Vetori geometrici

1 Vettori geometrici

Definizione 1.1. Due segmenti orientati AB e CD aventi stessa direzione, stesso

≈

verso, stessa lunghezza si dicono equipollenti. Scriveremo AB CD.

Osservazione 1.2. Si verifica che l’equipollenza di segmenti orientati gode delle

seguenti proprietà: ≈

1. riflessiva: AB AB;

≈ ≈

2. simmetrica: AB CD =⇒ CD AB;

≈ ≈ ≈

3. transitiva: AB CD e CD EF =⇒ AB EF .

Definizione 1.3. Sia AB un segmento orientato. L’insieme di tutti i segmenti

orientati equipollenti ad AB si dice vettore geometrico. Sriveremo:

−

⃗v = B A o anche B = A + ⃗v .

Osservazione 1.4. Siano ⃗v un vettore e P un punto dello spazio. Esiste uno ed

−

un solo punto Q tale che ⃗v = Q P .

−

Definizione 1.5. Sia v = B A. Ciascun segmento orientato equipollente ad

AB si dice rappresentante di ⃗v . |⃗v |

Definizione 1.6. La direzione, il verso, il modulo di ⃗v sono rispettivamente

la direzione, il verso, la lunghezza di uno qualsiasi dei suoi rappresentanti.

≡ −

⃗

Definizione 1.7. Se A B il vettore 0 = B A si dice vettore nullo.

|

⃗ ⃗

Il vettore 0 è privo di direzione e verso ed è 0| = 0.

|⃗v | ⇐⇒ ⃗

Osservazione 1.8. = 0 ⃗v = 0.

Indicheremo con V e V rispettivamente l’insieme di tutti i vettori geometrici

2 3

del piano e dello spazio.

In V definiamo la somma di due vettori geometrici e il prodotto di un vettore

3

per uno scalare reale.

∀⃗v − − ∈

Definizione 1.9. = P P, w

⃗ = P P V poniamo

1 2 1 3

− ∈

⃗v + w

⃗ = P P V ;

2 3

∀λ ∈ R ∀⃗v ∈

e V indicheremo con λ⃗v il vettore avente

3

• |λ⃗v | |λ||⃗v |,

=

• direzione quella di ⃗v , 1

• verso quello di ⃗v oppure il verso opposto a seconda che λ > 0 oppure λ < 0.

∀λ ∈ R.

⃗ λ⃗ ⃗

Per l’osservazione 1.8 si ha 0⃗v = 0 e 0 = 0

−⃗v −1⃗v

Indicheremo con il vettore che ha modulo uguale al modulo di ⃗v ,

stessa direzione di ⃗v e verso opposto a quello di ⃗v .

Un vettore di modulo 1 si dice unitario.

Se ⃗v è un vettore non nullo si dice versore di ⃗v e si denota vers⃗v il vettore

unitario che ha la stessa direzione e lo stesso verso di ⃗v , cioè il vettore:

( )

⃗v 1

vers ⃗v = = ⃗v .

|⃗v | |⃗v |

Osservazione 1.10. Se ⃗v e w

⃗ sono entrambe non nulli il segmento orientato

P P è la diagonale del parallelogramma individuato dai segmenti orientati P P

2 1

e P P pertanto un rappresentante di ⃗v + w

⃗ è la diagonale del parallelogramma

1 2

individuato da ⃗v e w.

⃗

Dalla definizione di somma e per l’osservazione 1.10 segue che la somma è

∀⃗v ∈

associativa e commutativa cioè: , w,

⃗ ⃗u V si ha:

3

• (⃗v + w)

⃗ + ⃗u = ⃗v + ( w

⃗ + ⃗u

),

• ⃗v + w

⃗ = w

⃗ + ⃗v .

Inoltre

• ∈

⃗

Il vettore 0 V è l’elemento neutro della somma;

3

• ∀⃗v ∈ −⃗v ∈

V , V è l’opposto di ⃗v .

3 3

Infine si verifica che sono soddisfatte le seguenti proprietà:

∀λ, ∈ R ∀⃗v ∈

µ e , w

⃗ V

3

• λ(⃗v + w)

⃗ = λ⃗v + λ w,

⃗

• (λµ)⃗v = λ(µ w),

⃗

• (λ + µ)⃗v = λ⃗v + µ⃗v ,

• 1⃗v = ⃗v .

Possiamo quindi concludere che R-spazio

Proposizione 1.11. L’insieme V dei vettori geometrici è un vettoriale.

3 2

2 Lineare dipendenza in V 3

Definizione 2.1. Diremo che due vettori non nulli ⃗u, ⃗v sono paralleli se presi due

loro rappresentanti P P e P P aventi l’origine in uno stesso punto P esiste una

1 2

retta contenente P, P , P .

1 2

Definizione 2.2. Diremo che tre vettori non nulli ⃗u, ⃗v , w

⃗ sono complanari se

presi tre loro rappresentanti P P , P P , P P aventi l’origine in uno stesso punto

1 2 3

P esiste un piano contenente P, P , P , P .

1 2 3

R-spazio

Proposizione 2.3. Nell’ vettoriale V dei vettori geometrici si ha:

3

∈ ⇐⇒ ⃗

1. ⃗u V è linearmente dipendente ⃗u = 0;

3

∈ − { ⇐⇒

⃗

2. ⃗u, ⃗v V 0} sono linearmente dipendenti ⃗u e ⃗v sono paralleli;

3

∈ −{ ⇐⇒

⃗

3. ⃗u, ⃗v , w

⃗ V 0} sono linearmente dipendenti ⃗u, ⃗v , w

⃗ sono complanari;

3

4. quattro vet