Riassunto esame Analisi matematica 2, Prof. Arcozzi Nicola, libro consigliato Elementi di analisi matematica due, Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

ULUNGHEZZA palline vuol il DERIVATA.dize(PlUctIIILunghezza (W)= ot* W(B)·! U(t)Ult+2) -U(2)· M11UCt2+Echill1lWLt+h) SchUst)11 11com >=- I hTaylor ordine 0I per118(t)h11 Ust11. 12111approssimareposso con =IRM IRh dtImmagina Utd0 =="Somme" *dttuttii ottengoesuPer es.:(Cost, simItIl;U(t) t 2==0= *111lunghezza (Simlt);[(t)(t) cos(t)UstIl at === 110(t)11 11.=I =2dt =Per 2:es. WcIRYt2);(t,W(t)2 [0,13=y1 == B*iLe [(t) (1, 2t)= 113 UCHIldt=lunghezza(t)0 ==So otHut2calcola iperbolici:cosenusando seinSi e ix ix+-ecosh() -+e ·COSA ee= =. 22 eix_exx-simh() -e e Sin ==· .2 2 iCOS2(x)=simh(A ·cos Simx=. -Simh(x) cosh (x) costSimx =·· =coshx-sinhx Sinxcosx 11 +· =.=ENON MATERIAD'ESAMEES.31 Sinh(x)42 dy y= =+ cosh()sinLAy2 11 + + == =-cosh(x)cosh(dsimh()dy dx= ==SCOSRIXI. COShx dx =cosh (x dx=> W, * chSia IRDEF. &I curvaoneL'ELEMENTO E:5D'ARCO sud0(t) 11I(t)Il dt= (dot(dalunghezza [2,3cioe, I(H) == =Us RM,

WECb][a,SiausPROPOSIZIONE: e[c,d] c[a,b]:Sia B⑧.~U(b)IM 1 ==(B(0))b - ~ (s)= ⑳ .a a- A ria) WBCC1)=>dd IRMbB(c) a,B(d)= = Pc Us IRC1, [a,b]d]Brescente;[c,BE lunghezza lunghezzaAllora (H(50) =DIM. (Wol=).IllWolslIdslunghezza ==" B'IsIlÜ((SI) as· =118=S. ·(p'(s))((51) 11 ds =(UP(s))=S. B'(s) osI ·B'(s)cambio dsvariabili:t dtB(s),= =B(d) b d=t S1 D= CB(C) a= =15 Langhezza Cha(t)Il dt =iRM, c1,b]Siauo W[a,DEF. -b3) IRMWI[0, E2 = ⑳.8 IR).C (E,siae e .l'INTEGRALEAllora Al E8 5 è:LUNGO IRM((100 UstIlf(rt1) dt= mendo(t)ES. I IR (1,2)1) 50,1] ((t)V(t) (t,2t= >+ =UCt112f(x,y) 11 142yx= + = ==5((8d0 2 (t,2t dt1). B= =+=(8 (t2 1) dt2t+ + =...PARZIALIDERIVATE8= GR2.Yo)ASia (Xo,DEF. IRIR sioeapertoCaso h f(x0,40)f(xx h,y0)line LIRSe imesiste +2m -= =h h0> in-finche PARZIALMENTEDiciamo DERIVABILEè Yol.ispette (xo,xa68 laL yo)(o, PARZIALEZispettarDERIVATAe= 6X yo8 (o,indixa yolth,--· IR2 yoI9x1=f(x,termini,In

alter >IR,Yol, R =Ise YoYoth)4d 4(xdlimallos 68- (x0,70).= =

6xx0& - f(xo,f(to, YolYotY68(x0,40) line Iderivata di- ->= k eispette30- oy(ko,Y0)inES. xy2f(x,y) 2x= - (f(x,y)4268(x,y) 2xy2= -- =IdxES. E (x,7) (0,0)+Y Sef(x,y) = (0,0)se(x,y)0 =(f(x,y) y2)(x2 2xyx -+ -= =(x2 y2)2+2yu2Y12- + 812,01-810,0bie(2 (0,0): =2y2 (x,y) (0,01E Fse(f(x,y) x- y= (x y212= + se(x,y) 10,010 =Per funzioniDEF. variabilevalori 1diin unaaIRM.in 8 ()RM A A,Sia R, Sia xoc = == =M.Sia ji ej=(i)f(xo+heil-f(xdlinISe dove(al i=hh 0-geox ed esperie diinX; to.2 ilCj indica SPOSTAMENTODELLOVEROe.⑧ xothXo 68, bif6x: 1NOTAZIONE: = =8cIMISia A,IR,DEF. A x...,(xnf(xo).f(x0),dx;E .Il GRADIENTE 8di è:in Xo(RMtc .,(xnf(xa)(6x;f(xd),[f(x0) =- . .es.per (er *)+= x),xe+f(x,y) bf(x,y)xe == +(xf(x,y),byf(x,y)1RSiaDEF. -R, derivabileparzialmenteA= C1,f CLASSEcheA. Dicoin dié((A,(R)f = 6x28: dxnf:Asedxef: A-RR RcR, A -...,,CONTINUE.SOME ITEOREMA:FORMULA INAL ORDINETAYLOR IDI8cRR,IRMI C11A, 1).Siduo A 1fine,

-toIR IRMh) f(xdf(x0Allora f(xoh E(h)= ++ IR IRE(h)linedove 0=2-30 11211MimVf(x02 f(x0),hc xOss. 1 == IR(Xo, Yol Zm 2:= 1R212, incrementoK)f(xo 2,40 k)+ =+ xf(x0,y0),byf(x0,y0)()f(x0,y0) (2,k)(6+= a+* xf(x)h 6x2fko2s+... danf(xohn= ++ES. x2yf(x,y)(1,2),2,(x0,y0)n = ==12xy,x2f(x,y)* = Ff(1,2)f(1,2) (4,1)2 == () ala,2-* +0(h,k)4h=2 k+ ++NOTA:lie E(h) IRM IRE: IRe atcom <0=h 0-hEIRMVuol dise: h: 611211FE>0 F7630 x(((h) a) 2== = -DIM. IFORMULA ORDINE)ITAYLORDI +k)P/xoth, yo·8Koth, yolKo, f(x0,40)f(x0 h,y0 k) =+ -+ f(x0 f(x0,40)h,y0)f(x0 2,40)h,y0=f(x0 k) ++ +- + -+ 6xf(x,y)f(x, 1R c1R,4:Sia y'()y0)y(x) = =fisso↳ byf(x0 4(xo+h)Y'A1f(xoth, +2,y)P:R-IR, -4(X0)Y(yol440 APPLICO LAGRANGEy)4(Y) k)e sia -+= +== -Y'(yo 2klk 1d =0 =cor= + LAGRANGE:TEOR.bh/h b =1+4(xo =con 0+ 8sSyf(x IRh,y0 IRak)k èderivabile= + + k)h he6xf(x bh,y IRx,+ x+ ++ =by f(xo,Yolk=6xf(Xo,Yol2 5ERRonE(2,k) a: d 1=0D ==+ + h) g(x 2h)hy(x)y(x -+ +=6,(x0,4013k[6yf(x0-6xf(x0,40132[6xf(x0

2k)2,40b2,y0)ERRORE(2,k)dove - + -+= + =1**6x8(xo,yoll.h Ik1698101-6,81x0,4011.lroE(2,kll 16xf(a)=e - 22h2 k2k2 ++ S'dxf Gc0:2+2fissato trovarepoiché =EC0continue, per ogunè posso f(x0,401116xf(x0 dxf(x0,y0)) by16yf(Xo+ Yotk)h,E E2,4 k) =2=> -+ -+ =Concludendo: S30fisso travEs0, sopra.comeYolll 8(Xo,+k)(Xo+2,40+ 11 =2aSe -= G6 Yolll119 (Xo,P=11 (x0,40) 11 == e -- 18(P)en 1K) -f1x0,40llIERRORE(h,KII 18 -8(x0,40 221.5= 1.3(a)=quindi ++ =-2 h2 k2+K11/ERRORElim (2,cioè 0=12,k) 10,01-> k222 +DIFFERENZIALEDEF. CIRMR(A,8 A aperto, CA.Sia XoRIRMdxof:f(xo) Vf(xohdxof(h)Il definita da:DIFFERENZIALE di è == f(x),h> IRE=x ordinelHaylorf(x)d 8 d.f(2)f(xoth) (21 IAPPLICAZIONEUma canLINEARE ERROREE per = ++ES.f(x,y) y2:x2 (2,1)(x0,Y0) == - (4,Vf(2,1) 2)Vf(x,y) 2y)(2x, == -- ·())d.e8(2) 15812,e) 4a -ck= ==Xf(2,1),(2,k) >GRAFICODEF. eR}[Ix,(RathECIRM f(x1):(f)8: 2cIRM.Sia graficoIlE un xinsieureGRAFICO =èUCIR2,ES. sinctllIR 514=(Cosit),

t1R(It;cosst),sinct):112)( (t)):It, r +grafico (8) -> == 8c1R: f(x,y)} R((x,y,z):(x,y)IR22A grafico(f)Per funzione eAez=una = =121f(x,y)(x,y, >/ y2x lretta ty1 f(xollIX0, evy 4((d)(Xf(x) xo· = --I f(x) 4'(xol(X xoly = -+II IGRADO: 0↳do erroreStaylor ordineI in senzatoef(x,y) f(x0,Y0) byf(x0,Y0)(y6xf(x0,40)(x 0(x y0)x0 y0) x0,y= + - -++ - -"dimentico"il termine die rrorefyf(x0,Y)CY-Yolf(x0,Y0)(X6f(x0,y0) xo) GRADO ZVARIABILIEQ.z NELLED1 I X, Y,+= + -xPIANO CRAFICOALTANGENTEEF.B 8, (A,1 IR).IR:(xo,IRSiauo YolA A:e =Il yol)8 f(xo,(Xo,di è:PIANO TANCENTE inGRAFICOAL Yo, (Y-Yo((x,y,z) by f(x0,Yo)(x0,40" RRP: 6xf(x0,yol/X-xol"in -f(x0,40)ze +8: =3xIES.f(x,y) x2f(x0,y0) 1,0)(xy =+= -Vf(x0,y0) xf) 1)V8(x,y 12x,x) 1,0(y 2,= =+ == -- -f( 1)2(x (y) 2(x 1)1,0) 1z1 y+= -= -- +- - =-- 1 e f(x0,41)(x0,52Y) Y,=e-1· V, IR3e 5,80,l10,1,,fixIR890) =a f(x)e (x,Y0,f(x,y01)=Sl IRY c(X,y0,f(x,y01)IR y1(1,0,6xf(x,y0))·(x