1. Piano di Gauss

Piano di Gauss

Richiamo: Fino ad ora abbiamo rappresentato x ∈ ℝ come un punto su di una retta orientata.

x₁ x₂ x₀ ∈ ℝ

Il piano può essere rappresentato in un sistema di riferimento cartesiano in cui si dispongano 2 rette orientate e ortogonali:

• asse verticale = ordinate; y ↔ y'
• asse orizzontale = ascisse; x ↔ x'

Il punto d'intersezione è chiamato origine 0

Ogni punto del piano si scrive nella forma (x,y) ovvero una coppia ordinata di valori in ℝ:

x ∈ ℝ: asse ascissey ∈ ℝ: asse ordinate

P₁(x₁, y₁) individua in modo univoco il punto nel piano.

Piano di Gauss e Numeri Complessi

Un numero complesso non è un numero in senso classico. Un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali.

ℂ è definito insieme dei numeri complessi:

• z ∈ ℂ ⟺ z = (a, b) con a, b ∈ ℝ

ℂ = { z: z = (a, b) con a, b ∈ ℝ }

Definiamo un nuovo insieme ℂ. Posso definire nuovamente le operazioni:

1. Non esiste il classico ordinamento definito in ℝ:
2. Riduco a ordinamento tra ℝ, x ≧ y se x ≧ y_ℝ

Operazioni

Tra z, w ∈ ℂ con z = (a, b) e w = (c, d)

• Somma

z + w = (a, b) + (c, d)

def=lambda (a, b) +(c, d)= (a+c, b+d)

Esempio:

• z = (a, 0)
• w = (-4, -3)

z + w = (a, 0) + (-4, -3) = (0, -3) = 3π.ppo

Proprietà

Valutazione: z + w ∈ ℂ

Dimostrazione:

• (a + c) è un numero reale
• (b + d) è un numero reale

ℂ: chiuso rispetto l'operazione di somma

Es: ℝ è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazione e sottrazione ma non è chiuso rispetto all'estrazione di radice.

Nota 1: La somma è commutativa. Tutte le proprietà ben note della somma in ℝ.

1 - Piano di Gauss

Richiamo: ℝ fino ad ora abbiamo rappresentato ℝ come un

punto su di una retta orientata

x₁ x₂ ℝ

•---------•---------•---------•---------•---------•

•----●-----------■-------------------⚫--------⚫-----• x₀ x₁ x₂

•---------•---------•---------•---------•---------• ℝ

2) Nel piano può essere rappresentato in un sistema di riferimento

cartesiano nel quale si dispongano 2 rette orientate

ortogonali chiamate :

y: asse verticale o ordinata

x: asse orizzontale o ascisse

Il punto d'intersezione è chiamato origine O

Ogni punto del piano si scrive nella forma (x, y)

ovvero una coppia o ordinata di valori in cui:

x ∈ ℝ : asse ascisse

y ∈ ℝ : asse ordinate

P₁ (x₁, y₁) : rappresenta in modo univoco il punto nel piano

P₄=(-4,3)

Piano di Gauss / Numeri Complessi

Un numero complesso non è un numero in senso "classico".

Un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata

di numeri reali.

ℂ def: Insieme dei numeri complessi

ℂ := {(a,b) con a,b ∈ ℝ}

ℂ = ℝ :

valore:

Operazioni

• somma

Opera z = a+bi

a,b ∈ ℝ

somma

somma:

somme, e e no

dei numeri: (a+ c+b+d)

(a,b)+(c,d) def

te la completa asso ordinaria di R

chiusd rispetto all'operazione di somma.

a ℝ

x ∈ ℝ

y ∈ y

prop prieta'

• z=
• w=

es z:

valore

modo unico: 0=1 : h p: somma, moltiplicazione

def

in in in s

(0,-3);

le numero

e

viva e il adue note

Es:

IR è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazionema non è chiuso rispetto alla sottrazione e al quoziente.

Oss 1:

La somma tra le coordinate tutte le coppie di della gamma in IR

Oss 2:

z = (a,b) + (c,0) + (0,b)2 elementi che sommati danno z

Osservazioni ovvie ma fondamentaliElemento neutro rispetto alla somma n_s = (n₁,n₂)

def ∀ z ∈ z = x + n_s = z z + n_s = z

Ovvio: (x_n, b) + (n₁, n₂) = (a+x, b+n_s) = (a,b)

x∈, n₁ = y - a = x∈_os; n = 0 ⇒ n_s = (0,0)

Es 3:

Ovvio: = (-3,4,1)z = (0,0) = (-3,_s1) + (0,0) = (-3,4,1)

Proprietà:

n_s è unico.Per la somma (a+b) = (n_s+1)(a+b+n₂+1) = (a,b)vero ⇒ b = 0x yn_s = z, x = n_s → n_s = n(1