1. Piano di Gauss

1 - Piano di Gauss

Richiamo: Fino ad ora abbiamo rappresentato ℜ come un punto su di una retta orientata.

x₀ |-----0-----| x₁ |----->

ℜ

x₀ < x₁

1)

Nel piano può essere rappresentato un sistema di riferimento cartesiano in cui si disegnano 2 rette orientate e ortogonali chiamate: asse verticale, "ordinata", y per convenzione; asse orizzontale, "ascissa", x per z.

Il punto d'intersezione è chiamato origine O.

Ogni punto del piano si scrive nella forma (x,y) ovvero una coppia ordinata di valori in xiℜ : asse ascisse

yεℜ : asse ordinate

P₁(x₁,y₁) : individua in modo unico il punto nel piano.

• P₂(x₂,y₂)

PIANO DI GAUSS

NUMERI COMPLESSI

Un numero complesso non è un numero in senso "classico". Un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali.

• ℂ : Insieme dei numeri complessi
• x ε ℂ ⇔ x = (a,b) a,bεℜ
• ℜ ≠ ℂ ⇔ x : z = (a,b) con a,bεℜ

oss:1 Definiamo un nuovo insieme, e dunque definiamo nuovamente le operazioni.

oss:2 Non esiste il classico ordinamento definito in ℜ ; Rif.₁: x₁ ℜy &impl; x ≤ y

Operazioni tra z,wεℂ con z=(a,b)

• Somma

x + w = (a,b) + (c,d) &df; (a+c,b+d)

somma tra l'ascissa e l'ordinata ↓

Somma tra numeri reali ↓

Es:

z = (4,0)

w = (-4,-3)

z + w = (4,0) + (-4,-3) = (0,-3) z + w ε ℂ

Proprietà

• ∀uεℜ z+w ε ℂ
• Dim ( a+c ) = un numero reale ⟶ (a+c , b+d) ε ℂ
• ℂ è chiuso rispetto all'operazione + : somma
• ℜ è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazione ma non è chiuso rispetto all'estrazione di radice.

ES: R è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazione ma non è chiuso rispetto all’estrazione di radice.

OSS 1: R non è esteso tutto, per esempio ben note delle somme in R.

ES: (a, b) = (a, 0) + (0, b)

OSS 2: Elemento che sommo: Diamo z

Elemento neutro rispetto alla somma n_S = (n₁, n₂)

D_E z ∀ c ∈ R: x + z = x

Allora (c, b) + (n₁, n₂) = (a + n₁, b + n₂) = (a, b)

Se f(x) = α ^α ➔ n₁ = 0 ➔ n₃ = (0, 0)

∀(a, b):

x = (-3, 1)

z = (0, 0) = (-3, 1) + (0, 0, 0) = (-3, 4)

Proprietà: n₃ è unico.

OBS 2: Per la somma (a - b) + (n₁, x)

VERO: b ➔ b = 0

μ^Su_Kα ➔ d^Ra o₂ ➔ n₃ = n₂

OSS: Potremmo dire di...

da somme tra elementi: P.

OPPOSTO di x = z_i = -“altro polinomio”

⌊df⌋ ∀(a, b) ⊂ ^f: z = (a, b); x² = z₃ = n₂ = (0, 0)

Proprietà: ⌊Dio⌋

Dico: x₂ = (a, b) ⊂ (-a, -b)

Dico: z_i = (c, b) = (a, b)

es:

a (1 - 10, -20)

oz = a₂: -(2, 4)

1:

Osse: Una uguaglianza tra elementi P∈C 2 =ψ→ reali

Rappresentare z∈C

Richiamo: Così come si può rappresentare x∈R

Cerchiamo ora una interpretazione grafica di z = (a,b) ∈ C

Reg.: siano a,b∈R, ovvero 2 numeri reali.

Definiamo 2 assi ortogonali tra loro, orientati, che si intersecano in un punto chiamato origine O (0,0).

Poniamo: a = Re(z)

la prima componente è quel numero sull'asse reale.

b = Im(z)

la seconda componente è quel numero sull'asse immaginario.

Piano di Gauss

Piano cartesiano di Im

z = (a,b) forma cartesiana

Osse: Re può essere visto in C come (√2,0) ∈R

oppure come un elemento (0, -0) ∈ C con parte immaginaria nulla.

Richiamo: Tutti i numeri de d(z,0) esistono di z con 0.

d((x,y),0) = √(a²+b²)

(0 = (0,0)), z = (a,b) d(z,0) = √(a-c)²-(b-0)²)

dati 2 qualsiasi punti nel piano z = (a,b) 0 = c,d.

d(z,ω) = (a-c)² + (b-d)²

Modulo di z, │z│ = √z d(z,0) = √a²+b²

Osse: Modulo di (z-ω) = |z-ω| = d(z,ω)

3 cos^π/₃ + 3i sin^π/₃ + cos^π/₃ - i sin^π/₃

= 3 cos^π/₃ + sin^π/₃ (3i - 1)

= (3 sin^π/₃ + i cos 3)

= 3 (3/2) - (3√3/2) + i (3√3/2 + 4/2 - i 3/2)

|x| = ^√(3/2 - √3/2)i) + (√3/2 + 3√3)

Appunto: Trasforma z= 3+i

in forma esponenziale

x = ρ_x e ^iΘx

= |x| = |x e ^iπ/₃|

= |ρ_x e ⁱ(π/3 + Θx)|

= ρ_x