3 compiti di Analisi 2 svolti passo passo 2019 della Faraci

1. Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

1. Dare la definizione di forma differenziale esatta.
2. Dare la definizione di curva rettificabile.

2. Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

1. Sia \( \textstyle \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x) \) una serie di funzioni convergente totalmente in un insieme \( A \subseteq \mathbb{R} \). È vero che \( \textstyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \) è convergente uniformemente in \( A \)? Giustificare la risposta. È vero il viceversa? Giustificare la risposta.
2. Enunciare e dimostrare il teorema del moltiplicatore di Lagrange.

3. Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

1. Calcolare \[ \int\int_D \frac{xy}{x^2+y^2} \, dx \, dy \] essendo \[ D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 16, \quad x^2 + y^2 + 2x - 2y \geq 0, \quad -x \leq y \leq -\sqrt{3}x\}. \]
2. Risolvere il problema di Cauchy \[ \begin{cases} xy' = 2y - 3xy^2 \\ y(1) = 2 \end{cases} \]

4. Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

1. Data la funzione definita dalla legge \[ f(x,y) = x^4 - 4x^2y + y^2, \]
   1. determinarne gli eventuali estremi relativi in \( \mathbb{R}^2\);
   2. stabilirne se la funzione è limitata in \( \mathbb{R}^2\);
   3. calcolare, se esiste, il \[ \lim_{(x,y) \to \infty} f(x,y). \]
2. Calcolare \[ \int_\gamma \frac{y^2}{x^2+y^2}dx - \frac{2xy}{x^2+y^2}dy \] essendo \(\gamma\) la curva che ha come sostegno l'arco di parabola \( y = -x^2+1 \) di estremi \( A = (1,0) \) e \( B = (-1,0) \), percorsa nel verso che va da \( A \) a \( B \).

1. Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

1. Dare la definizione di forma differenziale esatta.
2. Dare la definizione di curva rettificabile.

2. Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

1. Sia _n=1^+∞ f_n(x) una serie di funzioni convergente totalmente in un insieme A ⊂ R. È vero che _n=0^+∞ f_n(x) è convergente uniformemente in A? Giustificare la risposta. È vero il viceversa? Giustificare la risposta.
2. Enunciare e dimostrare il teorema del moltiplicatore di Lagrange.

3. Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

1. Calcolare ∬_D ^xy/_{x² + y²} dxdy essendo D = {(x,y) ∈ R² : x² + y² ≤ 16, x² + y² + 2x − 2y ≥ 0, −x ≤ y ≤ −√3x}.
2. Risolvere il problema di Cauchy {x^'y' = 2y − 3xy² y(1) = 2

4. Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

1. Data la funzione definita dalla legge f(x, y) = x⁴ − 4x²y + y², i) determinarne gli eventuali estremi relativi in R²; ii) stabilire se la funzione è limitata in R²; iii) calcolare, se esiste, il lim_(x,y)→∞ f(x,y).
2. Calcolare ∫_γ ^y²/_{x² + y²} dx − ^2xy/_{x² + y²} dy essendo γ la curva che ha come sostegno l'arco di parabola y = −x² + 1 di estremi A = (1, 0) e B = (−1, 0) percorso nel verso che va da A a B.

ES 1

- CURVA RETTIFICABILE

Data una curva F definita su [a,b] e valori in ℝ^m, F è rettificabile se qualunque P partizione di [a,b] tale che t₀ = a < t₁ < t₂ < ... < t_n, l'estremo superiore della lunghezza delle poligonali aventi per estremi i punti t_i, con t_i ∈ {1,2,...,n} è finito e non nullo.

Se variore delle decomposizioni di [a,b], l(π,F) denota un insieme numerico

{ l(π,F), π poligonale inscritta in F }

l(π) = _i=1Σ^N d(P_i-1, P_i).

Se tale insieme numerico è limitato superiore, diremo che F è rettificabile, e

l(F) = sup { l(π,F) }

PORTA DIFF. ESATTA

Sia

W: D ➔ (ℝⁿ)^*

X ∈ D ➔ W(X) ∈ (ℝ^N)^*

Indichiamo con a₁(X), a₂(X) ... a_N(X) i coefficienti di W(X) rispetto alle basi {dx₁, ... dx_N}

W(X) = a₁(X) dx₁ + a₂(X) dx₂ + ... + a_N(X) dx_N

Sia D ⊆ ℝ² aperto

W : D ➔ ℝ² forma differenziabile

W(X₁, X₂) = a(X₁, X₂) dx + b(X₁, X₂) dy

Diciamo che W è esatta in D se

∃ F: D ➔ ℝ dotato di derivate parziali prime in D tali che

F_x(X₁, X₂) = a(X₁, X₂) ∀ (X₁, X₂) ∈ D

F_y(X₁, X₂) = b(X₁, X