Aerodinamica

AERODINAMICA fenomenologia

:

unica aerodinamica

l'

equazione

ricavare

→ per

un in

fluidodinamica descrizione divideva

si

del regione

flusso

in la

limite Per è

ed

dello equazione

ricavare flusso

del

esterno

strato . (

/

1 )

re

il termine ottenendo

trascurato re le

avevano → ao

incomprimibili

(

Eulero

equazioni )

N

di s

- . impedisce di

poichè giustificato

Questo passaggio mal

è e

errato in descrivere

grado di poter

poter trovare globale

un' equazione

flusso

regioni del

le

tutte .

un' descriva il

equazione flusso

Obiettivo tutto

trovare che

: .

incomprimibili

di

Equazioni Navier-Stokes

>

{ the

PYE a)

E)

la TP

£ Dave

µ

+ =p + :

- - )

(

al E) E all

e

{ = .

%

Ij I Il o

se =

.

adimensionali

zza Età

e ☒

* +

= -

. di

(

Derivata materiale di forza

è accelerazione

rappresenta

a- : inerzia )

di

unità

per massa

pressione poichè

di

termine viscosa p

divisa

"

forza viscosa per

:

Termine pressione

di

delle

forze il MOLTIPLICATORE

ruolo del

gioca

; ( =D

incomprensibilità

soddisfare vincolo

LAGRANGE di fin

di il

per i

di Lagrange

moltiplicatori metodo

I trovare

sono per

un massimi

minimi Per

di

massimi funzione

i VINCOLATI una

e . )

intende ✗

minimi vincolati vincolo

si chiamata

c

su una curva

e .

*

funzione

di

è

✗ individuata zeri

dagli §

una .

minimi vincolati

massimi

cercando i

di

supponendo i

star e

) individuata dagli

equazione ( due

della I sulla curva

q )

zeri (

I.

mi della

e > Cons

0

la massa

e =

. . . Lagrange

La di

moltiplicatore

del

il

avrebbe

pressione ruolo

vincolo incomprimibili

Ill di tà

O

= ?

imporre

Ma condizioni da

quali le

sono

iniziali

condizioni )

Ct C)

(

1 llo

0

il I

: r

= =

,

condizioni la IBC )

al

2 contorno a

ce =

: r impongo

condizioni condizioni

compatibilità che

3 di a-

su e no :

:

far incomprimibile

a fluido

a- dominio

è da

1- 0 il

se un

' = : è

di

flusso

qualsiasi nulla

massa

il netto

iniziale divergenza

compatibile

E-

2 nella

dato con

no 0 :

= sì

si

Itard

( 1- dell'

)

al velocità

Iba

3 sul oggetto

a- contorno

a- :

o -

. =

, inizialmente pari 1- allo stesso

no

a

contorno

Esempio Openfoam

applicativo su

oggetto

: di

condizioni

ciao eeaecaeosco

→

→

→

→ → → →

→ velocità

della

uscita

2=-0

a. / .

☒f%ÈÌ-

→ tllepolfosolollnacoceepoieeute

<

D=

garantire . .

.

9=00 pressione

aiueea

→ a .

→ adesione

→

→ soddisfatte

ICCBC sono

:{ %ff%ff-LI%aa-a.sn

{

" assumendo ciao

sia

soddisfatta llo

2. -0

→ siamo -

-

seieo-ocoppen-oparteoasermouaeeis.at

> .

bordi

sui

disfatta dove ciao

a-

-

soddisfatta

nonè

Uaocogplltopiaineeeoto

>

>

m seno __ sull' dovea

oggetto -0

vedremo soddisfare condizione

poi terza

la

come .

termine ?

quindi setrasaerianeoie viscoso

> succede

cosa ad

ieterlleiueuiscoso

Andando andiamo abbassare

trascurare

a edicouseguenz.ca

ordine

l' della andare

dovremo

equazione

nostra condizioni

delle che dovremmo

trascurare aecoutoreeo

una

a

imporre quindi andando cambiare del

lavatura

stiamo @

. Ureieeetod

differenziale enaoeeeo

problema poter trovare

per un

.

perfenssiaaeeuae-onuueerodireyuoedse-quee.co delle

consistente

asintotica

espansioni regolari SEEK

:

• moltiplica la

derivata

ESPANSIONI con

ASINTOTICHE

LE oraiueeniuore

singolari sala

:

èeae

derivata

giungere soluzione

passaggi

I alla sono maggiore

per :

Risolvere di

→ perturbazione

problema regolare tramite espansione

un

asintotica di espansione

perturbazione

2 tramite

singola

Risolvere problema

un

asintotica equazioni

• diN-scoueeuuprobeeueaasiugolapertur.ba

Risolvere le

zione .

Problema di

^ perturbazione regolare 1

{ :{ trovare

) vogliamo

BC ceco -1 appose

+ soluzione

1 una

• < <

✗

Edj-gf-ff-oeecst-osiueatauaeidaiutun-o.ee dominio per

Echeteledeao .

in

Noi

problema

ricavare

di soluzione

grado esatta di

siamo la questo

enauogeiaenoprouareaaapprossieeeareacaeuei espansione

, .

in

La tepassoeggi

procedura consiste . in

è

1) da serie

rappresentata del

La potenza

soluzione una

E

parametro iniziale

nell'

2) sostituita

viene

soluzione

Questa eq . crescenti

equazioni potenze

delle

3) E

a

ottengono di

si .

La coefficienti

restituisce

4) equazioni

soluzione di i

queste

della

delle potenze

varie serie .

è

Poichè di

scrivere soluzione

E piccolo possiamo la somma

come

di E

di

potenze

serie

una :

È Èceicz È

(a) ) )

)

) E llzcx

llitx

Cx + +

le +

no

= = .

. .

i. 0

= intorno

supponiamo sia

serie

questa convergente

che me

per della

termini

prendendo primi

di dei

alcuni

E solo serie

o

= .

inserire nell'

serie del

Si poi modello

equazione

la

va a si

iniziale potenze di

i termini E

stesse

le

raccolgono con :

e

%- %- ' %¥→

%i (

) %- )

i E 0

+

E

+ + =

- - . .

.

coefficienti

E

poichè

e verificata potenze

delle

i

deve tutti

essere

devono

di E nulli

essere . più

sistema di equazioni

quindi semplici

giunge

Si un a

a ÷ È

È

cui Bc È,

le ^

aggiunte nic 1)

vanno =L

(a)

: o

lei =

Ordine A)

→ ✗

zero no 1-

: = x2 )

G-

ordine (

1-

(a) ✗

1

→ +

il ×

: = -

già '

si approssimazione

sia

noti di

buona 0

ordine

e

come .

Potremmo equazioni eri ente

risolvere questo

le ma

come

nane ,

analizzare

di il

permetterebbe

significato

interpretare

ci

non e

dei

l' influenza termini

singoli

e .

Problema perturbazione

di singola

2 in può

ftp.yi-2uytll-otllcot-O si

E Anche caso

questo

1

D=

MI

\

trasporto ricavare una

comunque

diffusione reazione analitica

soluzione

Proviamo ad della

approccio

utilizzare

perturbazione

stesso

lo

E)

( +

regolare ll lei E

y +

no

: = .

. .

,

nell'

sostituito equazione

che porta a :

, ,

Etllsyy

E +2 O

Ella

lloy

lloyy +2 +

+

lei

E

1-

telo =

.

.

.

y

imponiamo

prima raggruppiamo le

come potenze

stesse e

uguali 0

a . piu'

Leeeqeeaziaeictneaeeedianloaerisoeuereoraieocesaeo del

quindi

200~diueenadiordiu.es dobbiamo scartare una

;

l' uousiuuleetricoèqeeeeeodovutoaetreas

unico contributo

c.

c. : quindi

clsesispostadaaestraa

perfarinueododiuaeperdereeiiieformaziaeeeae.lu

sinistra

porto -

,

, poniamo ovvero

amante a

,

destra )=è -1×2

'

Ordine

→ zero eeocy

: -1×2

etjjsèt

(1-8)/2

ordine

→ 1 )

ucy +

: e

> all'

Lasoenziaeetzouataapprossiueabene.ee flusso esterno

limite

dello strato quindi approssimare

perturbazione

possiamo

come problema

un a

?

singolare

aespaelsiouiasiutotichquuapereazaeaester.ua

Usiamo euna

poi

crederanno

perqeeeeeaiueer.ua raccordate

essere per

uaeidaintuetoiedaniuio

soluzione

trovare una .

1) perèesteruo

perturbazione regolare

usiamo la

Peraeeaeizzareèeieteruoaltuiaenoenecaenbiodi

2) variabili :

del

5=2/8

dy-i-%feqniudig-ugy-i-2ity-tsu-opermanten.ee

)

eecysiiecys etty )

mi > - ,

eieterueiuediffusciodioroiuesiuepananeocés .

limite

ciperueeltediriscaeareeospessoreoeeeostrato

Questo .

problema

il

Quindi consideriamo riscaldato

ora :

EUT-oi-fltcot-ou.TL/E)--1aucheqeeestaall l l lteuna

èlyytscty + analitica

soluzione .

come edteuiaeeo

sviluppano

prima sostituiamo raggruppiamo

e

,

soluzione completa

una ?{

.

Macnecaediziaeiaecoutoruoiuepouiaeno etto

) -0 all'

condizione interfaccia

+

i-YIEYECEKI-soc.ba

Definiamo intermedia #

coordinata

una

interna soddisfare

desolazione ed devono

esterna

civiltà "Yi nebbia

)

èeccf ) eecy ) -

- 0,1

eine ⇐ . . .

,

= EK

gy

E-solyi.cat E -30

.

sviluppato in serie

Che diventa : ]

[

] Eltilyt

Fidgit 7) +

Emily )+ .

.

-

eine . @

. . =

-0kg

E ; EK

cose

__ però

abbiamo problemi

due : )

( g-

indipendente deve

variabile y

essere una non

la e

• ↳ 8

quindi a E

sostituiamo = implicito quindi renderlo

in

ciò E modo

Ma per

dopo compare

• ,

in soluzione

espandi serie la

esplicito esterna

aereo .

Così ottiene

facendo si : ]

Etti )

( Y

fida +

] [

[ (g)

to

g- (d) +

+

tu

) .

E .

Udo - .

+ o

, .

. .

eine =

"

E

g- → ao raccordo

èldy )

→ Udo velocità

line ) di

K punto

nel

per 0 la

:

=

= 9- 00

> tendere

deve quella esterna

a

vi do G) (a)

)

(g)

→ te

K =L ( ll

eine

per =

-

, ,

-

g- ao

→ obliquo

asintoto in

interna

Ma condensare la soluzione esterna una

come e

?

soluzione unica

due hanno

Sommiamo soluzioni che

sottraiamo la parte

le e

in comune . singola

perturbazione

limite

strato problema

3 come a incomprimibile

di

equazioni di

consideriamo S fluido

N 2

le caso

nel

☐

- .

[ vy o

+

× = Ed ) indicano

pedice

i

NB

llyy

px le

Olly

una uxx +

+

- :

+ = parziali

derivate

Lei

+00g )

noi rtyy

py va

+ +

= - perturbazione

Re è

quindi

consideriamo singola

problema

→ un

e a

ao ,

poichè / moltiplica termine derivato

^ volte

il

Re a . problema

parti

Dobbiamo dividere in

quindi la risoluzione due esterno

:

interno

problema

e .

interno

Problema

> variazioni direzione

delle in

sappiamo grandezze

le

che y sono

direzione '

minori motivo

rispetto quelle in

molto × E questo

a per

.

tramite

risaltare

dobbiamo andare grandezze

che le un

a

variabili

cambiamento di ,

io { I /

g-

e E

×

= = ore

e

a- u

= =

>

→ × quindi

Le diventano

equazioni

①

tv

te o

g-

x = ②

)

Tre Tè

là etyy

Pz

un +

un g- ✗

+

=

+ - ✗

✗ ③

)

ÀY

fa rtxx Ezrtyy

/

1 1

( /

v0 Re

no +

=

+ g- +

-

× ÈODG

in di

far termine viscoso sia

Per modo che del stesso

lo

imporre

inerziale tatto

dobbiamo 1

%

quello E

f-

: > =

un

= .

è

in

diamo incognite termini

serie 0 tap

espone i

le

Ora raccogliamo

e

,

di E

potenze

con le stesse : èèla

( f)

et E) te (

5)

noce

e E

E

g- g- te + +

) +

= , , . .

, .

,

, ,

E)

te g-

e =

=

, ,

te

E E)

g- e

=

, , nell'

variabili equazione otteniamo

sostituendo 1

queste :

il rt

rtoy

to E O

E

+ 1 +

×

x + g- =

1

( tu

è g)

(

8 O

)

to Joy E

+ =

a

se

+

x Joy

è è 0

+

: =

a-

1 te

èl O

E 1 g-

: x =

,

sostituendo otteniamo

equazione

seconda

nella :

È tolto Tolto Fox etoyy

g-

+ +

=

×

: - tratto

tolta èlsyy

Pisa

è to

il alto et g- +

g-

+

+ +

se =

e -

: nell'

invece

Sostituendo 3

equazione :

è po O

g-

: =

È è O

g-

1 =

: condizioni

condizioni capire quali

> al al

contorno contare

per

:

imporre

dobbiamo bisogna rispetto

vedere volte

quante e

no a

derivate velocità

la

cosa sono .

in

ltyy 9

1

èlx in

→ 2

b.

• × e

c.

, in

te ×

in

1 y 0

bc

• e

→

g- direzione piano

al

è nella normale

p costante

• . ordine

già limite

visto fosse

avevamo che nello p

strato costante con

ordine

è

vediamo anche

2-ero che costante 1

con

ora .

, imponiamo ?

Ma condizioni

quindi che condizione di

imponiamo ing

ingresso match

all' parete una

• le a e

,

dalla

lontano parete .

imponiamo

• o parete

a

condizione Matching

di step dalla

lontano

• una parete

.

In

| - -

u-o.to

-

-

-

,

io Tty

èo , >

×

Problema

> esterno Rè in

/

andiamo espandere

andiamo

1

sostituire poi serie

E

a e a

a di variabili sostituire

effettuare Andando

bio le

alcun

senza a

come .

iniziale

nell'

serie andando

equazione stesse

raccogliere le

pietanze

a

e

otteniamo

di E :

è Eulero

equazioni di

• :

è lineare

problema

• : imporre in

condizioni

Le andremo

che questo

> saranno

a caso :

ingresso all'

aeè uscita

• le e

imposta dalla

a parete

• lontano

%

? a - -

-

-

-

- ÷

condizioni

> raccordo

di però

usiamo già ricordando

precedentemente

trovate che

quelle , nell'

te

comparirà poichè

a- NE equazioni

quindi E esterno

nelle

e

= abbiamo riscaldato

non . in g- quindi

condizioni

fatto

precedentemente vogliamo

come y

non e ,

in esplicito

poi sviluppano

sostituiamo rendere E

serie per

e .

ordini

condizioni vari

Soluzione delle ai :

° 5)

E

0 )

( CX

eine llo × 0

: no

=

, ,

g- 00

→

tofu )

0 0

=

, ) d

line p-dx.LI Pdx

= ,

☒ ao

→ impongono

condizioni

Queste che : risolta

sia

' prima

esterna

di Eulero per

equazione regione

> la

e per .

limite

ricavate ' equazione è

dello

una

> volta e strato

po

e

no

risolta : è

limite

di Ordine

pressione ad

Il nello zero

campo strato

• Eulero

equazioni

ricavato di

dalle

limite

al

stesso

lo .

intorno

pressione SL

perdiamo allo

Quindi il di

tutto campo ,

resistenza

teniamo della di pressione

ovvero non ma

conto Per basta

di di motivo

attrito non

solo quella una

questo

.

all'

Ordine

approssimazione zero

. è

limite

imposta

La della

fine dello la

alla strato

regione

• n re

di Eulero

equazioni

dalle

ricavata

esterna .

È l'

'

live ordine

1 ci

( (f)

et analizzando

g) 1

sia

(a)

no >

le ace

: -

, =

5 a ca