3 Equazioni e radici di un polinomio in C

F ₁ finita libera del polinomio a

Def.: p(x) = ( x - 4 ) ( x ² + x + 4 )

Ricerche: 1

• Sia p(x) il polinomio: def. p(x) ∈ ℝ ₁₀ [ X ]

Metafora:

Es.: p(x) = x ⁴ + 3 p(x) ∈ ℝ ₁₀ [ X ]

Es.: p(x) = 12x ⁴ - 2x ⁴ p(x) ∈ ℝ ₅ [ X ]

In generale, p(x) ∈ ℝ _x allora si può scrivere p(x) = a _n x ⁿ + ... + a ₁ x + a ₀ dove a _n , ..., a ₁ , a ₀ ∈ ℝ sono i coefficienti.

Esempio: p(x) = 3 - 2x ³ + 4x ² - 5 ∈ ℝ ₂ [ X ]

Def.: x ₀ è radice di p(x) ↔ p(x ₀ ) = 0

Esempio: x = 1 radice ⇔ p(3) = 3 – 3x = 0

Def.: m molteplicità: m ∈ ℕ il numero intero massimo per cui (x - x ₀ ) ^m

In parole: "questa volta x₀ è radice di P(x)"

Esempi:

ES: P(x) = x² - 20x + 25

(x - 5)²

x = 5, 1 soluzione con moltiplicità 2

ES: P(x) = x² + (x - 2)(x + 2)

P(x) = x² + 2x + 3

P(x) = 12 + x² - 2x + x

g = 0, a₁ = 12, a₂ = -2

x₀ radice con moltiplicità 2

Una radice è una soluzione all'equazione P(x) = 0

ES: P(x) = x² - 4

Equazione associata: x² - 4 = 0

✓ Polinomio x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

x = ±2, radici del polinomio

Divisori tra polinomi: Regola di Ruffini

Formula risolutiva per equazioni di II grado

Principio di identità per i polinomi

Equazioni algebriche in C

P(x) = 0

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0

Esiste in C?

Si possono calcolare radici in C

Si possono definire polinomi con coefficienti complessi

ES: P(x) = i² + x

Coefficiente sono elementi in C

Definire C_n[x] dell'insieme dei polinomi:

con coefficiente, elemento di C

In C_n[x] si può scrivere in generale

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ C

ES: P(x) = x - 2i, z² + (3 - i)

a₀ = 3±1, a₂ = -2i, a₃ = 1

Esiste un teorema che garantisce l'esistenza?

Coniugati

Δ = (-1) |Δ|

√Δ = √(-1) √|Δ| = i √|Δ|

x_1,2 = ^{-b ± √Δ}/_2a

Infatti:

x₁ = ^-b/_2a, ^√Δ/_2a

"Oggi è San Curio" - "Ma c'è veramente?" - "Curio!"

Es: Detto p(x) ∈ ℜ, [x]

Se n = 2

Se z₁ = a ± ib con a, b ∈ ℜ b ≠ 0

p(z₁) = 0 cioè radice

⇒ z₂ = &bar;z₂ = a - ib radice

Ovvero: occorrono "solo" di sdronei complessi ®, p(x) si può descrivere in una scrittura

Conseguenza Fondamentale del T.F.A.

∀p(x) ∈ ℂ_n[x] : p(x) = a_nzⁿ + ... + a₀, con a_n ≠ 0

Siano z_o, ... z_i le due ni radice di: p(a) con degn = n esinuale

ciascuna con le sue rispettive molteplicità m_i

Allora p(x) si può decomporre in ℂ come segue:

p(x) = a_n (x-z_o)^m_o(z-z₁)^m₁ ... (z-z_i)^m_i .

Esista

p(x): in tutti i polinomi si possono decomporre nel primo T.Ipo

E: potenza dei polinomi: guarda 1, altrimenti assumono alle rispettive molteplicità

Es:

p(x): 5x⁴ - (10+20)i[3 - (20-30)i]² + 30 i2 + 30 = (5)+(10)

Calcoliamo le radici di: p(a, b)

Per primo decomporlo

= 5[(z¹ + (2+4)i)² - (4-<6)i)² + 6(z+(4+2)i)]

1. p(i) [5(4-(2+4)i) - (4−6)i + 6 (1+i)] = 0
2. = p(i) [5(4-(2+4)i)(6−i) - (4−6)i) + 3 (1+2i)] = 0

(z⁴ + (7+4)i)² − (4−6)i² + 6z = (4+2i)

1. (z - 2i)₁
2. (4-i)⊃6, (5+2i)(4+2i)i

(z) = 5 [(3³ + (-7+i)(5+2i)] + [(4+2i)] = (z-4)

p(x)=5[(z⁴ +(7+4)i)⊃2−(4−6)i²+6z = (4+2i)]

1. x = 1

1 | 4   -4  -1   -5+2i    4+2i

    (4-4i) (-5 + 2i)  (4 +2i)

_________________________________________________

p(x) = 5[ z³ + (-1+i)i² − (5+2i) × (4+2i) ]

 (z² +  (2i)  )

z³ + (-1+i) z² - (5+2i) z

|z_k| = √|w| √2

θ_k = θ_w + k ^2π/_n = ^π/₄ + k ^2π/₃

0 ≤ k ≤ 2

z₀ = √2 e^{i π/₄}

z₁ = √2 e^{i 11π/₁₂}

z₂ = √2 e^{i 19π/₁₂}

(grafico)

oss 1: Un metodo efficace ed efficiente per rappresentare tutte le soluzioni di zⁿ = w è quello di:

• Rappresentare w e Arg(w) → rappresentano quantità
• Calcolare r_k = √|w|
• Calcolare θ₀ = θ_k = ^π/₄ − rappresentano quantità invariate
• Rappresentare z_k come una rotazione di z₀ di un angolo 2π

ES: 4z⁵ − 24 = 0

Possiamo visualizzarla immediatamente

z⁵ = ²⁴/₄ = 6 = 6⋅e^iπ

(...) θ_w = π/5

θ₀ = π/5

Δθ = ^2π/₅

Casi particolari:

z² + z(−2 − i) + 4 + i = 0

z_1,2 = 2 + i ± √((−2+i)²−6⁻ⁱ)

= −i √6