Aerodinamica

Aerodinamica e gestione termica del veicolo

Richiami

Campo scalare e vettoriale: Una quantità scalare definita come funzione delle coordinate spaziali e del tempo è definita come campo scalare. Pressione, temperatura e densità sono quantità scalari e:

• ρ = ρ(x,y,z,t)
• p = p(x,y,z,t)
• T = T(x,y,z,t)

Sono rispettivamente campi scalari di: pressione, densità e temperatura. Similmente, una quantità vettoriale definita come funzione delle coordinate di spazio e tempo, si chiama campo vettoriale. Per esempio, la velocità è una quantità vettoriale e:

V = V_x î + V_y ĵ + V_z k̂

Con V_x = V_x(x,y,z,t), V_y = V_y(x,y,z,t), V_z = V_z(x,y,z,t) è un campo vettoriale per V nello spazio cartesiano.

Gradiente di un campo scalare

Si considera un campo scalare: ρ = ρ(x,y,z,t) ⇒ il gradiente di ρ, grad ρ in un dato punto nello spazio è definito come un vettore tale che:

• Il suo modulo è il massimo tasso di variazione di ρ per unità di lunghezza nel punto dato
• La sua direzione è quella del massimo tasso di variazione di ρ nel punto dato (punta verso la massima variazione del campo).

grad ρ = (∂ρ/∂x) î + (∂ρ/∂y) ĵ + (∂ρ/∂z) k̂

Divergenza di un campo vettoriale

Si considera un campo vettoriale: V = V(x,y,z). Si considera, ad esempio, V come velocità di un fluido. Si visualizzi un piccolo elemento fluido di massa. Quando l’elemento fluido si muove nello spazio, generalmente il suo volume cambia. Si dimostra che la velocità di variazione di volume di un elemento fluido di massa finita in movimento per unità di volume è uguale alla divergenza di un vettore. La divergenza di un vettore è una quantità scalare.

Rotore di un campo vettoriale

Si considera un campo vettoriale con velocità di un fluido. Si immagini un elemento fluido muoversi lungo una linea di corrente; allora sarà possibile farlo ruotare con una velocità angolare w mentre traìa lungo la linea di corrente. Si dimostra che w è pari alla metà del rotore di un vettore.

N.B. Le definizioni di elemento fluido, linea di corrente ecc. saranno date in seguito.

Capitolo 1: Proprietà dei fluidi

Lezione 1 (16/09)

Un'ipotesi fondamentale in fluidodinamica è l'ipotesi del continuo. Definita la densità come ρ = m/V, valutandola in un certo punto dello spazio in un dato istante potrei ottenere ρ = 0 poiché potrei avere trovato il vuoto. Se, invece, in un altro istante trovarsi una particella, allora ρ aumenterebbe vertiginosamente. Ho bisogno, quindi, di risolvere questo problema. Prendiamo un dominio di interesse I con un punto al suo interno di coordinate (x, y, z). In questo punto definisco la densità come quella di una regione sferica di opportune dimensioni. Ciò ci consente di associare a ciascun punto del dominio un valore pressoché costante di densità. Ho, in questo modo, creato un campo scalare continuo.

È critica la scelta delle dimensioni della sfera, le quali non devono essere troppo piccole per permettere l'impiego di un numero più o meno stabile di molecole, e nemmeno troppo grandi per evitare di incorrere in effetti macroscopici indesiderati. Questo discorso vale per tutte le grandezze che hanno difficoltà ad essere definite in un punto.

Un fluido, se fermo rispetto ad un riferimento inerziale, avrà il tensore degli sforzi assiali e bilanciato. Appena verrà applicato uno sforzo di taglio, il fluido si muoverà ⇒ il tensore si sbilancia.

es. tensore degli sforzi bilanciato:

-P 0 0
0 -P 0
0 0 -P
sulla diagonale ho valori uguali.

Se un fluido è composto da un'unica fase, questo si dice omogeneo. In questo caso è possibile descrivere la configurazione del sistema con due soli parametri liberi (generalmente T e P). La densità e la viscosità quindi, si possono esprimere in funzione di p e T:

• ρ = ρ(p; T)
• μ = μ(p; T)

I fluidi che studieremo saranno a basso indice di Mach, quindi saranno subsonici e ρ non dipenderà dalla pressione (con un certo margine di errore).

• ρ = ρ(T) fluido isoterma
• ρ + ρ(T; τ) aerosol incomprimibili

La viscosità, nelle stesse condizioni, avrà un comportamento simile. Densità e viscosità (negli aeriformi) all'aumentare della temperatura hanno comportamenti opposti:

ρ ↓ se T ↑