Aerodinamica

Equazione di bilancio della quantità di moto

Partiamo scrivendo la 2^a legge di Newton per corpi continui:

F̅ = d/dt (m * v̅)

Soma delle forze applicate sul corpo puntiforme uguale alla derivata nel tempo della quantità di moto del corpo puntiforme m.

Per i corpi continui, si considera il postulato:

F̅^(e) = D/Dt ∫_Vm (ρ v̅) dV

Forze esterne applicate ad un volume.

Quantità di moto.

Non si considerano le forze interne al volume che controlliamo, perché sono bilanciate e quindi effetto dinamico sul volume nullo.

Possiamo suddividere le forze esterne in forze esterne di volume e forze esterne di superficie (superfici di controllo del volume di controllo).

D/Dt ∫_Vm ρ v̅ dV = F̅^(e)_S + F̅^(e)_V

Equazione di bilancio della quantità di moto

Partiamo scrivendo la 2ª legge di Newton per corpi continui:

F = d/dt (m * v̅)

Per i corpi continui, si considera il postulato:

F^(e) = D/Dt ∫_Vm (ρv̅)dV

Non si considerano le forze interne al volume che controlliamo, perché sono bilanciate e quindi effetto dinamico sul volume nullo.

Possiamo suddividere le forze esterne in forze esterne di volume e forze esterne di superficie

D/Dt ∫_Vm ρv̅dV = F̅_S^(e) + F̅_V^(e)

Consideriamo che sono forze che agiscono sul volume.

Che forze agiscono a distanza:

• Gravità
• Forze dovute ad un campo magnetico (non di interesse)
• Forze fittizie (quando si studia un fenomeno tramite un sistema di riferimento non inerziale) (non di interesse)

Ora dobbiamo cercare di capire come scrivere , che sono gli sforzi applicati sulla superficie dei volume/doc che stiamo considerando.

Sappiamo che gli sforzi applicati su una superficie non dipendono esclusivamente dalla posizione dove vengono applicati, ma dipendono anche dall'orientazione delle superfici. Proprio per questo motivo si utilizzano i tensori per gli sforzi, perché posso indicare come è diretto lo sforzo e come è orientata la superficie.

Per scrivere questo tensore ci aiuta Cauchy, con il tetraedro di Cauchy.

Tetraedro di Cauchy

Immaginiamo lo stato tensionale in un sistema di riferimento cartesiano di un continuo (fluido o solido), cioè di conoscere gli sforzi applicati in un certo punto del nostro continuo, sulle superfici ortogonali agli assi coordinati, quindi di conoscere gli sforzi sul piano x-y, y-z, z-x. "Da qui possiamo ricavare gli sforzi applicati su una qualsiasi superficie, cioè con qualsiasi inclinazione?"

Superficie qualsiasi

Prima di andare avanti facciamo un punto sulle convenzioni delle notazioni degli stati tensionali:

Regola:

T_ij dove i → Direzione sforzo

j → Giacitura (direzione normale sulla superficie dove è applicato lo sforzo)

Quindi posso trovare lo sforzo sul piano generico di normale n, in tale maniera:

t_i = ∑ T_ij · n_j

Componente i-esima dello sforzo che sto cercando

t = T̅ · n̅

Teorema del tetraedro di Cauchy

con T̅ tensore degli sforzi

Quindi ritornando l'equazione formata dal postulato:

D/Dt ∫_Vm ρv dV = ∫_S F_S^(e) + ∫_Vm ρg̅ dV

Potrei scrivere, tramite il T. del tettaedro di Cauchy

F̅_S^(e) = ∫_S t dS = ∫_S T̅ · n̅ dS

Cioè vado a sommare posizione per posizione lo sforzo.

Quindi:

D/Dt ∫_Vm ρv dV = ∫_S T̅ · n̅ dS + ∫_Vm ρg̅ dV

Derivata materiale della quantità di moto di una particella materiale

Forze di superficie

Forze di volume

Proviamo a semplificare questo termine (il tensore degli sforzi)

Equazioni di bilancio della quantità di moto

Tensore degli sforzi (Ipotesi di Stokes)

Per risolvere T̅ si usano 3 postulati di Stokes, questi postulati ci porteranno ad un modello del tensore degli sforzi, dentro ai fluidi (fluidi newtoniani):

1. S_lineareT̅

   - Il tensore degli sforzi deve essere espresso attraverso una funzione lineare del tensore della velocità di deformazione (fluidi che rispettano questa regola si chiamano fluidi newtoniani)

2. S_isotropoT̅

   - Il legame tra il tensore degli sforzi e il tensore della velocità di deformazione sia di tipo isotropo, cioè non dipenda dalle direzioni

3. u₀ (statica)

   T̅=|⁰⁰⁰