Esercizi sulle serie

ESERCIZIO 1

Studiare in ℝ la convergenza puntuale ed uniforme di

f_n(x) = ^nx/_1+n²x²

a) f(x) = lim_x→∞ f_n(x) = 0 ∀x ∈ ℝ

x ≠ 0

f_n(x) = ^nx/_1+n²x² → 0

∴ f_n(x) → f(x) = 0

Sup |f_n(x) - g_n(x)| = sup_x∈ℝ| ^nx/_1+n²x² | = sup ^|x|/_1+n²x²

b) g_n(x) = ^|x|/_1+x² è pari g_-n(x) = g_n(x)

∀u ∈ [0,u∞[

g_u(x) = ^u/_1+n²x² ≥ 0

lim_x→∞ g_n(x) = 0

g_x(x) = ^{n (1+n2x2) - n3x2 - 2n2x3 ]/_(1+n2x2)2}

= ^n-1 /_(1+n²x²)²

g' _n (x) = 0 x=0

g' _n(x) > 0 ⇔ x solo se x 1-nx² > 0 x > ¹/_n

g' _n(x) < 0 x solo se

1/_n è punto di maximum

g_max(1/n) = ¹/_1+n²∙1 = ¹/₂

Non vi è convergenza uniforme.

Esercizio 1

Studiare in ℝ la convergenza puntuale ed uniforme di:

\[ \{f_n(x)\} = \frac{\sen \, nx + x}{n} \]

\(\frac{\sen \, nx + x}{n} \to f(x) = x\) se \(x \in \mathbb{R}\)

\(\sup_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| = \left|\frac{\sen \, nx + x}{n} - x \right| = \left| \frac{\sen \, nx + x + nx - nx}{n} \right| = \left| \frac{\sen \, nx}{n} \right|\)

\(\left| \frac{\sen \, nx}{n} \right| \leq \frac{1}{n} \, \forall n \in \mathbb{N} \, \forall x \in \mathbb{R}\)

Q.E.D. \(\sup_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \leq \frac{1}{n} \, \forall n \in \mathbb{N}\)

Condizione convergenza uniforme

In questo caso vi è convergenza uniforme in tutto ℝ.

Esercizio 2

Studiare nell'intervallo \([0,1]\) il passaggio al limite sotto al segno di integrale di:

\(\{f_n\}\), \(f_n(x) + \frac{nx^2}{2}\)

1° il numeratore deve sparire e il grafico deve essere simmetrico rispetto all'origine.

f_n(x) : 0 → ∞

\(x \to f_n(x) = \frac{\mu x}{e^x} \to 0\)

∫₀¹ \(\frac{x e^\mu}{e^\frac{nx^2}{2}} \, dx\) = ∫₀¹ \((-e^\frac{nx^2}{2}) dx\) = \(-\left[ e^{-\frac{nx^2}{2}}\right]_{0}^{1}\) → \(e^{-\frac{a \cdot∞}{2}} \to 0\)

∫_{0 \(_\mu\) dx = 0.}

y₀(x) = 2 \(\mu x e^{-\frac{x^2}{2}}\)

Esercizio 8

Studiare la convergenza di ∑_k=0^∞ (k+3,5)(x-i)^-k

x=0

lim_k→∞ (u_k+1)+5 u_k+1= (x-1)+5

x = 0,4 - x-1 = > 1

Il termine generale tende a 0,2

La serie non converge in x∈ IR\{0,2}

x tendente a (-1) a segni alterni.

l'oscillante

For x = 2

∑ (u_k)(4-1)^-k diverge particolarmente.

Esercizio 8

Studiare la convergenza di ∑_k=0^∞ x^k/(k/2) serie di potenza di centro.

lim_k=∞ (u_k) = lim u_k+1/u_k+2

(x^k \ x)x^k+2 / x-1

x→1,x

lim X_k+2 / u = 1

u_k+1/(k/2) = o segni alterni.

u

∑ (u_k)+5x non crescenti?

(x+1)_k+2/2

(u+7+x)(u+5)