Algebra 1 (parte 2)

G KIaxdividere dperpossoA dobbiamoquesto punto risolvereI IEx modE IE modEx I II interinowG EMCDOSS IinvertibileE è in ZinESia C l'inversa moltiplicandodi otteniamoeEper EnodCIGES 9Wod5GX laMCD 6,9 3453 ècongruenzaimpossibi eWodGX 9E 6 316 divideMCD per 36,9 3 l'inverso27 2dimoltiplica per2 modE 3modE 3I Wod 7GX 5E moltiplichiamo l'inversoMCD 6,7 diper6 60 iX Wod5 72E congruenzasingolaOgniIIII III soluzioniammetteredeveba modEX92 na risolvendo le singoleci riconduciamocongruenze cuisistema inad un9 92 93 Ise coprimisonoIIII MinaIII nsWodX Da ne applica teoremailcineseMCDAl ti 7Jini ngper il delteorema cinese un'unicaresto esistesoluzione ni na v3Come trovasiIdentita BézoutditraSn s wod verifichiamosnibattnabX e che sononine soluzioni53 WodE nSnibaftnabittoiddnbenzoutE modIn diSnibattnabtowodX E ninaidperTied bezoarin nripeto Wod2X 5Wod7 21EX21949TII 21 4.5 72 51.21 4X Ewod'E wad mod72 5in ie mod74.5X 21.2 105E 97 mod7E 42 140 105Caso 2con

equazionigenerale MCDChi edsupponiamoOSS nadie daesistono ted MCDd dida e 1daMCD II 11812 MaESEMPIO diMCD dG12,18 E EGMCD 3MCD IZ Ibi mode ni MCDProp dsia n naba wod1 XE nedi da come primae haallora Sistema soluzioneil compatibileb èba casod inmod taleE modequivalente a 5XE coprimitesa EmaSexe b Wod ni laKE soluzioneha modI na è ddimultiplonb mod bEX dmodni E S bangba mod des modxE nala condizione è necessariab dMsupponiano ba modeorache idimostriamo due equivalentisistemi sonoLa soluzioneparticolare che ile primo1inle soluzionisoluzioni di sono di1 2ancheperché di diudinadivisore èen fa unè unnya leMostriamo soluzionisoluzioni sonoche di anche2di I Irtiesis e È sambaso dicaè suff mostrareche divisibile dièK per daK2di dallak eI II interi perciosono b modE naMostriamo l'altro èdi analogakIke 2 t.cba Kdb b otteniamoSostituiamo sopraaKd DIKILI NEK2di Kd poiche d dadiI dipoichédi nakiltdiMCD di E di diper

costruzionee allora di kiESEMPIO piud Pierdi piuda Pam25X Wod 168 MCD 12 2180,168Wod 18049E 23.3 y168 2232 5180fa compatibileèsistemailWod4925 E 125616Wod 5625X I coprimi Bézout49 modiggsE usiamo45Wod 45Lx 4556 IlGIA I45 445 56Il 4545 445 564 445D 45 4.5654 Mod56X 475 45 25 56.454729 modX E 2520Noci25110 delparteII corsoGruppo algebricheStrutturehanno 1 operazioneUn 4Def è 4insieme munitoungruppo dettadi applicazione operazioneun 4 G4 elementoèggi g g un asolo etale cheè1 associativa 939992 g9 GelementoMiste neutro U2 eunteHg ae µ agg gtg tga a Ggiàtee e U3 agchiameremoli inversiESEMPI CONTROESEMPIe el eunZ neutroè ogruppo con1 I n campoogniIRA 4Analogamente Eensentegruppo11N è2 ciun gruppo sonopoiché glinonnonoppostiE è poiché3 valenon un nongruppol'associ tivabbia ac cQ l'elementoè gruppoun4 mancanonDidio lo oat 1 dataè el neutroconun egruppo Dàl'inversoè

Allof ovvero R atAnalogamente sono egruppi1N25 poichésono gruppi nonnone oesistono inversiSia X6 l'insiemeinsieme consideriamo diunle biezionitutte stessoda séin1 X biunivocheSim DXx fcomposizionelaSim associativaècomposizionex ol'elemento l'identitàèneutro Idf EI f applicazione inversaf7 poichéè gruppo nonDX unX nonoletutte applicazioni invertibilisonoGDef abelianocommutativoèun gruppo otgse 4e 92gg g 9OSS 6commutativisonoe mentrea 4 in nogenUn 1kK è dueinsiemecampo untOss conoIk 1koperazioni te commutativisonoe gruppieVa diassiomi campo con aggiunto unacompatib litàfra distributivate detta commutativoèvettorialeUno unOSS gruppospV di dettomunito prodottoun'operazione perScalare dotata ulteriori proprietàdiDef Sia G 1 un gruppo He G teG èdi unun sottogruppoèIt un gruppoH èaltre unin parole seSgrsottogruppoindicasih thha ha eElt it1 e HE Gl'elemento eh2

neutro è èth H A3 e e Vit chiusodi laSsv Eun un perSgrmoltiplic zionescalareperEILEEN nel pariinteri12 2è 22diSgrun E diè Agrunnumeri nondisparilo la disommac'è disparizero neenon è disparinon ha4 bandidueOSS Ogni gruppo sottogruppilaG ePROPRIETA GeneraliProp l'elemento di uniconeutro ègruppounDim 4supponiamo che ed eeµte Igea eµ gg gMa allora 4e eeyµ unicoAge Ggl'inverso ècheAnalogamente ESERCIZIOèAFSHa.be 3GPROPDim à5 Nè a5 b55 a9 delladella camiciaregola egiaccagli ancheinversi DX inversiConseguenza sxsono eviceversaProp dellaProp cancellazioneSiano G4 EaxQ 9 4 X 9X èbasta moltiplicare 4cheper esiste perchéè un gruppoX A a4 4OSS 2 èIn sempre vero Dche ax 94 9noninfatti ènonquesto un gruppoTL 242X Xin 94 Inuegistonotutti gliE A E203 ggInfatti èse primononn è7 gruppounnono o GSianoDey dueHe gruppiUn diomomorfismo applicazioneè

ungruppi 98192t.CIHG1 119gg GE9 e compatibiledice che f ècaso siquestoin similehannoI due strutturaunagruppiESEMPI RRConsideriamo 8 exa RI omomorfismo daè CRun T aexperché ee2f2 ih 2 toè traomomorfismoun eperché intr iv i21 distinteclassinumeri stanno iniin 4Esercizio 74y rappresentantedefinito daldipendeè ben nonRatro et èMostrare Rn gruppounesercizio chelui 2inche è doveoe un gruppoMCDKIER T.C KinU I ehGDato omorfismo I treun gruppidefiniamo FEKE Un41119 e neutro difaImf go.ggEsercizioMostrare che 4èKery Imfdiun sottogruppoHdiè SgrunNell'esempio 2472Kery multipliè di 4Imf iin iNell'esempio 1Kery lo Rtinf alJolineareUn èapple applicazione che comeun operazionilel'omomorfismo 2che preserva èRnMostrare gruppounesercizio che1 lu Zinche èo dovee un gruppoMCDZinKI teE KinU IFait bLa E Ga cona n VTat b taE taLa 2a ea VEln fa Laea gaUIL gruppoè unAssociativaal neutroIn In

La haè copiato con inversoa nEsercizio 74y rappresentantedefinito daldipendeè ben nonKiatra et Z4 K E9 4K43Ca io ia e I ilDjab fa 8143fra 53 Eil25jaMostrare che 4èKery Imfdiun sottogruppoHdiè Sgrun K IHGKery e IA Hb aC b CDomanda noNoci sui26110 complessiC Etibia SERILa 1ESEMPIOE iii i al it lastedÈatibllah arabadivido perIII c èquindi un campoistat C tutte le polinomiIn equazioniTeorema hannoli soluzionefondamentale è algebr