51 domande teoria Analisi 1

Domande Analisi I

1. Scrivere la definizione di successione convergente e di limite per una successione.
2. Scrivere la definizione di successione convergente, divergente ed irregolare.
3. Scrivere la definizione di successione limitata. Dimostrare che se una successione è convergente allora essa è anche limitata. Dire se è vero il contrario.
4. Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per successioni.
5. Scrivere la definizione di massimo, minimo e massimo. Enunciare e dimostrare il teorema sull'unicità della successione monotona.
6. Enunciare il teorema del confronto per successioni.
7. Enunciare il teorema sull'algebra dei limiti per successioni in R ∪ {±∞} (algebra degli infiniti). Fare esempi di forme indeterminate.
8. Enunciare il criterio del rapporto per successioni positive.
9. Enunciare il principio di induzione.
10. Scrivere la definizione di maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore per una sottoinsieme i numeri reali.
11. Scrivere la definizione di estremo superiore, estremo inferiore per una sottoinsieme i numeri reali.
12. Scrivere le definizioni di immagine e controimmagine di una funzione.
13. Scrivere le definizioni di funzione suriettiva e funzione biiettiva. Scrivere la definizione di funzione inversa. Data grafiche di una funzione invertibile, dire come si disegna il grafico della sua inversa.
14. Scrivere la definizione di funzione limitata, monotona, simmetrica e periodica. Disegnare grafici per ogni tipo di funzione.
15. Enunciare il prodotto e composizione di funzioni.
16. Dimostrare che la stretta monotonia implica l'invertibilità di una funzione.
17. Enunciare teorema sull'algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma del prodotto.
18. Enunciare e mostrare il Teorema della permanenza del segno per successioni.
19. Scrivere la definizione di funzione continua su un intervallo ed enunciare il Teorema di Weierstrass. Fare varie osservazioni controesempi, che tre ipotesi sono tutte essenziali.
20. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.
21. Scrivere le definizioni di asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
22. Enunciare il teorema sulla continuità della funzione inversa.
23. Scrivere la definizione di funzione derivabile in un punto, spiegare il significato geometrico della derivata. Scrivere la definizione di funzione continua e derivabile in un punto. Enunciare e mostrare la relazione fra continuità e derivabilità.
24. Scrivere la definizione di derivata destra e sinistra.

DOMANDE ANALISI I

1. Scrivere la definizione di successione convergente e di limite per una successione.
2. Scrivere la definizione di successione convergente, divergente ed irregolare.
3. Scrivere la definizione di successione limitata. Dimostrare che se una successione è convergente allora essa è anche limitata. Dire il teorema contrario.
4. Enunciare e dimostrare teorema del confronto e criterio del limite per successioni.
5. Scrivere la definizione di succo massimo e minore massimo. Enunciare e dimostrare il teorema sul limite della successione monotona.
6. Enunciare il teorema del confronto per successioni.
7. Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni in _R ∪ {±∞} (algebra degli infiniti). Far esempi di forme indeterminate.
8. Enunciare il criterio del rapporto per successioni positive.
9. Enunciare principio di induzione.
10. Scrivere la definizione di maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore per una sottosuccessione di numeri reali.
11. Scrivere la definizione di estremo superiore, estremo inferiore per una sottosuccessione di numeri reali.
12. Scrivere la definizione di immagine e controimmagine di una funzione.
13. Scrivere la definizione di sottomodulo, suriettività e biiettività. Scrivere la definizione di funzione inversa. Data graficamente una funzione invertibile, dire come si disegna il grafico della sua inversa.
14. Scrivere la definizione di funzione limitata, monotona, simmetrica e periodica. Disegnare grafica per ogni tipo di funzione.
15. Enunciare il prodotto e composizione di funzioni.
16. Dimostrare che la stretta monotonia implica l'invertibilità di una funzione.
17. Enunciare teorema sull’algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma del prodotto.
18. Enunciare e dimostrare teorema della permanenza del segno per successioni.
19. Scrivere la definizione di funzione continua su un intervallo ed enunciare il Teorema di Weierstrass. Far vedere osservazioni, controesempi, che tre ipotesi non possono essere eliminate.
20. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.
21. Scrivere la definizione di asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
22. Enunciare il teorema sulla continuità d