(1/3) Appunti presi a lezione di Analisi matematica 2, prof. M. R. Martinelli, libri consigliati Elementi di Analisi Matematica 2, Fusco, Marcellini, Sbordone e Analisi Matematica 2 - Ghizzetti, Rosati

Analisi II

10 cfu

Nomenclatura:

• ∂A = frontiera di A
• Â = interno di A
• ḢA = luogo dei p.ti di accumulazione

α > 0 ∀ ε > 0 αβ > 0

Merc 20/10/10

Programma:

• Funzioni di 2 o più variabili
• Cenno alla misura degli insiemi limitati
• Integrazioni in più dimensioni e applicazioni
• Forme differenziali lineari
• Successioni e serie di funzioni
• Equazioni differenziali

Libri:

1. A. Guerriti - F. Rosati Analisi Matematica vol. I e II Zanichelli 1996
2. Russo - Mastrocola Sbordone elem. di analisi matematica 2
3. Versione ampliata x nuovi corsi di laurea
4. ESERCITAZIONI DI MATEMATICA vol. II parte 1-2
5. ESERCIZI E COMPLEMENTI di Analisi Mat.

Prova pratica + teorica

↓ 6 esercitazioni l'ora 1 ½ b semestre hr ¾ d/ora

Coordinate cartesiane sulla retta

Tra numeri reali e ogni retta corrispondenza biunivoca tra ogni numero reale: cui, titoli di retta

Assi dei numeri reali: cui titoli di retta

0 + │       sulla questa retta d'accordo p ─>                                        p altre caso reali │ ─

Valore caso numero reale: distanza da origine |x| positivo         se x é > o uguale a zero e negativo         se x é < o

Se p = 0 numero reale corrisponde a 0

Coordinate cartesiane nel piano ℝ²

Sotto piano di termine s asse ┴ correspondenza biunivoca: tra coordinate ad num. reali e punto del piano ─────────── Ord y_B              p │                      │ │ x_O               x H

e ogni punto del piano correggea una coppia ordinata

(x₁, y₁) Tracciando perice, o asse xy coordinata

Se f coincide con 0 la coppia O;_0;0

Viceversa detta coppia del ordinata posso corregere al P

Coordinate cartesiane nello spazio ℝ³

Fisso l'origine di stesso (1 stato)

e mandato 3 rette, i m quel punto ponendo a quel termine in P:

medio su per p. ordinata O distanza ┌-┐ medium di.^5c

Misuro di al p`e coso z → p_F= z

Misurdo di al piano z oggetto fn con asse x e asse y

p_FX; p_FY

Viceversa rictra term ordinative su numeriz reali posso ricevute p 0 → (0,0,0) Se ≤ p>0

Prodotto Cartesiano di insiemi

Detti due insiemi A, B

A x B = {₂(a, b) / a ∈ A, b ∈ B ]) (prodotto cartesiano) e si consuma: Coppie ordinate dei 2 elementi alla viceversa al a,b si ottengo tolli

Al elementi del prod. cartesiano

A x r= A₂

elementi delle coppie ₂q c;

[_9;4]⟿ (a´, a´) ∈ A;  b ∈ B

Piano si può rivoltivezza q° coppie ordinate dal nostro reale si quinteto prod. cartesiano

Esempio

verbale aperto e ins. aperto

intervallo chiuso e ins. chiuso

l'intervallo di Q in [0,1] non è chiuso ne aperto (ogni pt° è pt° di frontiera)

Q contiene ptoci della frontiera, non contiene tutti pts di frontiera

l'insieme R² è aperto se è comp. INS. aperti tutti contenuti in R

R² = aperto,

d'altra parte se considerate R² frontiera = vuota quindi esclusmenete in R² → R²è chiuso quindi {0} è aperto

Mercoledì 3/11/10

Dato insieme E

Definizione

Chiusura di un insieme E

• E = E _∪ Q _∪ e (Pti di frontiera)

Definizione

Dominio (D)

D = A dominato = insieme aperto

Teorema

Se D è un dominio ogni suo pt^o è pt^o di accumulo.

Esempio

Dominio circolare

cerchio in cui segue la frontiera

• Non è un dominio
• Non è un dominio

A campo aperto (insieme aperto)

Campo convesso A (se non c'è pt. del campo (per interni) riesce a congiungersi con 1 poligonae detro di pts del campo

Scritte per funzioni a n variabili

libro pag 320

z = f(x,y)

ε ∈ ℝ⁺

E ∈ ℙ

f(x,y) ∈ E

lim (x,y)→(0,0) f(x,y) = L

Funzato E_ε ⊃ I_ε(L) = { (x,y) ∈ E ∩ I_ε(L) } con f ≠ 0

|f(x,y) - L| ∈ I_ε → L - ε ∈ L + ε

Intorno circolare con centro P₀

√((x-x₀)²+(y-y₀)²) <≤ δ_ε

Intorno rettangolare

|x-x₀| < δ_ε

|y-y₀| < δ_ε

Verifica del limite

oss. z = x²∙sen(y) - y²∙sen(x) c.e. & forall; x,y ∈ ℝ

rilevo che lim (x,y)→(0,0) f(x,y) = 0

ε>0 ⟹ ∃ ∈ 0 tale che ∀ (x,y) ∈ I_ε∈ I_ε(0,0) (f(x,y)) ∈ I_ε(0,0)

|x²sen(y) - y²sen(x)| < ε

cerchiamo intorno dell'origine

si parte dallo zero:

|x seny - y senx| ≤ |x seny| + |y senx|

|a+b| ≤ |a| + |b|

modulo del prodotto = prodotto dei moduli

→ |x²| |seny| + |y²| |senx| |x²+y²| < ε

|x| < 1

|y| < 1

|x²+y²| < ε

|x²+y²| < ε int intorno e una unione con c(0;0) e τ τ ε

|interno origine cercato|

Esercizio risolto (x vecchio e y limite)

f(x,y)=^xy2/_x²+y⁴

Dovrebbe valere

∀x>0 ∃ε / P_ε(f(x,y)) ≅ ε

quindi

∀ε>0 ∃I_ε(0)

Nel esempio B non riesco a trovare questo ε

∀ε>0 ∃ I_ε(0) ∧ P∈I_ε(0)

 m³x/1+m³x² < ε

...quindi è toltraria non dipende solo da m ma anche da m/ quindi lim non ∃!

 m³|x|/1+m³x² < |x| < ε

M³|x|< ε

intorno di nucleo anche da m

|x|<ε/m³

in termiti matematici:

Esercizio algebrico

Given:

z = |y|-2 1. |x| - y - 2=0 → m²x/1+m²+1 < ε 2. x² - y² - 4 + 0

Verifica:

A) |y| ≥ 2 ∨ y |x| ≥ 2 x² + y² = 1 Iperbole equilatero

B) -2<y≤2 x² - y² ≤ 1

Intorno certi ilimitate connessi di sivo solucione