Aerodinamica - 4 settimana

Dinamica della vorticità

Il teorema di Kelvin (di circolazione di Kelvin)

Ipotesi:

• Effetti viscosi trascurabili (non che la viscosità è trascurabile)
• Forze di volume conservative (un campo di forze è conservativo quando il lavoro che questo campo esegue su una massa che si sposta da un punto A ad un punto B all'interno del campo di forze, non dipende dal percorso)

Se abbiamo una linea chiusa materiale (quindi formata sempre dalla stessa materia) C_m, posso riconoscere la particella anche dopo un tempo t, abbiamo una superficie concatenata, quindi definiamo la normale e quindi una direzione di percorrenza della linea chiusa.

Definiamo la circolazione calcolata sulla linea chiusa materiale:

Γ_m = ∮_Cm v · dℓ

Kelvin afferma che:

dΓ_m/dt = 0

CIOÈ CHE LA CIRCOLAZIONE DI UNA LINEA CHIUSA MATERIALE NON VARIA NEL TEMPO

Non andremo a fare la dimostrazione, ma andiamo a vedere le conseguenze di questa tesi del teorema di Kelvin:

Sappiamo dal teorema di Stokes che Γ_m = ∮_s ω ⋅ n dS = ∫_s [ω ⋅ n dS = [ω_n] S

Quindi se prendiamo una linea chiusa materiale e la osserviamo evolvere nel tempo, il flusso di vorticità medio nel tempo non varia (entro le ipotesi fatte).

Ho la permanenza del moto irrotazionale, vuol dire che se all'istante t₀ ho Γ=0, se le ipotesi sono vere, allora in tutti gli istanti successivi la circolazione sarà uguale a zero.

In maniera fisica, prendiamo un qualsiasi elemento fluido dentro al flusso che stiamo studiando:

Consideriamo le ipotesi scritte prima, quindi abbiamo solo forze assiali, quindi capiamo molto bene che se prima l'elemento non ruotava, con solo queste possibili forze, non può iniziare a ruotare (non ho forze tangenziali).

Il teorema di Helmholtz

I° teorema di Helmholtz

• Utilizza le stesse ipotesi di Kelvin: effetti viscosi trascurabili, forze di volume conservative.

La tesi dice che le linee vorticose sono linee materiali e che i tubi vorticosi sono elementi/oggetti materiali. Questo vuol dire che se ho una linea vorticosa posso individuare un elemento fluido nell'evolversi nel tempo.

Analogamente, proprio per come sono fatti i tubi vorticosi:

II teorema di Helmoltz

Questo secondo teorema non ha bisogno delle ipotesi precedenti, perché si basa su una proprietà matematica:

DIV (curl v) = 0

Enunciato:

Prendiamo un tubo vorticoso, scegliamo due sezioni, scegliamo un senso di vorticità positivo. Se calcolo la circuitazione in S₁, in ogni istante sarà uguale alla circuitazione in S₂.

Γ₁ = Γ₂

Dimostrazione:

Sappiamo che 0 = DIV (curl v) = DIV(ω).

Uso teorema divergenza e suddivido le superfici:

0 = ∫ DIV(ω) dV = ∫ ω ⋅ n dS + ∫ ω ⋅ n dS + ∫ ω ⋅ n dS

V → volume suddiviso da S₁ e S₂

Per il contributo di _S3 vediamo che:

La normale è diretta verso l'esterno, mentre ω ha direzione come il tubo, quindi formano un angolo di 90°, quindi il suo contributo è pari a zero.

→ ∫ ω • n dS + ∫ (ω • n dS) = 0

→ Γ₁ + Γ₂ = 0

Ma per Stokes ho che Γ₁ =