Aerodinamica

Equazione di Bilancio della Quantità di Moto

Partiamo scrivendo la 2ª legge di Newton per corpi continui:

^dF_→ = (m·V_→)^dt

Per i corpi continui, si considera il postulato:

F^(e)_→ = D^dt ⎡∫_vm (ρ) V_→dv⎤

Non si considerano le forze interne al volume che controlliamo, perché sono bilanciate e quindi effetto dinamico sul volume nullo.

Possiamo suddividere le forze esterne in forze esterne di volume e forze esterne di superficie:

D^dt ∫_vm (ρ) V_→dv = F_s^(e)_→ + F_v^(e)_→

Consideriamo F_V^(e), che sono forze che agiscono sul volume.

Che forze agiscono a distanza:

• Gravità
• Forze dovute ad un campo magnetico (non di interesse)
• Forze fittizie (quando si studia un fenomeno tramite un sistema di riferimento non inerziale)

(non di interesse)

D/De ∫_Vm ρ F dV = F_S^(e) + ∫_Vm ρ gg dV

Ora dobbiamo cercare di capire come scrivere F_S^(e), che sono gli sforzi applicati sulla superficie dei volumi/dm che stiamo considerando.

Sappiamo che gli sforzi applicati su una superficie non dipendono esclusivamente dalla posizione dove vengono applicati, ma dipendono anche dall'orientazione delle superfici. Proprio per questo motivo si utilizzano i tensori per gli sforzi, perché possono indicare com'è diretto lo sforzo e com'è orientata la superficie. Per scrivere questo tensore ci aiuta Cauchy, con il tetraedro di Cauchy.

T_ij = -p δ_ij + d_ij

Per i postulati:

• d_ij = 0 quando ũ = 0
• T_ij deve avere un legame di tipo lineare con S_ij
• Isotropo

Richiesta aggiuntiva:

• d_ij tensore di tipo deviatorico

Introduciamo un coefficiente di proporzionalità μ, che moltiplica 2 S_ij, questo per avere un legame di tipo lineare tra T_ij e S_ij ma anche per avere un legame tra gli sforzi di taglio e le deformazioni a taglio:

T_ij = -p δ_ij + μ (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i) = -p δ_ij + 2μ S_ij

Per esprimere il legame tra gli sforzi di tipo assiale e le dilatazioni/contrazioni:

T_ij = -p δ_ij + 2μ S_ij + λ δ_ij div(ũ)

Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni che governano il moto dei fluidi. Quelle scritte sopra considerano ρ=costante e μ=costante e quindi per fluidi Newtoniani.

Se volessimo studiare un caso non isoterma, avrei 5 incognite: u, v, w, p, T e per la risoluzione ci serviamo 5 equazioni, quindi andremo a scrivere l'equazione dell'energia termica.

Queste equazioni non sono risolvibili, infatti lo studio dei flussi turbolenti viene fatto in modo sperimentale e per via numerica.

Parliamo di BC e IC:

Le B.C. possono servire nell'approccio analitico o nell'approccio numerico, nell'approccio analitico è difficile dare dei risultati se non in casi particolari.

Condizioni al contorno su una superficie solida:abbiamo velocità nulla relativa alla parete, cioè:

Questo termine ha il ruolo di spostare la quantità di moto (ρ_fū) di una particella materiale, e la sposta con la velocità ū, che sta in (ū-grad), nel dominio di interesse.

Termine Diffusivo/Viscoso

(μ∇²ū_f):

Partiamo dall'equazione di partenza di prima e facciamo delle semplificazioni:

ρ(^∂ū_f/_∂t + ū⋅gradū) = - gradP + μ∇²ū + ρg̅

Questa volta consideriamo il termine avvettivo trascurabile e facciamo la semplificazione di pressione uniforme e forze gravitazionali trascurabili

ρ^∂ū_f/_∂t = μ∇²ū

Cerchiamo di far diventare questa equazione scalare (ū→T), monodimensionale (ū→T), con 1 solo coefficiente:

^∂T/_∂t = ν∇²T → ^∂T/_∂t = α∇²T

Equazione della diffusione/conduzione non stazionaria e monodimensionale

Che possiamo identificare come una problematica di barra riscaldata al centro, con α = λ/ρc il coefficiente di

INTEGRO NUOVAMENTE TRA y=-δ E y GENERICO, IN MODO TALE DA INSERIRE LE CONDIZIONI AL BORDO.

d∫_-δ^yy dy = μ∫_-δ^y_{∂²u/∂y²} dy

d(1/2[y²|_y-y²|_-δ])-μ(u_x|_y-u_x|_δ)

u(y) = 1/2μ d(y²-δ²)

QUESTA È LA LEGGE CHE GOVERNA u₂ IN QUESTO FLUSSO (ANDAMENTO PARABOLICO)

d=0 PERCHÉ VELOCITÀ A PARETE

PER AVERE u > 0, DOVRÒ AVERE d