binomiali ≤ · · · ·n n 1 n! := 1 2 3 ... n (nSia un numero naturale . Si pone fatto-riale) 0! = 1Per convenzione∈ ≤ ≤n, k 0 k n.Siano e sia Allora si pone:N !n n!:= −k k!(n k)!Quindi: ! · · − − · · −n (k + 1)(k + 2) ... n n(n 1)(n 2) ... (n k + 1)= =−k (n k)! k!∈k k< 0La denizione si può estendere a nel modo seguente: se oppureZ€ Šn
  1. ∈k>n =0 nponiamo NkPROPOSIZIONEValgono le seguenti proprietà:1) ! !n n ∈ ≤ ≤= n 0 k nN,−n kk ! !In particolare: n n= =10 n0.4 Interi e naturali 27! !n n= = n−1 n 12) ! ! !n +1 n n ∈= + k Z−k k 1 k3) !n ∈ ∀n ∈ ∈kN N, Zk1)
  2. La si dimostra utilizzando la denizione.
  3. Dimostrazione! ! ! n!n +1 n n n! + == + =− − − −k k 1 k (k 1)!(n k + 1)! k!(n k)! !− −n!(k) + n!(n k + 1) n!(k + n k + 1) (n + 1)! n +1= = = =− − −k!(n k + 1)! k!(n k + 1)! k!(n + 1 k)! k≤ ≤1 k n kQui sto' già supponendo , ma per gli altri basta andare a vederecaso per caso
  4. Dimostrazione€ Šn ∀k ∈P (n) : è un numero naturale ZkP (0) è vera nInduzione su : P (n) P (n + 1)Supponiamo che sia vera e proviamo ch'è vera! ! !n nn +1 = + =>∈ N−k k k 1TEOREMA DEL BINOMIO28 INDICE∈ ∈x y nSiano e e sia allora vale:Z N, !Xn nn
k(x + y) = x y k=0 n = 0 Dimostrazione. Per è veron n +1 Supponiamolo vero per e proviamo per ! !Xn nn+1 n n-k k(x + y) = (x + y) (x + y) = x y (x + y) =kk=0! !X Xn nn nn+1-k k n-k k+1= x y + x y =k kk=0 k=0! ! ! !X Xn n-1n n n nn+1 n+1-k k n-k k+1 n+1= x + x y + x y + y =0 k k nk=1 k=0€ Š € Š € Š € Šn n+1 n n+1= = Ricordando che: e0 0 n n+1! ! ! !X Xn n-1n + 1 n n n + 1n+1 n+1-k k n-k k+1 n+1= x + x y + x y + y0 k k n +1k=1 k=0- ≤ ≤ - ≤ ≤ j = k + 1, k = j - 1 0 ≤ k ≤ n - 1, 1 ≤ j ≤ n Allora pongo con , dopo di che j = k pongo nuovamente e ottengo: ! " ! !# !Xn
Dettagli
Publisher
kimiko88
A.A. 2007-2008
112 pagine
3 download
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kimiko88 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bologna o del prof Idà Monica.