Esercitazioni 2 e 3 svolte

ESERCITAZIONE

LIMITI DI SUCCESSIONI

ES. 1

Si consideri l'insieme A = { ⁿ⁄_n+1, n = 1, 2, 3, ... }

Dimostrare che sup A = 1 sfruttando la monotonia delle successione {a_n}, con a_n = ⁿ⁄_n+1

SVOLGIMENTO:

A = { ¹⁄₂, ²⁄₃, ³⁄₄, ... }

Vogliamo dimostrare che {a_n} è monotona crescente, ossia che ∀n > 1 a_n ≤ a_n+1, ⁿ⁄_n+1 ≤ ⁿ⁺¹⁄_(n+1)+1

⇔ n(n+2) < (n+1)² ⇔ n + 2n < n² + 2n + 1 ⇔

0 < 1 ∀ n

Quindi sup A = sup {a_n} = lim a_n = lim ⁿ⁄_n+1 = lim ^n+1-1⁄_n+1

= lim ⁿ⁺¹⁄_n+1 = 1

(TEORIA SOTTOESA) → TEOREMA: Se {a_n} allora sup {a_n} = lim a_n

(PER CASA)

ES. 2

Si consideri l'insieme B = { ⁿ⁺¹⁄_n, n = 1, 2, ... }

Dimostrare che inf B = 1 sfruttando la monotonia delle successione {b_n}, con b_n = ⁿ⁺¹⁄_n

ES. 3

Calcolare i seguenti limiti di successioni:

1. ^A lim (2n²) / (n² + 1) _n→+∞
2. ^B lim (√(n² + n) - √(n² - 1)) _n→+∞
3. ^C lim (sin(n)) / (n²) _n→+∞
4. ^D lim (3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ) / (5ⁿ) _n→+∞
5. ^E lim (√(n+1) - √n) _n→+∞
6. ^F lim (log(eⁿ)) / (4n) _n→+∞
7. ^G lim (eⁿ - e⁻ⁿ) / (eⁿ + e⁻ⁿ) _n→+∞

A) lim (2n²) / (n² + 1) = +∞ / +∞ → FORMA IND.

Cerchiamo di riscriverci la successione in un altro modo

= lim 2 / (1 + 1/n²) = 2 _n→+∞

B) lim (√(n²+n) - √(n²-1)) = +∞ - ∞ → FORMA IND.

QUANDO SI HA UNA SITUAZIONE DEL GENERE CON I RADICI, DI SOLITO SI MOLTIPLICA X 1

= lim (√(n²+n) - √(n²-1)) = n√(n² + n) + √(n² - 1) / (n² + n) + √(n² - 1) [SFRUTTO (a+b)(a-b) = a² - b²]

= lim (n² + n - (n² - 1)) / √(n²+n) + √(n²-1) = lim n+1 /√(n²+n) + √(n²-1) = ∞ _n→+∞ ^{ANCORA FORMA IND.}

= lim n (1 / √(n²+n) + √(n²-1)) → SECONDO "PEZZO" (RISOLTO, RISOLVIAMO IL PRIMO PEZZO)

= n / √(n²+n) + √((1/n²) - (1/n²)) = n(1 + 1/n) / n√1 - 1/n²

√1 + 1/n + √1 - 1/n² = QUINDI

IL PRIMO PEZZO TENDE A 1√2 IL SOLUZIONE DI TUTTO

IL SECONDO PEZZO TENDE A 0, IL LIMITE = 1/2

ES. 1

Mostrare che se {a_n} e {b_n} sono successioni:

• a_n → 0, b_n → 0, e a_n ≈ b_n, allora sin a_n ≈ sin b_n

Essendo successioni infinitesime, vale che:

1. sin a_n ≈ a_n e sin b_n ≈ b_n

• lim_{n → +∞} sin a_n/a_n = 1 ; lim_{n → +∞} sin b_n/b_n = 1

2. lim_{n → +∞} a_n/b_n = 1

Vogliamo provare che lim_{n → +∞} sin a_n/sin b_n = 1

• lim_{n → +∞} sin a_n/sin b_n = lim_{n → +∞} a_n/b_n = 1

Dunque sin a_n ≈ sin b_n

ES. 2

Calcolare limiti di successioni

• (A) lim_{n → +∞} (sin(1/n) - tan(1/n))/(1 - cos(1/n))²
• (B) lim_{n → +∞} (3n/n³) (3n - 1)^6n-2
• (C) lim_{n → +∞} n³log2(1 + 1/4n³)
• (D) lim_{n → +∞} n²cos(1/n²)

SVOLGIMENTO

• (A) lim_{n → +∞} (sin(1/n) - tan(1/n))/(1 - cos(1/n))²
• = lim_{n → +∞} sin(1/n)/cos(1/n)(1 - cos(1/n))
• = lim_{n → +∞} sin(1/n)(1 - cos(1/n))/(1 - cos(1/n))²
• = lim_{n → +∞} sin(1/n) (cos(1/n) - cos(1/n))/(1 - cos(1/n))²
• = lim_{n → +∞} -tan(1/n)(cos(1/n) - 1)/(1 - cos(1/n))²
• = lim_{n → +∞} -tan(1/n)/(1 - cos(1/n))²
• = lim_{n → +∞} 1/(n²/2)
• = lim_{n → +∞} (-2n) = -∞

Nel caso delle funzioni:

1. _x→0 ^lim (sin x / x) = 1

   ⇨ sin x ∿ x per |x| piccolo (|x| << 1)

⚠ CI SONO SITUAZIONI IN PIÙ RISPETTO ALLE SUCCESSIONI:

e.g. _x→2 ^lim (sin(x-2) / x-2) ⇨ IN QUESTO CASO È POSSIBILE APPLICARE IL LIMITE NOTEV. PERCHÉ L'ARGOMENTO TENDE A 0 PER x→2

Quindi bisogna controllare se l'argomento tende a 0