Aerodinamica, Stalio

Aerodinamica

Aria: Si può estrarre il problema di meccanismi intermolecolari, trattando quindi l'aria come un fluido continuo.

Densità:

Ragionando sui meccanismi intermolecolari ho introdotto: non troppo piccolo, se troppo grande i valori medi non sono rappresentativi dei valori locali.

Densità dell'aria a 15°C è 1,2 kg/m³.

In aerodinamica si pone T = cost.

Nei casi subsonici la pressione influenza poco la densità dell'aria.

Viscosità:

μ(p,T) = viscosità dinamica (a 47°C μ = 18•10^-6 Pa·s) ν(p,T) = viscosità cinematica (a 47°C ν = 15•10^-6 m²/s)

L'aumento della viscosità dei gas con la temperatura è difficile da descrivere, si sa che la viscosità aumenta con la temperatura.

Particella fluida:

Piccola quantità di materia che si muove con il fluido.

Elemento materiale:

Piccolo volume, linea, superficie di fluido che esiste nel tempo e che è formata dallo stessa materiale (stessi atomi/molecole).

Principio di reciprocità:

Nello studio dell'aerodinamica si possono avere:

• Oggetto fermo e aria in movimento
• Oggetto in movimento e aria ferma

In ogni caso le forze in gioco sono uguali.

Sistema di riferimento spaziale:

Avendo un campo di moto è richiesto di trovare la velocità di un punto.

SISTEMA DI RIFERIMENTO REFERENZIALE

x(t, x₀)

coordinata nel Sole referenziale

MOTO STAZIONARIO: ATTORNO AD UN CILINDRO

Associo al concetto di particella fluida. Detto referenziale perché c'è

bisogno di dare un'identità a ogni particolare presente nel flusso. Una

particella è identificata dalla posizione nel sistema iniziale di riferimento.

Ho flusso stazionario → ∂/∂t = 0

le velocità del fluido è costante nel tempo.

le regioni non le vedi inflezioni perchè sono approssivamente non

vengono applicate forze sul fluido: lavorando a livello di particelle

le velocità che queste hanno sono decelerazioni.

In questo caso non posso usare solo un Sole spaziale, ma

devo anche usare un Sole referenziale.

PUNTO DI VISTA SPAZIALE

v(x, t)

Se tempo fisso l'euleriano rimaneva nel punto p aveva sempre

la stessa velocità.

2t = 0

PUNTO DI VISTA REFERENZIALE

x* (t, x₀): particella che a t=0 occupa la posizione x₀

σ* (t, x₀): ATTENZIONE! Per misurare T* devo sapere dove misurarlo,

devo quindi conoscere x* e la velocità si scrive quindi:

come v ( −x* (t, x₀), t )

Cerchiamo quindi una derivata nel tempo della velocità da poter un'azione dell'equazione di Newton. Ci interesserebbe però tradurre

quanto trovato nel Sole referenziale nei termini del Sole spaziale.

devo sostanzialmente definire una funzione composizione, chiamata

DERIVATA MATERIALE/LAGRANGIANA (D/Dt). Si tratta però di un calcolo lungo e complesso.

Per semplificare procedo derivando da destra (scalare):

ρ* (t, x₀) = ρ(x* (t, x₀), t )

∂ρ/∂t = ∂ρ/∂x ∂x/∂t + ∂ρ/∂y ∂y/∂t + ∂ρ/∂z ∂z/∂t

u v w

= ∂ρ/∂t + v ⋅ grad(ρ)

grad(ρ) = (∂ρ/∂x, ∂ρ/∂y, ∂ρ/∂z)

componenti della velocità locale

Nel Sole referenziale otterrei le Tezumi di trascuramento.

Si dimostra:

1. Due linee di corrente non possono essere incidenti perché se lo fossero non potrei definire il vettore velocità.
2. Le vettore velocità non può avere componente normale al tubo di flusso.

Guardando le linee di flusso si nota che dove le linee di flusso si avvicinano il flusso accelera, dove si allontanano il flusso decelera.

Linea Vorticosa: tubo formato da linee vorticose. Vale la conservazione della massa.

Tubo Vorticoso:

Volume di controllo:

Regione del dominio di interesse delimitata in cui vedo a che succede uno studio. Il volume di controllo può essere fisso nello spazio-tempo o la forma e la posizione sono determinate dal flusso, ma la massa si conserva nel tempo a differenza dell'elemento materiale.

Vogliamo conoscere quanto fluido passa attraverso la superficie.

Esempi:

• Portata di massa = ∫_S ρv̅ · n̅dS
• Portata di massa = ∫_S ρN₂v̅ · n̅dS (percentuale di azoto)
• Flusso di quantità di moto = ∫_S ρv̅ (v̅ · n̅)dS ← Vettore!

Teoremi

Divergenza: Definisco un volume V contenuto in un volume più grande Ω.

Viene definito un campo vettoriale f con buone caratteristiche di regolarità (C¹), inoltre le superfici di V devono essere regolari. Vale:

∫_V div(f)dv = ∫_S f⁰ · n̅ dS

Flusso del campo

S se presenta una superficie da cui comunicare il flusso del campo.

L'ultima affermazione è spiegata dal fatto

che le parete presenta asperità che impediscono

le riflessioni di simmetria.

- Due primi stati stazionari

- U relativa = 0

Operiamo alcune semplificazioni per capire il TERMINE AVETTIVO

Prendiamo ∂u_x

(j.grad) j=0 prendendo una sola componente:

∂p

• (-gradρ)

U = componente del campo di velocità

∂p/∂t + *U * ∂p/∂t = 0 ← EQUAZIONE DELLE ONDE

→ Velocità di propagazione della superficie delle onde solida

Tale equazione ammette soluzione per u=cost.

Sapendo che ρ=φ(X,t) scelgo un'opzione variabile

(∂x=k-μt ♒) φ(x+ut).

Considero

2p(x-ut) = 0 -> Sapendo che φ=φ ⎜x(ξ)

=> -u + ∂p/∂y + u ∂p/∂y = 0

* φ

poiché ora ho una condizione iniziale questa diventa la soluzione al tempo

t seguendo

φ₀ = φ(x)φ(t) = φ(x-ut)

φ

Que cambio ha il TERMINE VISCOSO?

Pongo uguali a zero tutti i termini dell'equazione di conservazione della qflui a eccezione di ^_ρ(c)∇ = μ▽ɸ

□Il passo all'equazione principalmente indotta

□ Riguardo all'equazione della coordinata fluidica non stazionaria

Voglio quindi trovare un set di equazioni alternative a Navier-Stokes

(più comodo). Preso un campo vettoriale r di classe C²:

∇²r = grad(div r) - curl(curl(r)) (*)

Riscriviamo le equazioni di Navier-Stokes:

∂/∂t + v * grad + (2 + u² + gl) / 2 + 19 ∇² = Stavo dil-poteri di p=cost.

Voglio inoltre per il moto a potenziale:

• irrotazionale → W=0 r = 0

• Pel (*) div v = 0 → Esciedo l'elemento viscoso

il moto mai dipende delle viscosità.

Equinno il tequino viscoso pariete all'irositorieo.

Nel fesso irrotazionale poi spitiol di taplo sono visi diato che pel

spiri di tlakie bovo plijlio pivede inv rotazione le paricelle.

Si ha quindi:

grad((2 + u² + gl) / 2)=0

Pampo di caso stazionario (∂/∂t = 0) = grad((2 + u² + gl) / p) = 0

Nei fini a potenziale posso usare Th. Bernouli: al posto dell'eq.

di diloginio della equn nelle equazioni di Navier-Stokes

Voglio ora trovare un analogo dell'equazione di conservazione della

massa:

p=cost: div(v)=0

Nel caso di moto a potenziale = div(grad φ) = 0 => ∇²φ = 0

{ ∇²φ = 0 (eq. differenziale)

{ grad((2 + u² + gl)/p) = 0 (eq. algebrica)

BC

Le condizioni al bando diflisciono da quelle di Navier-Stokes.

Su ha condizioni di non permbio/ur penetrarione, ma

pu esere scampiominto tra paricelle e pariste ¿¿

Tamsitione

Certu le BC il ssitema

u . n = 0

grad u = 0

2φ = 0

Può essere eɸ

p=0 SEMPRE

(nip NON PENETRAZIONE)