Aerodinamica

Aerodinamica e Gestione Termica del Veicolo

Andrea Ruffini

2018/2019

Ipotozzo che il fluido sia continuo → definisco così le caratteristiche di un punto del fluido come la media delle grandezze fisiche di un volume sferico attorno a quel punto. Il volume sferico non deve essere né troppo grande né troppo piccolo: devo evitare che effetti microscopici e macroscopici stabiliscano la mia misura.

• Densità aria: 1,2 kg/m³ (17°C)

↑ T, ↑ moto particelle, ↑ distanza tra particelle, ↓ ρ

La densità dipende anche dalla pressione p=p(T, ρ). Per i moti subsonici l’influenza della pressione è trascurabile.

• Viscosità dinamica aria: μ = 18·10^-6 Pa.s Viscosità cinematica aria: D = μ/ρ = 15·10^-6 m²/s → moto di un'aria tipica delle circolazioni

La viscosità lega lo sforzo applicato al fluido alla sua deformazione. Anche per la viscosità l’effetto della pressione è trascurabile.

Gas → ↑ T, ↑ μ Liquidi → ↑ T, ↓ μ

Particella fluida: piccola quantità di materia che si muove con il fluido (alla stessa velocità locale).

Elemento materiale: piccolo volume di fluido, formato dalle stesse particelle, che evolve nel tempo.

Principio di reciprocità:

"La forza che l'aria esercita sull'ala è la stessa che l'ala esercita sull'aria". (3ª legge di Newton).

La F ed il percorso del vento sono validi (auto ferma e aria in moto).

Punto di vista spaziale (Euleriano):

Si fissa l'attenzione su una determinata regione dello spazio → variabili indipendenti posizione x e tempo t.

v_x = v (x, t) → ricavata dalla lettura di uno strumento posto in un determinato punto dello spazio.

Nel punto di vista spaziale ^∂/_∂t = variazione locale della velocità, NON accelerazione N.B.

Esempio: fluido in moto laminare stazionario attorno ad un cilindro.

^∂/_∂t = 0. Ciò significa che sul cilindro non vi siano forze applicate. Newton parla di punti materiali in movimento → in u soli esercizio una ceppo le particelle e non posso applicare la seconda legge di Newton. (Un osservatore non misura la velocità in ogni istante della stessa particella ma la velocità in ogni istante del fluido in un determinato punto dello spazio → principi di nuove particelle che lo attraversano).

Punto di vista referenziale (Lagrangiano):

Associato al concetto di particella fluida. Solr che segue la particella fluida nel tempo. Ogni molecola viene "catalogata" in base alla posizione occupata nell'istante iniziale t₀.

"variabili indipendenti invertite"

X^*(t, X₀) → Posizione della particella = X₀ in un generico tempo t. → Solr referenziale.

^∂/_∂t X^*(t, X₀) = v^*(t, X₀) = v(x^*(t, X₀), t)

v particella = v fluido.

Esempio di calcolo della vorticità:

\(\mu_x = 0\) \(\mu_\theta = \Phi_z x\)

\(\omega_z = \frac{1}{x} \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left(\Phi_z x^2 \right) \right] = 2 \Phi_z\)

Vortice elementare

\(\mu_x = 0\) \(\mu_\theta = \frac{C}{x} = \frac{\Gamma}{2\pi x}\)

dove \(\Gamma = \oint \vec{v} \cdot d\ell = \mu_\theta \cdot 2\pi x\)

Definizione di vortice elementare. \(\mu_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi}\) e \(C = \frac{\Gamma}{2\pi}\)

Vorticità del vortice elementare?

\(\omega_z = \frac{1}{x} \left( \frac{\partial (\mu_\theta x)}{\partial x} - \frac{\partial \mu_x}{\partial \theta} \right) = 0\) Vorticità nulla.

\(\vec{v}\) velocità tende ad \(\infty\) punto singolare (non interessante)

Corrente piana di Couette

Flusso interno che si forma quando si fanno scorrere due lastre piane affacciate una sopra l’altra.

Per basse velocità e \(h\) piccola.

In regime laminare, si crea un profilo lineare della velocità del flusso tra le due lastre.

TH. DI REYNOLDS

Esprime l'uguaglianza tra due termini, il primo riguardante il volume di controllo e il secondo riferito al volume materiale. Supponiamo che al tempo t^* V_uc ≡ V:

D/Dt ∫_Vuc ρφ dV = ∂/∂t ∫_V ρφ dV + ∫_S ρφ **v̅** · **n̅** dS

A seconda di φ l'integrale assume significati diversi (φ = 1 → massa, φ = v → q.d.m. ...).

Ricordando che in t^* V_uc e V coincidono, se per esempio all'interno dei volumi avviene una reazione chimica e si origina della materia (φ potrebbe essere frazione di CO₂ → combustione → ↑(φ)) allora D/Dt ∫_Vuc e ∂/∂t ∫_V sono positivi. Muove solo il volume di controllo, che è permeabile, si accorge della materia che entra dall’esterno (CO₂ che entra dall’esterno). Per questo motivo, la differenza della variazione di massa tra volume materiale e volume di controllo non è altro che il flusso di massa attraverso la superficie del volume di controllo.

EQ. DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA

Se la massa si conserva ⇒ D/Dt ∫_Vuc ρ dV = 0.

Quindi per Reynolds:

∂/∂t ∫_V ρ dV + ∫_S ρ **v̅** · **n̅** dS = 0

• Se, all'interno del volume di controllo, la massa non varia (∂/∂t ∫_V = 0) allora il flusso di massa è nullo.
• Se, all'interno del volume di controllo, la massa varia (∂/∂t ∫_V ≠ 0) allora la variazione di massa coincide con il flusso di massa attraverso S.

Ipottizzando ρ = cost ➔ div (v) = 0

La prima componente del vettore div (T) diventa :

div (T) . i = ∂T₁₁/∂x + ∂T₁₂/∂y + ∂T₁₃/∂z

Ricordando che T_ij = -p . δ_ij + μ (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i) + λ div(v) . δ_ij

div (f . î = -∂p/∂x + μ [∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² ]

Se u, v, w hanno buone caratteristiche di regolarità , per il th. di inversione della derivata :

μ [∂/∂y (∂u/∂x ) + ∂/∂x (∂v/∂x ) ]₀

Quindi :

div (f) . î = -∂p/∂x + μ ▽²u

In generale div (f) = - grad ρ + μ . ▽² v

Posso ora completare la scriutta dell'eq. di bilancio della p.d.m. :

ρ DV/Dt = - grad ρ + μ ▽² V + ρ_g

termine di sforzo

termine di sforzo a taglio

Dell'eq. di bilancio della q.d.m. prendiamo solo la prima componente perché le altre due sono nulle.

^{(1° lapl.)}

Il termine collettivo è quindi nullo:

^{(2°s.o. 2D)}

Resta:

Le derivate sono derivate totali perché u non può variare né in x né in z.

Si dimostra integrando l'ordine di derivazione

Siccome siccome la u non varia in x allora neanche

per simmetria

EQUAZIONI DEL MOTO A POTENZIALE

Si dice che il campo v̄ è potenziale se ∃ φ tale che grad φ = v̄.

Un campo che ammette potenziale è irrotazionale ⟹ curl (grad φ) = 0 sempre (vale anche il contrario).

Applicando il Teo. di Stokes:

∮ v̄·dl̄ = ∫_S (curl v̄)·ds̄ = 0

⟹ nell'ip. di irrotazionalità.

Quindi ∮ v̄·dl̄ = 0

⟹ ∫_A^B v̄ dl̄ + ∫_A ^B v̄·dl̄ = 0 ⟹ φ(B) - φ(A) = ∫_A^B v̄ dl̄

L'obiettivo è quello di trovare un set di equazioni alternative a NS , più facili da trattare.

Riscriviamo le eq. di NS sfruttando la relazione matematica seguente:

∇² v̄ = grad (div v̄) - curl (curl v̄) ⟹ v̄ campo vettoriale di classe C₂.

∂v̄/∂t + ω × v̄ = -grad ( ρ/ρ + v²/2 + gh ) + ν ∇² v̄

⟹ appico le condizioni del moto a potenziale.

Irrotazionale ⟹ ω ∧ v̄ = 0

∇² = grad (div ≛ v̄) - ω× ω ≛ v̄ = 0

Eliminiamo il termine viscoso grazie alla irrotazionalità ⟹ il moto non dipende dalla viscosità ma la legge è valida anche per fluidi viscosi!

Gli sforzi di taglio sono l'unico modo per mettere in rotazione la particella quindi :

Fluido irrotazionale no sforzi di taglio