Esercitazioni 2 e 3 svolte

Esercitazione

Limiti di successioni

ES. 1

Sia consideri l'insieme A = { n/n+1 , n = 1, 2, 3, ... }

Dimostrare che sup A = 1 sfruttando la monotonia della successione {3a_n} con a_n = n/n+1

Svolgimento:

A = { 1/2, 2/3, 3/4, ... } Vogliamo dimostrare che {a_n} è monotona crescente, ossia che ∀n > 1 a_n ≤ a_n+1

n/n+1 < n+1/(n+1)+1 ↔ n(n+2) < (n+1)² ↔ n² + 2n < n² + 2n + 1 ↔

0 < 1 ∀n

Quindi sup A = sup {a_n} = lim a_n = lim n/n+1 = lim n+1-1/n+1 = lim n+1/n+1

= lim n→+∞ (n+1)/n+1 = lim 1 + 1/n(+1) = 1

Teoria (sostesa) → Teorema: Se {a_n} allora sup {a_n} = lim n→+∞ a_n

analogamente, se {b_n} allora inf {b_n} = lim n→+∞ b_n

(Per casa)

ES. 2

Sia consideri l'insieme B = { n+1/n , n = 1, 2, ... }

Dimostrare che inf B = 1 sfruttando la monotonia della successione {b_n}, con b_n = n+1/n

ESERCITAZIONE

LIMITI DI SUCCESSIONI

ES. 1

Si consideri l'insieme A = { ⁿ/_n+1, n = 1, 2, 3, ... }

Dimostrare che sup A = 1 sfruttando la monotonia della successione {a_n} con a_n = ⁿ/_n+1

SVOLGIMENTO:

A = { ¹/₂, ²/₃, ³/₄, ... }

Vogliamo dimostrare che {a_n} è monotona crescente, ossia che ∀ n > 1 a_n ≤ a_n+1, ⁿ/_n+1 ≤ ⁿ⁺¹/_(n+1)+1

⟺ ⁿ/_n+1 < ⁿ⁺¹/_n+2 ⟺ n(n+2) < (n+1)²

⟺ n² + 2n < n² + 2n + 1 ⟺ 0 < 1 ∀ n

Quindi sup A = sup {a_n} = lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ ⁿ/_n+1 = lim_n→+∞ ^n+1-1/_n+1 = lim_n→+∞ ⁿ⁺¹/_n+1 - ¹/_n+1 = 1

SUCCESSIONE MONOTONA

SUCCESSIONE MONOTONA CRESCENTE

(TEORIA SOTTOESA) ⟹ TEOREMA: Se {a_n} allora sup {a_n} = lim_n→+∞ a_n analogamente, se {b_n} ⟹ allora inf {b_n} = lim_n→+∞ b_n

(PER CASA)

ES. 2

Si consideri l'insieme B = { ⁿ⁺¹/_n, n = 1, 2, ... }

Dimostrare che inf B = 1 sfruttando la monotonia della successione {b_n}, con b_n = ⁿ⁺¹/_n

ES. 3

Calcolare i seguenti limiti di successioni:

A) lim (2n²) / (n² + 1)

B) lim (√n² + n - √n² - 1)

C) lim sin(n⁶) / n⁶

D) lim (3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ) / 5ⁿ

Per casa:

E) lim (√n+1 - √n)

F) lim log(eⁿ) / 4n

G) lim (e^-n - e^-n) / (eⁿ + e^-n)

Forma ind.

A) lim 2n² / (n² + 1) = 2

B) lim (√n² + n - √n² - 1)

Quando si ha una situazione del genere con radici, di solito si moltiplica x1

Ancora forma ind.

Quindi il primo pezzo tende a 1/2

Il secondo pezzo tende a ∞

Il limite = 1/2

ESERCITAZIONE

23/10/2013

LIMITI DI SUCCESSIONI

ES. 3

C) lim_{n → +∞} sin(n⁶) / n⁶ = 0

0 ≤ | sin(n⁶) | / n⁶ ≤ 1 / n⁶ → 0

D) lim_{n → +∞} (3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ)/ 5ⁿ = lim_{n → +∞} (3ⁿ / 5ⁿ + 4ⁿ / 5ⁿ + 5ⁿ / 5ⁿ) = lim_{n → +∞} ((3/5)ⁿ + (4/5)ⁿ + 1) = 0 + 0 + 1 = 1

TEOREMA

Se 0 < α < 1 → αⁿ → 0 per n → +∞

Se α ≥ 1 → αⁿ → +∞ per n → +∞

ES. 4

Calcolate i seguenti limiti

A) lim_{n → +∞} n! · n² / e²ⁿ · lgn

B) lim_{n → +∞} n¹⁰ + lgn / eⁿ

C) lim_{n → +∞} log(n + n² + 2n + 1) / (1 + n)²

D) lim_{n → +∞} eⁿ + log(sin) + n⁵ / eⁿ + n⁶ x CASA

A) lim_{n → +∞} n! · n² / e²ⁿ · lgn = lim_{n → +∞} n! / e²ⁿ = ∞ / ∞

(FATTORIALE VINCE SU ESPONENZIALE)

B

lim

n→+∞

n + log n + 10n

eⁿ

= lim

n→+∞

n¹⁰⁰

eⁿ

log n

eⁿ

10n

eⁿ

= 0

Per il teo 3

con a₁ = -1,

b = 100 e

c = 0.

C

lim

n→+∞

log (1+n) + n² + 2n + 1

(1+n)²

= lim

n→+∞

log (1+n)

(1+n)²

n²+2n+1

(1+n)²

= 1

ES 5

Si consideri la funzione f(x) data dal seguente grafico

A

DOMINIO è (-∞, -2) ∪ [0,+∞) ;

IMMAGINE [-2,+∞)

B

f([-6,-2)) = [0,+∞) ;

f ((0,4)) = [0,4] ;

f([4,+∞)) = [-2,0]

C

Dobbiamo cercare gli x : f(x) = 4

f⁻¹([{4}) = ∅ A,B,2 }

f'⁻¹ (([0,+∞)) = (-∞,-2)∪ (-6,-2) ∪ [0,4)

D

Determinare EVENTUALI MAX e MIN locali e globali

E

La funzione è monotona in [-6,-2)?

È iniettiva? E in [4,+∞)?

ESERCITAZIONE ES. 5

cfr. grafico pag 4

1. Determinare eventuali MAX e MIN locali e globali:
   • MAX GLOBALE = No perché f(x) illimitata superiormente
   • MAX LOCALE in x = 2
   • MIN GLOBALE in x = 6
   • MIN LOCALE in x = -6

   f(x) è limitata inferiormente e illimitata superiormente

2. f è monotona strett. crescente in [-6, -2), dunque è anche iniettiva in [-6, -2) in (4,+∞) si vede che f non è monotona e che non è iniettiva

30/10/2018

ESERCITAZIONE

ES. 1

Mostrare che se {a_n} e {b_n} sono successioni :

a_n → 0 , b_n → 0 e a_n∼b_n , allora sin a_n ∼ sin b_n

Le essendo successioni infinitesime, vale che sin a_n∼a_n esin b_n∼b_n e a_n∼b_n.

1. lim _n→+∞ ^{sin a_n}/_an = 1 ; lim _n→+∞ ^{sin b_n}/_bn = 1

Vogliamo provare che lim _n→+∞ ^{sin a_n}/_{sin bn} = 1

1. lim _n→+∞ ^{sin a_n}/_{sin bn} = lim _n→+∞ ^{sin a_n}/_an ^a_n/_bn ^b_n/_{sin bn} = 1

Dunque sin a_n∼sin b_n

ES. 2

Calcolare limiti di successioni:

• A) lim _n→+∞ ^{sin (4/n) - tan (1/n)}/_{(1 - cos (4/n))²}
• B) lim _n→+∞ ³ⁿ/_3n-1
• C) lim _n→+∞ n³ log₂ (1 + ¹/_4n³)
• D) lim _n→+∞ n² cos (1/n)^1/n2 @ arctan (1/n)

SVOLGIMENTO

• A) lim _n→+∞ ^{sin (4/n) - tan (1/n)}/_{(1- cos (4/n))²} = lim _n→+∞ ^{sin (4/n)}/_{(1- cos (4/n))} =

= lim _n→+∞ sin(4/n) [1 - ^cos(4/n)/_{(1 - cos(4/n))²}]

lim _n→+∞ - tan(4/n)(cos(4/n)-1)/(1- cos(4/n))² + lim _n→+∞ - tan(4/n)/(1- cos(4/n)) = lim _n→+∞++

4/n^r/n² + lim _n→+∞ -2n

lim (-2n) = -∞

Limiti notevoli da applicare

lim_n→+∞ tan(ε_n) / ε_n = 1, lim_n→+∞ (1 - cos ε_n) / ε_n² = 1/2

B) lim_n→+∞ (3√n / 3√n - 1)^{6n - 2}

lim_n→+∞ 3√n / 3√n - 1 : lim_n→+∞ (3√n - 1 + 1) / 3√n - 1 = *

lim_n→+∞ (1 + 1 / 3√n - 1)^{6n - 2}

Quindi: e² = lim_n→+∞ [(1 + 1 / 3√n - 1)^{3√n - 1}]²

C) lim_n→+∞ n³ log₂(1 + 1 / 4√n³)

B) lim_n→+∞ n² cos (1 / n²) - n²

ES. 2

(PER CASA)

1. lim _n→+∞ n log(1 + ¹/_{2n²sin(¹/n))}

2. lim _n→+∞ ⁿ√n log(^{√n + 2}/_√n)

3. lim _n→+∞ ³ⁿ³/_{2n³ + 4n⁷ sin(n⁻⁴)}

4. lim _n→+∞ (1 − e^1/_2n) 4n

RISULTATI

• E ¹/₂
• F 2
• G ¹/₂
• H ¹/₂

ES. 3

Calcolare i seguenti limiti: (DI FUNZIONI)

1. lim _x→3 ^{sin(x2 − 9)}/_{2(x−3)(x+3)}

2. lim _x→+∞ ^{sin x3}/_√x

(PER CASA)

3. lim _x→1 (1−x)² cos(¹/_1−x)

4. lim _x→0 ^{sin x5 log₂(x3)}/_{x² + 10x¹⁰}

SOLUZIONI

• C 0
• D ¹/_{log 2}

SVOLGIMENTO

1. lim _x→3 ^{sin(x2 − 9)}/_{2(x−3)(x+3)}

   lim _x→3 ^{x2 − 9}/_{2(x−3)(x+3)} = lim _x→3 ^(x−3)(x+3)/_{2(x−3)(x+3)} = ¹/₂

2. lim _x→+∞ ^{sin x3}/_√x

   uso: Teorema: se faccio modulo di: ^{|sin x3|}/_√x

   lim _x→+∞ ^{|sin x2|}/_√x = 0

ES. 4

Determinare limite di una funzione partendo dal grafico.

Si consideri la funzione f(x) data dal grafico.

Determinare:

1. lim_x→+∞ f(x) ;
2. lim_x→-6⁻ f(x) ;
3. lim_x→-6⁺ f(x) ;
4. lim_x→0⁻ f(x) ;
5. lim_x→0⁺ f(x) ;
6. lim_x→+∞ f(x) ;

A) lim_x→+∞ f(x) = 2 ;;

B) lim_x→-6⁻ f(x) = -∞ ;;

C) lim_x→-6⁺ f(x) = 2 ;

D) lim_x→0⁻ f(x) = -∞ ;

E) lim_x→0⁺ f(x) = +∞ ;

F) lim_x→+∞ f(x) = -∞

ESERCITAZIONE

ES 5 (Per casa)

Disegnate il grafico di una funzione f(x) che soddisfi le seguenti proprietà:

lim_x→5^- f(x) = 4 ; lim_x→5⁺ f(x) = +∞ ; lim_x→+∞ f(x) = 0 ; lim_x→-∞ f(x) = 1⁺ ;

f(0) = 2

ALCUNI LIMITI NOTEVOLI PER SUCCESSIONI

1^o Supponiamo che x_n → +∞ per n → +∞, allora lim_n→+∞ (1 + 1/x_n)^x_n = e

2^o Supponiamo che ε_n ≠ 0, ε_n → 0 per n → +∞, allora valgono i seguenti limiti notevoli:

• 1) lim_n→+∞ sin ε_n / ε_n = 1, ossia sin ε_n ∼ ε_n per n → +∞
• 2) lim_n→+∞ (1 - cos ε_n) / (ε_n)² = 1/2, ossia 1 - cos ε_n ∼ (ε_n)² / 2
• 3) lim_n→+∞ tan ε_n / ε_n = 1 ossia tan ε_n ∼ ε_n per n → +∞
• 4) lim_n→+∞ arctan ε_n / ε_n = 1
• 5) lim_n→+∞ log (1 + ε_n) / ε_n = 1, ossia log (1 + ε_n) ∼ ε_n
• 6) lim_n→+∞ e^ε_n - 1 / ε_n = 1, ossia e^ε_n - 1 ∼ ε_n
• 7) lim_n→+∞ (1 + ε_n)^a - 1 / ε_n = a, con a ∈ R. ossia (1 + ε_n)^a - 1 ∼ aε_n

1^o Qui x_n → +∞ (La successione tende ad infinito)

2^o ε_n è una successione che tende a 0