Appunti Topografia - parte 1

N

Il numero " la frequenza relativa della proprietà q sulle N prove

 q N q

Si verifica sperimentalmente che il esiste e si pone tale limite uguale alla

lim

 N

N→∞

probabilità che il risultato dell’esperimento verifichi la proprietà q

Legame diretto tra esperienza e schema teorico



Definizione assiomatica di probabilità (comprende entrambe le definizioni precedenti)

Assiomi = assunzioni che non possono essere verificate ma che poniamo alla base del nostro

ragionamento.

Si definisce la distribuzione di probabilità sulla base di assiomi (principio evidente per sé, e

che perciò non ha bisogno di esser dimostrato, posto a fondamento di una teoria deduttiva):

Sia S l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento.

Evento: si chiama evento un sottoinsieme dello spazio S (tra questi c’" l’insieme S stesso e

l’insieme vuoto Φ).

Spazio degli eventi: l’insieme di tutti i sottoinsiemi di S.

Distribuzione di probabilità: una distribuzione di probabilità " una regola che a tutti i

sottoinsiemi di S assegna un ordine di priorità mediante un numero tra 0 e 1: P( ) : E [0,1]

∙ →

Più precisamente S = insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento o insieme

degli eventi elementari si chiama anche spazio campionario. Nel caso del lancio di un

dado S = {1,2,3,4,5,6}

Un evento " un sottoinsieme qualsiasi di S. Per esempio, nel caso del lancio di un dado

eventi sono “pari” = {2,4,6}, “minore di 3” = {1,2}, ...

S può essere finito {a, b, c, d} o infinito {1,2,3, ⋯}

Assiomi:

P(S) = 1

 P(A) 0

≥

 ∀A∈E

4 P(A∪B) = P(A)+P(B) se A∩B =

 Φ se i due even non hanno nulla in comune

Se valgono questi assiomi " definita una distribuzione di probabilità



Esempio: Lancio di un dado non truccato

S = {1,2,3,4,5,6} spazio dei possibili risultati.

Si considerino i seguenti eventi:

A: “si presenti il numero 5”= {5} = evento elementare;

B: “si presenti un numero dispari” = {1,3,5};

C: “si presenti un numero minore di 7”= S = evento certo;

D: “si presenti un numero maggiore o uguale a 8” = evento impossibile.

Φ

Esempio: Lancio di una moneta ripetuto 3 volte

Evento: ottenere due o più volte testa= { TTT, TTC, TCT, CTT}

Quale dei seguenti eventi " l’evento “ottenere esattamente due teste”?

A = {CTT,TCT,TTC,TTT} B = {CTT,TCT,TTC} C = {TCT,CTT}

Osservazioni:

La teoria della probabilità si occupa di esperimenti il cui esito " incerto (es. lancio di un dado,

estrazione di una pallina da un’urna, ...).

Essa si occupa di: assegnare delle “probabilità” a tutti gli esiti possibili; di predire

(probabilisticamente) l’esito degli esperimenti futuri (es. la probabilità di successo di

un’operazione); costruire regole di calcolo per studiare fenomeni più complessi.

È un’applicazione della teoria degli insiemi.

Operazioni con gli insiemi:

Teorema della probabilità totale:

La probabilità dell’unione di due eventi " pari alla somma della loro probabilità meno la

̀

probabilità della loro intersezione.

P( ) = P( ) + P( ) P( )

−

∪ ∩

E E E E E E

1 2 1 2 1 2

5

Si considerino gli eventi A, L, R:

Complementare: P( ) = 1 P(A)

C −

 A

Se L e R sono disgiunti allora P(L R) = P(L) + P(R)

 ∪

Per qualsiasi L e R: P(L∪R) = P(L) + P(R) P(L

−

 ∩R)

La probabilità condizionata

Si definisce probabilità dell’evento A condizionata all’evento B

P A ∩ B P AB

( ) ( )

=

P(A | B) = P B P B

( ) ( )

P(A | B) " la probabilità che si verifichi A posto che sia accaduto B

 DEF: si dice che un evento A " stocasticamente indipendente da B se P(A | B) = P(A) (se A

 e B sono indipendenti il verificarsi di B non ha influenza sull’evento A)

Teorema della probabilità composta:

Condizione necessaria e sufficiente affinché A e B siano indipendenti " che P(AB) =

 P(A)P(B)

Se A " indipendente da B, allora B " indipendente da A

 Si può dimostrare inoltre che P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)



Teorema della probabilità totale o assoluta:

Siano , , ..., un insieme di eventi disgiunti ( = j i ≠ j) tali da formare una

∩ ∀i,

Φ

E E E E E

1 2 n i j

partizione di S (S = ) si può dimostrare che: dato B dipendente da tutti gli , , ...,

n E E E E

i 1 2 n

i=1

si ha n E E

❑ i i

i=1

P(B) = P(B| )P( )

Esempio:

6

In una popolazione il 15% degli individui " a rischio di ammalarsi di una certa malattia. E’

noto che la probabilità di ammalarsi per un soggetto a rischio " pari a 0.2, mentre per un

soggetto non a rischio " 0.06. Calcolare la probabilità di ammalarsi dell’intera popolazione.

SOLUZIONE: Si divide tutta la popolazione in due insiemi disgiunti: soggetti a rischio (evento

E E

) e soggetti non a rischio (evento ).

1 2

E

P( )=0.15;

1

E

P( )=1 0.15=0.85

−

2 E

P(B | ) = probabilità di ammalarsi di un soggetto a rischio = 0.2

1

E

P(B | ) = probabilità di ammalarsi di un soggetto non a rischio = 0.06

2 E E E E

P(B) = P(B | )P( ) + P(B | )P( ) = 0.2 0.15 + 0.06 0.85 = 0.081 = 8.1 %

⋅ ⋅

1 1 2 2

Esempio:

Una classe ha 50 studenti, tra questi 20 sono maschi (M) e 25 hanno gli occhi scuri (B).

Scegliendo uno studente della classe a caso qual " la probabilità che sia un maschio e che

̀

abbia gli occhi scuri? [si ricordi il teorema della probabilità totale P(M B) = P(M) + P(B) −

∪

P(M B)]

∩

SOLUZIONE: si deve calcolare P(M B) = P(M) + P(B) P(M B)

−

∪ ∩

P(M) = 20/50

P(B) = 25/50

P(M) + P(B) = 0,9

Il massimo si ha quando l’intersezione " vuota (tutti i maschi non hanno occhi scuri), il

minimo si ha quando tutti i maschi hanno gli occhi scuri quindi P(M∩B) = 20/50 = 0,4

Risposta corretta 0,5 ≤ p ≤ 0,9

VARIABILE CASUALE 1D : caso mono-dimensionale

una variabile casuale " una “funzione” definita su

 uno spazio di probabilità che associa allo spazio

degli eventi un numero reale

assegna un numero ad ogni realizzazione di un

 certo evento

X:S→R



7

Si dice spazio campione l'insieme S di tutti i possibili risultati di un esperimento.

Uno spazio campione " finito se " composto da un

numero finito di elementi come, ad esempio, lo spazio

campione corrispondente al lancio di un dado:

{1,2,3,4,5,6}

Uno spazio campione " infinito se " composto da infiniti

elementi; il numero di volte che bisogna lanciare un dado

per ottenere 6, rappresenta un esempio di spazio

campione infinito.

Definiamo evento un sottoinsieme E dello spazio campione S (S S).

⊆

La variabile casuale " discreta se associa numeri discreti, " continua se associa un intervallo

qualunque della retta reale.

Dato un certo evento (lancio di una moneta) si definisce lo spazio S di tutti i possibili risultati

({T, C}), la variabile casuale associata a questo evento associa ai possibili risultati la retta dei

numeri reali.

La variabile algebrica " una variabile che ha un valore incognito che " possibile determinare:

4 + x = 10 x = 6 (lettera minuscola)

→

La variabile casuale " associata ad un INSIEME di valori e può assumere in modo casuale

ciascuno di questi con una certa probabilità: X = {1,2,3,4} (lettera maiuscola)

La variabile casuale " completamente definita da una delle seguenti funzioni:

F

la funzione di distribuzione ( ), F : R [0,1] con la stessa definizione sia per

→

 ⋅

X

variabili discrete che continue f

la funzione densità di probabilità ( )

 ⋅

x

LA

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE F

La variabile casuale " caratterizzata dalla sua funzione di distribuzione (⋅), che ha dominio

X

sulla retta reale e codominio in [0,1]

8 F

F : R [0,1] tale che (x) = P [X x] = P [ s : X(s) x] R

≤ ≤

→ ∀x ∈

X

Questa funzione permette quindi di associare una probabilità agli eventi descritti dalla

corrispondente variabile casuale. E

Questa definizione sottintende che gli insiemi = {s: X(s) x} siano eventi per i quali "

≤

x

definita la funzione di probabilità.

La funzione di distribuzione " “" la probabilità accumulata a sinistra”.

La funzione di distribuzione consente di rappresentare graficamente l’andamento della

probabilità degli eventi associati alla variabile casuale.

Proprietà della funzione di distribuzione:

lim F (x) = 0

 X

x→−∞

lim F (x) = 1

 X

x→+∞

( ) ( ) >

≥

 ∀

F x F x x x

X 2 X 1 2 1

La funzione di distribuzione può essere definita sia per variabili casuali discrete (in questo

caso " una funzione a gradini) che continue (in questo caso " una funzione continua)

Esempio: Si consideri il lancio di un dado non truccato i risultati possibili sono le facce da 1 a

̀ F

6 (ciascuna con probabilità 1/6). (x) = P(X x)

≤

X

=

 

p

i )=1

x i

P(X=

= P(X = ) = ( ) – ( )

p x F x F x

i i X i X i−1

9

-Nota la funzione di distribuzione " possibile calcolare la probabilità di certi eventi

P(2 < X 5) = F(5) – F(2) = 5/6 – 2/6 = 3/6

≤

P(X = 3) = P(X 3) P(X < 3) = F(3) F(2) = 3/6 – 2/6 = 1/6

≤ − −

P(2 < X < 4) = P(X 4) P(X 2) P(X = 4) = F(4) F(2) – 1/6 = 1/6

≤ − ≤ − −

Esempio: Sia X descritta in tabella:

F( 1) = 2/4

−

 F(0) = 3/4

 F(0.5) = 3/4

 F( 5) = 0

−

 F(5) = 1

 lim F a lim F a

( ) ( )

F " non decrescente e = 0 = 1

x→−∞ x→+∞

Sia X descritta in tabella:

P(X 3) = ?

≤

 P(X = 3) = ?



Esempio: Quale dei seguenti

grafici " una funzione

di distribuzione valida?

2 e 3 perché deve

avere valori positivi ed

essere monotona

crescente.

Funzione di distribuzione:

x (t) dt

F (x) =: P(X x) = f

∫

≤

X X

−∞

P(c x d) = P(c < x < d)= P(c x &l