Aerodinamica

AERODINAMICA E GESTIONETERMICA DEL VEICOLO

Appunti a.a. 2019-20

Richiami

• Campo scalare e vettoriale

Una quantità scalare definita come funzione delle coordinate spaziali e del tempo è definita come campo scalare. Pressione, temperatura e densità sono quantità scalari e

ρ = ρ(x,y,z,t)

ρ = ρ(x,y,z,t)

T = T(x,y,z,t)

sono, rispettivamente, campi scalari di pressione, densità e temperatura. Similmente una quantità vettoriale definita come funzione delle coordinate di spazio e tempo è chiamata campo vettoriale. Per esempio la velocità è una quantità vettoriale e

V = V_x i + V_y j + V_z k

con V_x = V_x(x,y,z,t) V_y = V_y(x,y,z,t) V_z = V_z(x,y,z,t) è un campo vettoriale per V nello spazio cartesiano.

• Gradiente di un campo scalare

Si consideri un campo scalare: ρ = ρ(x,y,z,t) ⇒ il gradiente di ρ, grad ρ, in un dato punto nello spazio è definito come un vettore tale che:

• il suo modulo è il massimo tasso di variazione di ρ per unità di lunghezza nel punto dato;
• la sua direzione è quella del massimo tasso di variazione di ρ nel punto dato (punta verso la massima variazione del campo).

grad ρ = (∂ρ/∂x) i + (∂ρ/∂y) j + (∂ρ/∂z) k

• Divergenza di un campo vettoriale

Si consideri un campo vettoriale: V = V(x,y,z,t) Si consideri, ad esempio, V come velocità di un fluido. Si visualizzi un piccolo elemento fluido di massa

Capitolo 2: Il Movimento Dei Fluidi

Il principio di reciprocità fu stabilito da Leonardo da Vinci, il quale afferma che le mutue azioni fra solido e aria variano solo con la velocità relativa (è possibile studiare l'aerodinamica delle vetture a bordo pista vedendo l'auto passare, o in una galleria del vento, poiché le forze in gioco sono le stesse).

Esempio

Immaginiamo di avere una galleria del vento e di isolare il flusso intorno ad un corpo cilindrico (ipotesi di flusso stazionario, ovvero non dipendente dal tempo, e laminare). Se applico la 2° legge di Newton essendo variazioni di velocità nel tempo nulle, potrei dedurre che non ci siano forze applicate al fluido.

Questo è errato poiché la 2° legge di Newton è da applicare alle particelle, le quali subiscono accelerazioni e deviazioni. ciò non posso capirlo con un movimento fermo in un punto. Servo un sistema di riferimento referenziale nel quale posso fare una distinzione tra variazione di velocità locale in un punto e accelerazione vera e propria.

Descrizione spaziale (EU) e referenziale (χ)

• χ̅̅: posizione della generica particella all'istante generico nella EU,
• χ̅(t , X₀): posizione della generica particella all'istante generico nella χ,
• ϱ: campo di densità (EU);
• ϱ*˞(χ, X₀): campo di densità (χ);
• ύ̅̅: campo di velocità (EU) = ύ̅(χ; t)
• ύ̅(t, X₀): campo di velocità (χ)

N.B. Nella χ è posizionato prima il tempo e poi la posizione poiché è ritenuto più importante.

Il tensore è simmetrico e gli elementi sulla diagonale indicano la velocità di diminuzione degli angoli (se <0 → l'angolo aumenta). Solo i termini fuori la diagonale sono relativi a sforzi di taglio; i termini che giacciono sulla diagonale sono relativi a sforzi lineari (dilatazione/strozzamento).

III) DILATAZIONE

La densità, dopo l'evoluzione, è diminuita. Se ∂w ∂y <0 (invece misura rispetto a ∂u ∂x ), allora la densità rimane costante.

Se sommo i termini sulla diagonale del tensore, divergenza della velocità, arruolamento uniforme sulla dilatazione/controrimento dell'elemento:

div(J) < 0 → ↑ = cost

div(J) < 0 → ↓

div(J) > 0 → ↑

DEFINIZIONI

TRAJECTORIA = luogo dei punti occupati, istante per istante, da una particella materiale.

Capitolo 3: Equazioni Fondamentali

Equazione di Conservazione della Massa

Secondo la meccanica classica la massa non si crea e non si distrugge, ovvero si conserva. L'espressione matematica del principio è:

D/Dt ∫_Vm ρdV = 0

ma nel nostro caso ρ = costante ⇒ D/Dt ∫_Vm ρdV = 0

Secondo il teorema del Trasporto di Reynolds ho che:

∂/∂t ∫_V ρdV + ∫_S ρ**v**·m_ndS = 0

Equazione di Conservazione della Massa per un Volume di Controllo

Sfrutto il teorema della Divergenza e poi passo dalla forma integrale dell'equazione a quella differenziale:

⇒ ∂/∂t ∫_V ρdV + ∫_V div(ρ**v**) dV = 0

Il passaggio alla forma differenziale ci permette di valutare questa espressione "punto per punto" e non solo in relazione ad un dato volume di controllo. Il passaggio si effettua sfruttando un teorema matematico secondo il quale scelta un dominio di interesse e un volume di controllo arbitrario al suo interno se l'integrale di una funzione (definita nel dominio di interesse) svolto sul volume di controllo scelto è zero, allora la funzione deve annullarsi nulla punto per punto.

⇒ ∂ρ/∂t + div(ρ**v**) = 0

Equazione di Bilancio di Massa

Se ρ = costante l'equazione si semplifica nel seguente modo:

⇒ div(**v**) = 0 (il campo di velocità si dica solenoidale)

∫∫∫_V ∂̄/∂t dV = ∫∫∫_V div(Π )dV + ∫∫∫_V ρ g dV

Per lo stesso teorema usato per l'Equazione di Conservazione della Massa si ha che

ρ ∂̄/∂t = div(Π ) + ρg

[N²/m] → ρ [∂̄/∂t + (̇ ∙ grad)˶] = div(Π ) + ρ ⇅g vettore

Ampiando il termine "div(̄ )" in aggiunta all'ipotesi di Stokes considero ρ =costante → div(̄ )=0 Calcolo la div(Π ) per un'unica direzione (moltiplico per il verso z ) per poi estendere il risultato a tutte le direzioni:

div(Π ),z = div(̃z,̃_x,̃_z) = ∂ρ_x ∂μ (∂u/∂x) + ∂ρ_y (∂u/∂x) +∂ρ_z (∂u/∂x)

+

∂μ( ∂∂/∂∂ ) ma poi ipotizzo ho div(̄ )

osm essendo ρ=cost. → il flusso sarà istantaneo o subsonico quindi anche la viscosità sarà costante e potrà essere portata fuori il segno di derivata.

Osservo solo i termini separati → -μ [^∂u/∂x + ^∂u/∂y + ^∂w/∂x] → applica il teorema di inversione dell'ordine di derivazione e scambio

∂ /→ -μ [^∂div(̄)/∂x] ma per ipotesi ho div(̄)=0

→ - div(Π),z = -^∂ρ/∂x -μ∆²u

In tutte le direzioni, quindi, avremo

div(Π ) - g grad P + μ ∆²u