Analisi matematica 3 - esercitazioni rifatte

T

I fdt /

cisl =

=> = UR

U

I E

di 1

meno

a ,

I di

meno

a

O

↑

O costanti > ↑

↑ > costanti -us M

(fzdt = fizdtfzdtfzdtt b S 84

7

a

ge 7

i

>

M 7 7

R 2

test-entetic

Tutt

Sfizidz Jdt =

82

24

↳ u t

z =

tE(E R)

,

R ↑

-I

"2Unt 11

-2 Unt -

-

↳ I J

[e e

C dt

- =

·

= 1 +

+ R R

tut " 2 R 0

-

2 t- -

!

i at 2 1

C 25

+

=

= 2 8

t

+ +

-

-" 2

t

1/fzd reite I

i - O

at

[0 24]

te ,

1) 10 2 I

2π

=> =

I

I

=> =

5 2

es . +a ((x

! ex

I = 2

(x 4)

+

+

/I -) L

dz dz xzi

= , Zillz-lis L

UR

UR E

E ,

, ,

-

H((() =2i3)

f(z) - 1 r7

- , 7

C

l 2i

X

it

ti -

Im

Res (f -1) = I =

, 2i)

2i)(

( 1

1 + -

-

-

-

4i2

1 5

=

-

= iπT12

un2

LRT +

Lim

2i)

(f

Res =

= Iniziatio

, (it)(4i)

(i)

I ~

O arf(zi)

=

z

Yfzu (2- ittic

,

Lim

Res(8 -2i) = =

=

, 2i(z

z (z

1) 2) Gi)

+ (2i 1)(-

+ +

-

- ( fdt fidtA

+

↓ (Res

zi

gizdz =

=

(i) R N

-1 i

l

at 211

-

e

tf(E R)

,

1/fdza) o

YERes]

I -

= =

3

5

es . la funzione dispari

6-periodica

Si consideri e

definita [0

in 3)

I f(x)

da 1 x

= = -

, f

di in

il

tracciato grafico F 3)

,

al Dopo [

aver 3

= - ,

serie

Convergenza puntuale della

la

studiare

Fourier

di F(x) forrier

i di la

creff

calcolare

b) scrivere

di f e

Fourier

serie el Y f(x)

Disegno

a) *

1

- I

Disegno f(x)

1) su rispetto

2 Dispari simmetria

2) =

O - origine

ad unita

I 3) 6-periodica ogni 6

1

(2) ⑦ (1) f(3))

si /in

ripete f(

3 3)

f(x) =

= -

-

3 3

- I

I

I I I

I I > X serie

puntuale

* convergenza

I ⑦

- , punti

f(x) tratti

regolare

(3) a di

2 -

· ⑳

- discontinuità finiti

regolari

nei F(x) converge

tratti

=> f(x)

puntualmente mentre

,

a

disc

pti di

nei converge

Xo

I intervent

f(x) f(xot)

f(x8

a -) +

F(x) 2

= 8(xot) f(xo punti di

+ disc .

<-3 3)

disc

punti 0 +

: , .

F(x) 0 3

0

converge

=> a X

per = , pan

b) dispari

F NB simmu

f(x)

f e

0

an no

= -

T/2

E(f(x)sin

bn =

= (nwx)dx w =

US 1

E

-

( +

x)sin

bn pari

disp

(n x)ax disp

- =

= 3 .

-

disp -

- z diep

(sin(n) d

= permarti

f'(x)

f(x) 1

1 X

= =

- - cs(nzx)

sin(nx)

g'(x) g(x) =

= - I

3

h cs

+ ni

/ z

O

-

(nEx)]3

20s(nπ) (asin (n)

1

+

+ asin

=

+ n n22

net2 o

(-1)" 0

sinChit)

NB cosChT) =

= , &

Asin(h)

20S(T)

(1 +

= - n2π2

ni/z

2

5) 1 &

+

= 1

41

= 25

+ -

= (

F(x)

=> 4

es 5 . la

consideri

Si definita

2

funzione in

periodica

di f(x) sin(x)

T-1 13

I = =

, il

tracciato di

Dopo

al f studiare

grafico I

aver su , .

f

la di di

F

puntuale

convergenza FCX)

S

della .

.

forrier

b) serie

i di

coeff

calc di

scrivere

e F

. .

al f(x) continua IR

S

sin puntualmente

F(x) converge

=>

o o --

- -Xf[/2FXER)

f(x)

ad

&

I i

I

-

b) un

bn 0

pari >

f(x) 1 =

=

2 π

w = = =x

= I = se

a

=

9 O

exicoscnwxdx

an =

= Werner

~

le

T

- / 2 - 24

sindcoss sin(2 B)

+ +

=

I

(sinix1 B)]

sin(a

+

/sinx -

(ntx)dx (nix)dx

2

cos cos

=

= --

pani Par

-In 0 B

a x nπX

= =

men 2 X(1 nπT)

B

+ +

= nit)

X(1

a B =

- -

2

! niti)

I (sin(x sin[x(1 dx

)

(1 +H +

= =

-

I T)]

+)]

cos[X(1

[ 7

.

[X(I

+ -n

cos

+

= =

- + (1

ni) ni)

C1 + - S COSK ASCOSB-sind sing

b)

+ =

↓

I (1 1

COS HIT)

+ COS(1-nit) 1 Cos(a-B) sing sing

S

- +

cosa cosB

-

=

- + =

1 ni I- nit

+ 14

17 (

c -

- 1)

(ntics-SinChitsin)

(nicos1-Sincultisin) -1

(cos Cos -

+

= ni

1

+

I ni -

(

(71)4cos) 14c0S) 1

1 (

- -

-

+

=

- I nπ

+ 1- nit

(-17" T 14(OS)(1

cosi(1 -nit) (

-n m

1 nπ)

+ 1

+

- -

- -

= n2π2

1 - A m)

(

2

cos1 11 +1 + -

-

=

- n3π2

1 -

174(851 2

2( 32-c-11"cos13

2

-

-

=

- =

1-nie

n2π2

1 - CS1) 1-14cos1] cos

F(x) (2-

(1

=> (niX)

= - - ne

1

6

es . IT-periodica

Data la funzione dispari

, :

e f(Tiz)

f(x) sexf[0 T

x 2 2) 0

=

,

= ,

al f

Disegnare [-25 perché

l

su 2) spiegare

e

= ,

in di

f sviluppabile serie Fourier

è

bl di associata f

serie Fourier

scrivere a

la serie in

converge media

Scrivere

2) se ottenuta

la

quadratica f puntualmente e

converge se

a se

,

uniformemente

converge 1f(x)

(a) (2)

g g

.

g -

H

- d t

· it

& te

T

- - O

O O

O = f(x

in ()ft(([0) dx

serie

8

NB sviluppabile +

(

I

/Ixdx =

!

verifico Xdx

: =

))

ff(" (50

=> , Fourier

f serie

in di

svil ciré

=> . 13 π

(2k +

-

& +,

continua kE

I

tratti -

f(x)

(b) +

F(X)

f(x) X

a converge e

=1 puntualmente ↓ ke

O ki

X π +

= ,

2

t

( π(2)]

+ ( - 0

(2 =

-

f

dispari an

& o n

> o

= = ,

H 2π 2

T = w =

=

= # T12

TI2 )

)f(x) (2nx)dx

=

bn cnwx)dx

sin

n 1

per : = disp

disp

Tim

Ti2

- -

-sincanx)ax pari

=

g x2 g'(x)

g(x) 2x

= = CoS(2nX)

n'(x) sin(2nx) h(x) = -

= 2n

T12

12

([-XcSen I

I

= !

1 dx

2x cos(2nX)

24

O g'(x) 2

2x

g(x) =

= sincanx)

h'(x) h(x)

cos(2nx) =

= In #12

#12 [Exsincx sincunx)ax3}

I

. +

(1-Xcosex) R

S

J

= + =

In

In G G

-

- -

(2n)i

-cos(2n) sin

Il #12

[ I

cos(2nx)

= +

I 2n

24 2420

14 1)

O c

( - cos(2n) 1

- -

- = -

-

(in)

CosiTh

4- Isinctn)

& y

#

= Cos

+ 2n2

+ =

442 443

8n

14 14 &

π) 1

G (

- - -

= +

- Th3

en 2nc-1)h

Tin3(-17" In

+ -

-

= (Tn3)

(2n)

12-m2) /- 17" 2

-

= 2Th3 mm4( 1)"

(2 2

- - - sin(2nx)

F(x) +

0

=

=> 2h3

1

n = 8f(3 1))

([0

quadratica

(C) perché

media

in

conv ,

!

puntualmente

conv !

#) (perché

uniforme continua continual

f(x)

F(x) NON

conv a

converge

2

6

es . Si funz def

la del

consideri

I

f(x) x2xf[ Tim)

π2 -

= -

25t-periodica

al f

Disegnare -2

I

su 2T]

= , f

bl di associata

serie Fourier

scrivere a

la serie

Scrivere se la puntualmente e

converge se

uniformemente

converge 1

&

Calcolare

C) +

1n

( - n2

n 1

= -2

(a) Co

2 -

①

I I i i

2 T

- - ! (la

f(x)

uniform I se

dim

F(x) R

(D) continua

a

Conv su

bn

pari 0 fnz

f(x) = =

E

2π

T 1

w = =

= =

I -

I =

&

2 (2 xxdx

eg x

= -

I

21

-

per nax Exconx

=

π2 x2

g(x) g'(x) 2X

= = - (nx)

h'(x) sin

h(x)

cos(nx) =

= R # (nx)dx]

xsinux]

42

= I

2 xsin

t G g'(x) 1

g(x) X =

=

n'(x) CS(X)

sin(nx) h(x)

= = - n

-x jxay

(2xsinix)* +

So

= - - - T

(h)

ICOS (sin(nx)

-

= S n

-

= ⑨

4 cosx) ?

&

F(x)

=> = -

4

Pneue

(F(x) >

2 t

-

Il

- -

= sol

~ ~

c'è .

conv

che

Dim (Per Weierstrass

NB i serie di Forrier

della

se essere

coeff possono

.

maggiorati numerica

Serie

di

termine generale

con di

serie

uniforme funzioni

della

convergente c'è

> conv

= .

Candrebbe termine

fatto generale

modulo

sul della

del

Forrier

serie tanto Isini cosi

di ma sempre

sono

I

,

1l

maggiorabili con

il di

dei Forrier come

s

coeff

modulo vanno

se a

> . serie

↓ confronto

(a c'è convergenza con

(per

1)

> =

na t )

armonica (a71) ore conv .

"n )

vado (uso

fallisce

Weierstrass

NB altre

a test strat

0

se come .

1

+

n -e

C 1)

- n2 the armonica

serie

(per

sapendo converge th confronto e

con

na converse

generalizzate casis che XXfR

)

(Weier uniformemente

F(x) f(x)

a

converge

=> .

(

(C) Leibeniz

Converge per

n2 lifn O

Four

Serie di converge

I

Strutto . >

converg =

. 1

0

se Cosch