Aerodinamica e gestione termica del veicolo

Aerodinamica

Fluidodinamica

- Ipotesi del continuo → contano gli effetti macroscopici delle interazioni chimiche

Mezzo continuo → posso definire la densità in un punto

non troppo grande per non avere effetti microscopici

serve comunque un volume abbastanza grande per avere una grandezza media

evitare effetti microscopici

Oscillazione dovuta a numero molecole (effetti microscopici)

Salto dovuto a effetti macroscopici

Curato ambito di scale

dimensione caratteristica

\(L_1 \ll d \ll L_2\)

OSS: \[ \frac{dp}{dx} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\rho(x+\Delta x) - \rho(x)}{\Delta x} \]

Def di derivata vale grossa Eq. del continuo

OSS: velocità fluido è la velocità media delle molecole

Particella fluida

lung (grumo) → regione di fluido

che si muove con il fluido stesso

es. goccia inchiostro versata in un fiume (a pari densità)

Elemento materiale

punto, linea, volume, superficie

segmento fluido che ha una certa identità (genetto numero della forma adottata) mentre evolve.

1) Si identificano dalla posizione \(\bar{x} = \bar{x}_0\) a un dato tempo \(t_0\)

OSS: un punto materiale non può pensare una superficie.

OSS: Densità costante uniforme → non varia nel tempo e nello spazio.

DENSITÀ

ρ (P, T) funzione di pressione e temperatura (Tp cost.)

Varia con pressione?

es. onde subsoniche e supersoniche, → numero di Mach: rapporto tra velocità caratteristica V e velocità del suono in quel mezzo.

quindi Ma = _u/_α (subsonico < 0,3) onde di pressione

A quale Ma possiamo arrivare con ρ costante?

Bisogna calcolare rapporto tra densità e la variazione, quanto varia in percentuale. Veri conti.

a² = (_∂P/_∂ρ)_s, l’entropia fissa

VALUTAZIONE ORDINI GRANDEZZA

a² ≈ ΔP/Δρ [ricarico entropia costante]

quindi ci interessa ΔP/ρ

OSS: Ad alto numero di Ma ∼ Δp/pi² ovvero la variazione di pressione sono

dimensionabilmente uguali a velocità media del fluido al quadrato per la densità.

CINEMATICA DEL FLUIDO

Elemento fluido: ha una forma assegnata all'istante iniziale (quadrettino) e molto piccolo rispetto alla scala del fluido localmente il profilo di velocità sarà lineare

Come può evolvere?

Può traslare, ruotare, dilatarsi (non per noi -> ρ cost) e deformarsi (variarsi angoli). Può succedere tutto contemporaneamente nel moto.

ROTAZIONE -> portiamo antioraria attorno al terzo asse.

ω_z = lim_Δt→0 θ₁ + θ₂ 2Δt

Esprimiamo gli angoli in funzione del campo di velocità:

υ(x+Δx) = υ(x) + ∂υ/∂x (x) Δx + ɵ (Δx)² (ɵ piccolo)

∂υ/∂x (x) ≅ υ(x+Δx) - υ(x)/Δx ≅ Δy/ΔxΔt ≅ θ₁/Δt

tg θ₁ = Δy/Δx , θ₁ ≅ Δy/Δx (def di tga trigonometria e noto Δy/Δx con θ₁)

Vel. vel. tot. risp.z:

quindi ω_z = 1/2 ∂υ/∂x + quadro θ₂ → analogo

sapendo che θ₁/Δt ≅ ∂υ/∂x ⇒ θ₂/Δt = ∂υ/∂y

area di campo “-” parte di diminuzione:

(come se quadrettino ruota nella zona dello «spigolo»)

OSS: Flusso dichiarato. - la velocità media diminuisce poiché la portata è costante (ρ _cost)

LINEA VORTICOSA: è una linea che in ogni punto ha come tangente il vettore vorticità in quel punto.

TUBO VORTICOSO: considero una linea chiusa e considero tutte le linee vorticose che passano per quella.

La vorticità si conserva.

VOLUME DI CONTROLLO: delimito una regione nel dominio da considerarsi fissa nello spazio diverso dal volume materiale che si muove ed è composto della stessa materia.

(IMPERMEABILE)

Il vol. di controllo non si muove ma è permeabile. (non è distinta di nostro flusso). Considero vol. generico:

il flusso volumetrico che attraversa la superficie:

∫_S v · n ds [m³/s]

OSS: la normale n è sempre diretta verso l'esterno!

Se si considera la densità: ddt. flusso di massa

∫_S ρ· v ·n ds [kg/s] → ρ cost e porta fuori

Se voglio la portata di una certa specie:

o flusso di massa: ∫_S ρ_β v ·n ds [kg/s]

Se trasporto energia (es. tramita di un flusso caldo) per effetti convettivi:

∫_S ρCpT v ·n ds [W]

det. il generico sforzo T_i ortogonale alla superficie

T_i = _{J = 1}³ Σ T_iJ M_J comp. dello sforzo sulla sup. di normale M !

Direz. principali! Infinita di possibili orientazioni!

Ipotesi di STOKES

1. -ρ 0 00 -ρ 00 0 -ρ

Quando fluido è fermo si def. così il tensore degli sforzi - def. di pressione

Abbiamo solo sforzi ortogonali quindi no tutte le

osservazioni anche per fluidi

Quindi valgono le leggi della statica: nel caso statico si

si riconduce a TENSORE DEGLI SFORZI NELLA STATICA

2. Fluidi Newtoniani: sforzi proporzionali alle deformazioni
3. Il fluido è ISOTROPO (Vale anche in moto)

Dunque è possibile scrivere il tensore degli sforzi:

T_ij = -ρ δ_ij + δ_ij con dis tensore deviatorio e che si

annulla per (caso statico)

Considero di una matrice una parte DIAGONALE e una DEVIATORICARiscavo una def. di pressione:

quindi ¹/₃ (- Σ T_ii)

pressionemeccanicadella dinamica

Traccia aggiunta dagli effetti dinamici1 la media dei valori nella diagonale è zero

mi aspetto una ϟ(ξ) con ξ lineare

di esprimere in un'unica forma x e t:

ξ = x - ut quindi faccio derivata parz. rispetto t:

∂ϟ/∂ξ + u∂ϟ/∂x =0

quindi ∂ϟ/∂ξ = 0 Funz. di una sola variabile! il risultato dip. dalle cond. iniziali t₀

Il risultato dipende dalle cond. iniziali al tempo t₀:

Δx = ut

ϟ(x, t₀ = 0) = ϟ(ξ = x)

Analogamente:

μ∇²ν → μ∇²u −

∂ϟ/∂t = α∂²ϟ/∂x²

ϟ(x) = Aarc sin (πx/L)

Derivo nel t

∂ϟ/∂t = -8Ae^-Bt arc sin (πx/L)

α∂²ϟ/∂x² = -Ae^-Btπ²/L² arc sin (πx/L) α

OSS: Il trinomio  p + v² + gh è costante!

Solo lungo delle direttirici → grad è zero dove?

Guardiamo linee di corrente → ogni punto è parallelo al vettore velocità

Pensiamo all' effetto che ci ha nulla parte SX e dx dell'equaz.

(scalamento) per il campo locale di velocità: la parte dx va a zero, la parte sx diventa la variazione della quantità lungo le linee di corrente ovvero la variazione locale della v è zero quindi trinomio costante

L) Analogo per linee vorticose → lungo le linee il trinomio rimane costante

Ricordamento: Bernoulli debole quando ho l'eq. di flusso stesso,

non vi è densità costante, Re ↑ quindi trinomio nullo se mi metto a seguire le linee (dobbiamo conoscere prima il campo e le linee non le posso applicare → ripetori forti)