Esercizi sulle serie di Fourier

Facciamo un altro esercizio sugli sviluppi in Serie di Fourier.

f(x) = 0     x∈[-π, 0)sinx     x∈[0, π)

T = 2π     I = [-π, π]

Determinare la serie di Fourier associata alla funzione f(x), stabilire se questa serie converge, stabilire x in sviluppa e determinare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑_k=1 (-1)^k-1 / 4k²-1      ∑_k=0 1/4(k²+k+1)

a₀ = 1/π ∫ f(x)cosx dx

a_k = 1/π ∫ f(x)coskx dx

b_k = 1/π ∫ f(x)sinkx dx

a₀ = 2/π

a_k = 1/π ∫₀^π f(x)coskx dx = 2/π ∫₀^π sinx cosx dx = 1/π [sinx sinx_{cosxxcoskx dx = 1/π ∫0^π [sinx cosx dx = 2/π ∫0 [seux dx = [-cosx]}

se k > 1 a_k = 1/2π [−coslcosk] / k − 1

= 1/2π [[cos(k−1)x / k − 1] / _k+1 [π]

= 1/2π [cos(k+1)x / π + k]

Facciamo un altro esercizio sugli sviluppi in Serie di Fourier

f(x) = { (0, x ∈ [-π, 0))        (sin x, x ∈ (0, π])

I = [-π, π]

T = 2π

Determinare la serie di Fourier associata  alla funzione f(x), stabilire se questa  serie converge uniformemente e  determinare la somma delle  seguenti serie numeriche:

• ∑_k=1 ^∞ 1/2^k + 1/4^k - 3

• ∑_k=1 ^∞ 1/2^2k + 1/4^2k - 4

a₀ = (1/π) ∫_-π^π f(x) dx

a_k = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos kx dx

b_k = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin kx dx

a₀ = (1/π) ∫₀^π sin x dx =       = (1/π) [-cos x]₀^π = (-1/π)(-cos π - cos 0) = (1/π)(2) = 2/π

a_k = (1/π) ∫₀^π sin x cos kx dx = (1/π) ∫₀^π (1/2) [sin(x-k)x + sin(x+k)x] dx

= (1/2) [∫₀^π sin(x-k)x dx + ∫₀^π sin(x+k)x dx]

se k>1 a_k = (1/2π) [(-cos(x-k)x)/(1-k) - (-cos(x+k)x)/(1+k)]₀^π

= (1/2π) [(cos(k-1)x)/(k-1) - (cos(k+1)x)/(k+1)]₀^π

= ¹/₂ [(-1)^k-1 - (-1)^{k+1 1}/_k-1 + ¹/_k+3] =

= ¹/₂ [(-1)^{k+1 1}/_k-1 - (-1)^{k+3 1}/_k+1 + ¹/_k-4] =

= ¹/₂ [(-1)^{k+1 1}/_k-1 + ¹/_k+1 = ¹/_(k-4) - ¹/_(k-5) ] =

= ¹/₂ [(-1)^{k+1 1}/_k-4 - ¹/_(k+4) ]

= ¹/₂ ([(-1)^{_k+1 1}/_(k-1)(k+1) ]

= ¹/₂ [((-1)^{k+1 1}/_k-1(k+1)) - ¹/_(k+1)(k+3) - (-1)^{k+1 1}/_k(k-1) - a_k = k>2

a₁ = ¹/₂ ∫ sen2 dx = ¹/₂ [-cos ]

b_k = ¹/_π [∫^π sen dx ] = ¹/_π [cos(1-k) - cos _1+x ] dx =

= ¹/₂ [cos(1-k) dx = ∫ cos(1+k)x dx

k : b_k = ¹/₂ [sen(-)] - sen(1+k)x^π/_1-

b₁ = ¹/₂ [∫^∏ dx - ∫ cos2]

= ¹/₂ [( ^sen/₂] ^∏/₁) ¹/_2π ⨉ ¹/₂]

Ricapitulado

a₀ = ²⁄_π , a₁ = 0 , a_k = ^(-1)k+1⁄_k²(k²-1) k > 2

b_z = ¹⁄₂ , b_k = 0 ∀k ≥ 2

a₀⁄₂ + a₁ cos x 1 b₂ sen x + ∑_k=2^+∞ a_n cos kx + b_k sen kx =

= ¹⁄_π+ ¹⁄₂ sen x + ∑_k=2^{+∞ (-1)k+1}⁄_k²(k²-1) cos kx =

= ²⁄_π+ ¹⁄₂ sen x + ∑_k=1^{+∞ 1-1}⁄_(2k)²-1 cos 2kx =

= ¹⁄_π+ ¹⁄₂ sen x + ²⁄_π ∑_k=1^{+∞ 1}⁄_4k²-1 cos 2 kx = g(x) ∀xεℝ

Ora ci calcoliamo la somma delle 2 serie numeriche:

∑_k=1^{+∞ 1}⁄_4k²-1 ∑_k=1^{+∞ (-1)k}⁄_4k²-1

X = 0

¹⁄_π+ ²⁄_π ∑_k=1^{+∞ 1}⁄_4k²-1 = β(x)

∑_k=1^+∞1⁄_k² = ^π2⁄₆ = ∑_k=1^+∞1⁄_(2k)² = ^π2⁄₂₄ ^-π⁄₂

X = π⁄2

¹⁄_π-²⁄_π∑_k=1^+∞1⁄_4k²-1 con sin kx ^β(π⁄2)

¹⁄_π- ¹⁄₂ (-^π⁄₂) = 1

-²⁄_π∑_k=1^+∞(-1)k⁄_4k²-1+²⁄_π∑_k=1^+∞1⁄_4k²-1

= 1 - ¹⁄_π^(-1)k⁄_4k²-1∑_k=1^+∞

∑_k=1^+∞(-1)k+1⁄_4k²-1-

∑_k=1^+∞(-1)k⁄_4k²-1 = ¹⁄_π(^π⁄₂) - ^π⁄₂

E queste due sono le somme delle due serie

Ora facciamo un altro esercizio riguardante gli sviluppi in serie di Fourier. In particolare andiamo a considerare una funzione periodica a scrivere la serie di Fourier associata e a dedurre alcune proprietà:

f(x) = x-1     x ∈ [0,2]

ω = \(\frac{2\pi}{T}\) = \(\frac{2\pi}{2}\) = π

a₀ = \(\frac{2}{T}\) ∫_I f(x) dx

a_n = \(\frac{2}{T}\) ∫_I f(x) cos nx dx

b_n = \(\frac{2}{T}\) ∫_I f(x) sen nx dx

Vogliamo considerare un intervallo I centrato in 0, quindi I mette I pari [-1,1]. Se evidenziamo la nostra funzione in questo intervallo ci accorgiamo che la funzione che prendiamo è quella disegnata in VERDE, che NON è

ovviamente di funzione: (x-1), ma coincide con essa in [0,1] e dall’altra parte quello che si ottiene qua sotto, che è stata prodigata con periodica.

Osserviamo anche che detto d’segna in [-1,1] , risulta essere evidentemente DISPARI => a₀, a_k nulli.

quindi:

I = [-1;1] → DISPARI => a_n = 0

a_k = 0     ∀k∈N

b_k = ²/₂ ∫₀¹ f(x) senkx dx = ∫₀¹ (x-1) senkx dx =

= 2 ∫₀¹ (x-1) senkx dx = 2 ∫₀¹ (x-1) senkx dx =

= 2 [-(x-1)^coskx/_k] - ∫₀^{1 coskx}/_k dx

= 2 [-(x-1)^coskx/_k + ^senkx/_k²²] =

= 2 [-(−¹/_k)] = ²/_k = b_k

Ora siamo in grado di scrivere la questa serie di Fourier associata alle funzioni (x-1): x

X - 1 / ∫¹/_senkx¹/_coskx

+0 ∑_k=1 ²/^senkx/_k

Allora la serie di Fourier CONVERGE ma non converge a f(x) per tutte le x di R solo per x in cui la funzione che abbiamo preso e continua, pertanto la funzione di partenza NON e ESPRIMIBILE in serie di Fourier

Se nella serie di Fourier al posto di x sostituire 1/2, otteniamo

X=¹/_{2 k=1}^{∞ 2}/^{senk/_k = 1/_{2 ≈ 0} (cosa in quanto la funzione f assume 1 in seno}

1/2

Aggiustiamola un po’:

²/ ∑_k=1^{∞ senk}/_k = ¹/₂

questo ci autorizza a dire che la serie è univ. dir. daport. paratin cui PAN e voluta. Quindi

3 / 2 = ⁿ/_k

sen^k

senk / 2

senk / 2 , k = pari

senk / 2 , k è dispari