51 domande teoria Analisi 1

Domande Analisi I

1. Scrivere la definizione di successione convergente e di limite per una successione.
2. Scrivere la definizione di successione convergente, divergente ed irregolare.
3. Scrivere la definizione di successione limitata. Dimostrare che se una successione è convergente allora è anche limitata. Dire se è vero il contrario.
4. Enunciare e dimostrare il teorema del calcolo dei limiti per successioni.
5. Scrivere la definizione di successione monotona. Enunciare e dimostrare il teorema sul limite delle successioni monotone.
6. Enunciare il teorema del confronto per successioni.
7. Enunciare il teorema sull'algebra dei limiti per successioni in R U {±∞} (algebra degli infiniti). Fare esempi di forme indeterminate.
8. Enunciare il criterio del rapporto per successioni positive.
9. Enunciare il principio di induzione.
10. Scrivere la definizione di maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore per una sottosuccessione a numeri reali.
11. Scrivere la definizione di estremo superiore, estremo inferiore per una sottosuccessione a numeri reali.
12. Scrivere la definizione di immagine e controimmagine di una funzione.
13. Scrivere la definizione di funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva. Scrivere la definizione di funzione inversa. Data una funzione invertibile, dire come si disegna il grafico della sua inversa.
14. Scrivere la definizione di funzione limitata, monotona, simmetrica e periodica. Disegnare grafici per ogni tipo di funzione.
15. Enunciare il prodotto e composizione di funzioni.
16. Dimostrare che la stretta monotonia implica l'invertibilità di una funzione.
17. Enunciare il teorema sull'algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma e del prodotto.
18. Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno per successioni.
19. Scrivere la definizione di funzione continua ed il suo inerenzia ed enunciare il Teorema di Weierstrass. Fare esempi, osservare controesempi, che le tre ipotesi sono tutte essenziali.
20. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.
21. Scrivere la definizione di asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
22. Enunciare il teorema sulla continuità della funzione inversa.
23. Scrivere la definizione di funzione derivabile in un punto, spiegare il significato geometrico se derivata.
24. Scrivere la definizione di funzione continua e derivabile in un punto. Enunciare e dimostrare la relazione fra continuità e derivabilità.
25. Scrivere la definizione di derivata destra e sinistra.

1. Enunciare il teorema sull'algebra delle derivate e dimostrare la regola di Leibniz.
2. Enunciare e dimostrare il teorema di derivazione della funzione composta.
3. Scrivere la definizione di punto di massimo e minimo relativo e la definizione di punto critico.
4. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.
5. Enunciare e dimostrare i teoremi di Lagrange e del valor medio.
6. Caratterizzare le funzioni costanti su un intervallo I.
7. Enunciare e dimostrare il teorema dei due carabinieri (o del confronto).
8. Enunciare il teorema di De l'Hôpital.
9. Enunciare la formula di Taylor di ordine n, con resto nella forma di Peano o di Lagrange.
10. Scrivere la definizione di primitiva. Dimostrare che due primitive definite su un intervallo differiscono al più per una costante.
11. Enunciare e motivare la regola di integrazione per parti.
12. Enunciare e motivare la regola di integrazione per sostituzione.
13. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.
14. Scrivere la definizione di funzione integrale su (a,b) e dimostrare che F'(x)=f(x) ovunque continuo in (a,b).
15. Scrivere la definizione di funzione integrale. Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
16. Enunciare e dimostrare il corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale.
17. Scrivere la definizione di serie convergente, divergente, irregolare.
18. Definire le serie telescopiche e discuterne le proprietà di convergenza.
19. Scrivere la definizione di serie geometrica. Enunciare e dimostrare quando converge/diverge l'integrale.
20. Enunciare e dimostrare la proprietà fondamentale della serie a termini non negativi.
21. Scrivere la definizione di serie armonica e di serie armonica generalizzata.
22. Enunciare la condizione necessaria per la convergenza delle serie: Tale condizione è sufficiente?
23. Enunciare e dimostrare il criterio delle radici.
24. Enunciare e dimostrare il criterio del confronto o del confronto asintotico per le serie a termini positivi.
25. Serie a termini di segno variabile: definizione di convergenza assoluta.
26. Definire la serie a termini a segno alterno. Enunciare il criterio di Leibnitz.

9 Principio di induzione

Il principio di induzione può essere applicato per teoremi con la struttura: per ogni n ∈ ℕ, n ≥ m₀ vale la proprietà P(n), m₀ è il più piccolo intero per cui si vuole che la proprietà sia vera.

1. Mostra che P(m₀) è vera.
2. Per n generico, mostra che P(n) → P(n+1).

Allora P(n) è vera per tutti gli n ∈ ℕ.

10 Maggioranti minoranti, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore

Y ⊆ ℝ un sottoinsieme dei numeri reali.

• 𝕐 ⊆ ℝ si dice maggiorante di Y se ∀ x ∈ Y risulta y ≥ x.
• 𝕐 ⊆ ℝ si dice minorante di Y se ∀ x ∈ Y risulta y ≤ x.
• x ∈ Y &se; x ≥ y ∀ y ∈ Y x è massimo di Y.
• x ∈ Y &se; x ≤ y ∀ y ∈ Y x è minimo di Y.
• inf Y (estremo inferiore di Y) è il massimo dei minoranti di Y.
• sup Y (estremo superiore di Y) è il minimo dei maggioranti di Y.

11 Estremo superiore e inferiore, proprietà caratteristica

Y ⊆ ℝ un sottoinsieme dei numeri reali.

• inf Y (estremo inferiore di Y) è il massimo dei minoranti di Y.
• sup Y (estremo superiore di Y) è il minimo dei maggioranti di Y.

12 Immagine e controimmagine di una funzione

L'immagine di una funzione è l'insieme dei valori assunti dalla funzione sul proprio dominio, ed è quindi contenuta nel codominio.

F: A → B f(a) = b ∈ l'immagine di a attraverso f.

La controimmagine di una funzione è dell'insieme C è l'insieme degli elementi a del dominio A la cui immagine appartiene a C.

• F: A → B dom F = A codom F = B
• F^-1(C) = {a ∈ A t.c. f(a) ∈ C}

23 FUNZIONE DERIVABILE IN UN PUNTO: SIGNIFICATO GEOMETRICO

• Sia f: (a, b) → ℝ, f è detta derivabile in x₀ ∈ (a, b) se esiste finito:
  1. lim_h→0 [(f(x₀ + h) - f(x₀))/h]
• Il significato geometrico della derivata, a un punto, mette in relazione il grafico della detta funzione e la retta tangente. Si può quindi considerare la derivata ha il significato geometrico di coefficiente angolare, di pendenza della tangente.

24 DEFINIZIONE FUNZIONE CONTINUA E DERIVABILE IN UN PUNTO RELAZIONE TRA CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ

• Sia f: I → ℝ (intervallo) e x₀ ∈ I, si dice che f è continua in x₀ se esiste:
  1. lim_x→x0 f(x) = f(c)
• Sia f: I→ℝ (intervallo) e x₀ ∈ I e f è detta derivabile in x₀ se esiste finito:
  1. lim_h→0 [(f(x₀ + h) - f(x₀))/h] = f′(x₀)
• Se f è derivabile in x₀, allora per f continua in x₀.
• Dimostrazione:
• Vogliamo dimostrare che una funzione f(x) derivabile in x₀ è continua in x₀ cioè:
  1. lim_h→0 [(f(x₀ + h) - f(x₀) + f(x₀))] = f(x₀) che può essere riscritta nella seguente forma:

Consideriamo separatamente per ∈ ℝ₊ lim_h→0⁺ [f(x₀ + h)] = lim_h→0⁺ [(f(x₀) + h^-1(f(x₀ + h) - f(x₀)))] che è , possiamo col limite per h → 0⁺ estrapolare i membri: lim_h→0⁺ ×lim_h→0⁺.

Nel limite per h → 0⁺: lim_h→0⁺ h^-1(f(x₀ + h) - f(x₀)) = K (costante) mostra l'altro esempio scritto in ricordo: lim_h→0⁺ lim limitato.

Essendo la funzione derivabile in x₀ esistono infatti limiti destro e sinistra del rapporto incrementale e coincide con qui

25 DERIVATA DESTRA E SINISTRA, PUNTO ANGOLO, CUSPIDE, FLESSO A TANGENTE VERTICALE

• Derivata destra: nel punto x₀ limite del rapporto incrementale calcolato da destra:
  1. f′(x₀) = lim_h→0⁺ [(f(x₀ + h) - f(x₀))/h]
• Derivata sinistra: nel punto x₀ limite del rapporto incrementale calcolato da sinistra:
  1. f′(x₀) = lim_h→0^- [(f(x₀ + h) - f(x₀))/h]
• Punto angoloso
• Cuspide
• Flesso a tangente verticale

26 ALGEBRA DELLE DERIVATE REGOLA DI LEIBNIZ (DERIVAZIONE DEL PRODOTTO)

• Siano f: (a, b) → ℝ, f derivabile (a, b), allora , sono derivabili (a, b), le valesse regole: , , , .