3 compiti di Analisi 2 svolti passo passo 2019 della Faraci

1.

Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

1. Dare la definizione di forma differenziale esatta.
2. Dare la definizione di curva rettificabile.

2.

Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

1. Sia {f_n(x)}_n=1^∞ una serie di funzioni convergente totalmente in un insieme A ⊆ R. È vero che ∑_n=1^∞ f_n(x) è convergente uniformemente in A? Giustificare la risposta. È vero il viceversa? Giustificare la risposta.
2. Enunciare e dimostrare il teorema del moltiplicatore di Lagrange.

3.

Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

1. Calcolare                                                         (xy/(x²+y²)) dxdy                           (D ⊂ (x, y) ∈ R²: x² + y² ≤ 16, x² + y² + 2x - 2y ≥ 0, -x ≤ y ≤ -√ 3x)
2. Risolvere il problema di Cauchy { xy' = 2y - 3xy²y(1) = 2

4.

Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

1. Data la funzione definita dalla legge f(x, y) = x⁴ - 4x²y + y²,
1. determinarne gli eventuali estremi relativi in R²;
2. stabilire se la funzione è limitata in R²;
3. calcolare, se esiste, il                           lim_(x,y)→∞ f(x, y).
2. Calcolare                                  (3y²/(x²+y²)) dx - (2xy/(x²+y²)) dy                  essendo γ la curva che ha come sostegno l'arco di parabola y = -x² + 1 di estremi A = (1, 0) e B = (-1, 0) percorsa nel verso che va da A a B.

ES 1

- CURVA RETTIFICABILE

Data una curva F definita in [a,b] e valori in R^m F è rettificabile se qualunque P partizione di [a,b] tale che t₀=a < t₁<t₂<...<t_n,

l'estremo superiore della lunghezza delle

poligonale avente per estremi i punti ti,

con ti ∈ {1,2,...,n} è finito e non nullo.

Al variare della decomposizione di [a,b],

l(π) assume un estremo numerico

{l(π), π poligonale inscritta in F}

l(π)=∑_i=1^N d (P_i-1, P_i) e

Se tale insieme numerico è limitato superiore,

diciamo che F è rettificabile, e

l(F) =_def sup {l(π,F)}

No 3 dominio corretto

Problema Cauchy

2x⁴y^-2 = 2y - 3xy²

y(x)₂ = 2

xŷ = 2y - 3xy²

y₁ = ²⁄_xy - 3y²

a(x) = ²⁄_x

b(x) = -3

d = 2

^ŷ⁄_y² = ²⁄_xy^-1 - 3

z(x) = y^-1

z₁(x) = -ŷy^-2

-z^-1 = ²⁄_x2ø-3 => z¹ = ^-2⁄_xz + 3

z¹ + ²⁄_xz = 3

z¹ + a(x)z = b(x)

a(x) = +²⁄_x

b(x) = ±3

1. Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

• Dare la definizione di funzione differenziabile in un punto.
• Dare la definizione di funzione sviluppabile in serie di Taylor.

2. Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

• Relazioni tra forme differenziali esatte e forme differenziali chiuse.
• Sia ∑_n=0^+∞a_n(x - x₀)ⁿ una serie di potenze con raggio di convergenza re sia f(x) la sua funzione somma. Quale relazione intercorre tra af⁽ⁿ⁾(x₀)? Giustificare la risposta.

3. Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

• Calcolare

∫∫∫_D ¹⁄_{x² + y² + 1} dx dy dz

essendoD = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x² + y² + z ≤ 1, z ≥ 0}.

• Data la funzione funzione definita dalla legge f(x, y, z) = x² + y² + z² - xdeterminarne gli estremi relativi e assoluti, se esistono, nell'insiemeD = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x² + y² + z² ≤ 1}.

4. Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

• Data la forma differenzialeω(x, y) = x⁄2 log(x² + y²) dx - y log(x² + y²) dycalcolare

∫_∂D+ ω

essendo

D = {(x, y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 16, x² + y² - 2x - 2y ≥ 0, ^√3⁄₃ x ≤ y ≤ x}.

• Determinare l'integrale generale dell'equazione differenzialey'' + 2y' + 2y = e^kx sin xal variare del parametro reale k.

ESERCIZIO 2

PARTE 2

Se la serie di potenze

∑_m=0^+∞ a_m(x-x₀)^m

ha raggio di convergenza ρ>0, e la sua somma

f(x) è infinitamente derivabile per |x-x₀| < ρ,

è per ogni m ∈ ℕ, la derivata di ordine m vale

f^(m)(x) = ∑_k=m^+∞ k(k-1)...(k-m+1) a_k (x-x₀)^k-m

Infatti per il teorema di derivazione della serie

di potenze, se

f(x) = ∑_k=0^+∞ a_kx^k ∀|x| < ρ, ρ>0

allora f è derivabile e risulta

f'(x) = ∑_k=1^+∞ k a_k x^k-1 ∀|x| < ρ

Ponendo x = x₀, risulta

f^(m)(x₀) = m! a_m ∀ m ∈ ℕ

Sostituendo a_k = f^(k)(x₀) / k! si ha

f(x) = ∑_k=0^+∞ f^(k)(x₀) / k! (x-x₀)^k

f(Θ, φ) = s - sin Θ cos φ

φ ∈ [0, 2π]

Θ ∈ [0, π]

rettangolo chiuso.

f_Θ(Θ, φ) = -cos Θ cos φ

f_φ(Θ, φ) = +cos sin Θ sin φ

• cos Θ cos φ = 0
• sin Θ sin φ = 0

Θ = 0

Θ = π/2

φ = π/2

φ = 0

f_ΘΘ = sin Θ cos φ

f_Θφ = +cos Θ sin φ

f_φΘ = cos Θ sin φ

f_φφ = cos φ sin Θ

H(Θ, φ) = (sin Θ cos φ)² - (cos Θ sin φ)²

= sin²Θ cos²φ - cos²φ sin²φ