(3/3) Appunti presi a lezione di Analisi matematica 2, prof. M. R. Martinelli, libri consigliati Elementi di Analisi Matematica 2, Fusco, Marcellini, Sbordone e Analisi Matematica 2, Ghizzetti, Rosati

VOLUME SFERA

(x² + y² + z² = r²)

z = f(x,y)

x² + y² ≤ r²

V_S = π∫_-r^r (√(r² - x²))² dx = π ∫_-r^r (r² - x²) dx = 4/3 πr³

GEOMETRIA

b{(x;y) / 2x + 3 =}

o by = (6; 3)

V_E? rotazione di √ intorno a d asse x

V_E = π ∫₀^3/2 (3/x)⁴ dx = 3 π ∫₃¹ (2/(x-1))

(6-x)/(x-d) = -A/(x-4) + B/(x-3)²

calcolo valore A

4-x = A(x-4) + B → x = A(x-4) + B

A(x+1)

calcolo valore B

→ per calcolare B

8 = 3

x → ∞ sostituire per lo scopritto

x²/x² = A/x²

Mar 06/04/11

SUCCESIONI NUMERICHE {a_n} aperte {a_n}_n=m

logica alle eserciziati ogni numero naturale in numerato assegno in reali

fn → ... {f₁(x), f₂(x), ..., f_n(x)}

del {a_n

a_m = x^m accessorio della serie variabile

successione di funzione reali di x variabile reale

se → √(x) < 1 → SERIE GEOMETRICA

x = 1

x - 1 x → 0

{x^m/m!} → 0

x - 1/x m = 0

(2 + x²)^m

{f_n(x)} = (1/x) R Re ... prealt x = 0 + x = 2

I

P rendiamo una rotazione dei dominio

3) DEE DI LIMITE punto per punto

suppose che \( f(x) \) converges in E ...

\( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \beta(n) \) ad ogni x associato a ...

\( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \beta(x) \)

\( \lim_{m \to \infty} a_m = l \)

\( format \ \exists \varepsilon > 0 \)

\( \forall \varepsilon / \ \beta_n > \beta_n \ definito \rightarrow |a_m - l| < \varepsilon \)

\( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \neq \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^n = 0 \)

... al limite intero.

\( \frac{1}{2} \leq \frac{4+x}{2+x} \leq 1 \)

\( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \neq \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^n = 0 \)

Teorema Nuova Convergenza Uniforme

2° Teorema Continuità Funzione Limite

_[Hp] ^{n -> ∞} f_n(x) = f(x) continua in E_fn successione di f_n uniforme in f

_[Th] ^{n -> ∞} f_n(x) = f(x) continua in E

Dimostrazione (dev. elem.)

x_o ∈ E lim_{x -> xo} α _x = 0 x -> x_o f_n(x) = f_n(x)

Applico defi. di convergenza uniforme f_nx _x

∃ > 0 ∀ x ∈ E

3° Teorema

A successione {f_n} di funzione [a; b] uniformemente convergente

^{lim n -> ∞}_{a -> b} f(x) dx in nome che dipende da M

lim ^{n -> ∞} ∫_a^b f_n(x) di x = ∫_a^b lim ^{n -> ∞} f_n(x) di x

4° Teorema di Derivazione

Se ho ce monognia al limite cato il regno di certitate

{f_n(x)} con x ∈ (a; b)

f._n(x) c'e 'e conconverge pfunto //punto

queste succession sono derivabii - esto succession alle ¹² x ^{2 x}

calculate derivative |f_n(x) dx = {f₄}(x)

si faceva ^{lim n -> ∞} dx₀ dx n di f_fn(x) - f(x)

Derivata del limite = limite della derivata

Enunciato

Successione barrived abion dale 31 functumente convergete

da [a 1 \) serie non converge

5b) Criterio della Radice

• \( \sum a_k \)
• \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \)

• \( L < 1 \) serie assolutamente convergente
• \( L > 1 \) serie non converge
• \( L = 1 \) teorema non si pronuncia

Serie Geometrica

\( \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \)

se converge a:

• \( |x| < 1 \) converge a \( \frac{1}{1-x} \)
• \( x = 1 \) serie non converge
• \( x = -1 \) non si pronuncia

Serie Armonica

\( \sum \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \) diverge a \( + \infty \)

Serie Armonica Generalizzata

\( \sum \frac{1}{k^p} \)

• per \( p > 1 \) serie convergente
• per \( p \leq 1 \), diverge

Serie di Funzioni

\( \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \)

Def di convergenza puntuale di

\( \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) = \phi(x) \)

• \( S_n(x) \) converge puntualmente a \( \phi(x) \) per ogni \( x \) fissato

Def di convergenza uniforme di

\( \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \rightarrow \phi(x) \)

• \( \{ S_n(x) \} \) converge uniformemente a \( \phi(x) \)

Def convergenza assoluta di

\( \sum_{k=1}^{\infty} |f_k(x)| \rightarrow \phi(x) \)

• \( \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \) converge a \( \phi(x) \)
• non si collega tra assoluta e uniforme

Teorema

Se posso x - x₀ ∈ R totalmente convergente in [x₀ - r, x₀ + r]

Teorema di Abel - Berstein

• Se x ≠ 0 (a eccezione del limite) lim xₖ = x
• Se λ = 0 x = 0 → λ = +∞ → x = 0

Teorema di Cauchy - Hadhard

Ho serie di potenze.

• Se lim aₘ^1/m = λ → x = 1 λ = 0 → x = +∞ λ +∞ → x = 0

Serie numerica di zero di una matrice tutta algebrica degli snaturalmente.

Serie di potenze di dealzo pericolose del coefficiente.

Esercizio

• Se ∑ x₀ kx/K!
• K→∞ |x|/|K| = lim k!/K! K→∞ 0/! lim |x|/k! = 0 → x = ∞

Esercizio

• Se devo trovare conv. totale delle serie.
• ∑_K (-1)^K ( 2k + 1 ) / (2K + 1)!
• Serie puntata nel termine
• Cofficenti di ragazze pari = 0
• Non posso applicare (x/n) con criterio di d'Alembert.
• L'integrazione è seguita.
• ∑_K (-1)^K (x)^2k / (2k+1)! = (term = (d))
• lim K→∞ [2(k+1)!] / [2(k+3) (2k)! (2k+2) (2k+3)
• lim K→∞
• e quindi ∀ x ∈ R

∴ ∀ x ∈ R

Equazioni differenziali 2°ordine

imponiamo

incognita y(x)

continua | derivabile 2 volte rispetto a x

F(x,y,y'₁,y'₂)

stabilisci legami tra y(x), y'₁(x), y'₂(x), ...

se risulta come y(x)

che soddisfino equazioni: soluzioni proprie integrali

di eq. ali diff.

Curva integrale = grafico delle soluzioni

Esempio:

1. y''x² + y' x y = y ² e^-2x = 0
2. y'' = g(x)

particolare una equazione differenziale 2^o ordine

con assunza y(x) = y'(x)

y' = ∫ g(x) dx

N.B!

caratteristico delle soluzioni di equazioni differenti di ordine alto

derivato da 2 costanti arbitrarie (se intepreta 2 volte)

se suppongo x ≠ 0 come scrivere equazioni in forma normale y'' =

"" + y^x / x² + 2x

Equazioni differenziali di ordine n

y(x)

incognita continua e derivabile m-volte rispetto a x

f (x, y, y'₁, ... y'_m) = 0

equazioni differenziale di ordine m è escretta in FORMA NORMALE

g^(m) = F(x; y⁽¹⁾;...; y^(m-1)) derivato quando i numeri x,x₁,...x_n

risolve ali significativamente se con deriva il determinato di max nascono

nome: g^(x) =

y'(x) ∫ g'^{x₀ t} dt + y₀

• c₀ costante arbitraria
• soluzione

valore che x₀ assume in x₀

identificato

y'(x) = ∫ g_{x0 (t) dt} + c₀

Esempio

y''=g(x)

Con y(x)= ∫ g^{x₀ t} dt + c₀

1. e^-x(y''-y)=0

valori dell'equazioni differenziato pari con ordine diluire con carattere dimenticare = e^0-0

Cercare

x-y = 0

✓ dimostrare che ✓ soddisfa segni que diff.

verificare che Lh ra

1. e^xy' = k constanti 1 ^x

x -

k = uomo

• e^x = k costanti
• ✓ y = k
• dimostrare che y= k soddisfa que. diffe

dimostriamo che ✓ soddisfano que. diffe'enziali