Funzioni Reali e Vettori Geometrici (Teoria + Esempi)

Funzioni reali

Sia F(ℝ) l'insieme di tutte le funzioni reali definite in ℝ, ovvero:

F(ℝ) = {f : ℝ → ℝ}

Definiamo in F(ℝ) un'operazione interna +: F(ℝ) x F(ℝ) → F(ℝ) ponendo

∀_f,g ∈ F(ℝ) f+g : x ∈ ℝ → f(x) + g(x) ∈ ℝ

Esempio

Se f : x ∈ ℝ → cos x ∈ ℝ e g : x ∈ ℝ → (x+1)² ∈ ℝ allora

f+g : x ∈ ℝ → cos x + (x+1)² ∈ ℝ

Sia F(ℝ) l'insieme di tutte le funzioni reali definite in ℝ, ovvero:

F(ℝ) = { f : ℝ -> ℝ }

Definiamo in F(ℝ) un'operazione interna + : F(ℝ) x F(ℝ) -> F(ℝ) ponendo

∀ f, g ∈ F(ℝ) f+g : x ∈ ℝ -> f(x) + g(x) ∈ ℝ

Esempio

Se f : x ∈ ℝ -> cos x ∈ ℝ e g : x ∈ ℝ -> (x+1)³ ∈ ℝ allora

f+g : x ∈ ℝ -> cos x + (x+1)³ ∈ ℝ

Si può verificare che:

1. F(ℝ, +) è un gruppo abeliano: l'elemento neutro è la funzione nulla, ovvero:

f: ℝ → ℝ → 0 ∈ ℝ f costante nulla

Definiamo in (F(ℝ) un'operazione esterna ponendo ∀k ∈ ℝ ∀f ∈ F(ℝ)

k · f: ℝ → ℝ → k · f(x) ∈ ℝ

Esempio

Se k = 3√2 a, ρ : ℝ × ℝ → ℝ* × ℝ* × ℝ* → ℝ =√? k · ρ : ℝ* × ℝ → 3√2u* · e × ℝ

Si può verificare che:

1. a · (f₁ + g₂) = a · f₁ + a · g₂
2. (a + b) · f = a · f + b · f
3. (a · b) · f = a (b · f)
4. 1 · f = f

∀ a, b ∈ ℝ∀ f, g ∈ F(ℝ)

F(ℝ) è detto spazio delle funzioni reali

Vettori geometrici

Un segmento orientato dello spazio è un segmento AB su cui è fissato un ordine per i suoi estremi.

L'ordine fissato: A precede B. Tale segmento orientato è rappresentato dal simbolo

Se A = B il segmento è detto segmento orientato nullo e si rappresenta con il simbolo.

Notevoli caratteristiche geometriche:

1. Modulo di AB↔

|AB↔| = lunghezza del segmento AB rispetto a una fissata unità di misura.

2. Direzione di AB↔

Retta contenente AB↔

3. Verso di AB↔

A precede B.

Due segmenti orientati AB↔ e CD↔ paralleli si dicono concordi se AB↔ e CD↔ sono contenuti in uno stesso semipiano determinato dalla retta AC.

Equivalenti

Due segmenti orientati AB e CD si dicono equivalenti se:

1. Hanno stesso modulo
2. Hanno direzioni parallele o coincidenti
3. Sono concordi

➡ AB è equivalente a CD

➡ AB ≈ CD

Un vettore geometrico dello spazio è l'insieme di tutti i segmenti orientati dello spazio equivalenti a un fissato segmento orientato AB

[AB] = vettore geometrico determinato dal segmento orientato AB

Se AB ≈ CD ➔ [AB] = [CD]

Regola del parallelogramma

Sia V₃ l'insieme di tutti i vettori geometrici dello spazio.

Dato V₃ il operazioni interne +: V₃ × V₃ ➔ V₃, ponendo

[AB] e [CD] due vettori geometrici di V₃.

Sia AD' un segmento orientato equivalente a AB' del segmento AC

Si può dimostrare che:

(V₃, +) è un gruppo abeliano. L'elemento neutro di (V₃, +) è il vettore geometrico nullo [O]

Definiamo in V₃ un'operazione esterna: R × V₃ ➔ V₃

Siano k ∈ R e [AB] ∈ V₃, abbiamo 3 casi:

1. k = 0 oppure [AB] = [O], In tal caso poniamo:

k · [AB] ≠ [O]

k > 0 e [AB] ≠ [O]

Definiamo il segmento orientato _AB|_AB'| = k · |_AB|

_AB' e _AB hanno stessa direzione

_AB' e _AB sono concordi:

Allora si definisce k · _AB = [_AB']

1. k AB' ≠ [0]

Definiamo il segmento orientato _AB'|_AB'| = |k| · |_AB| = (-k) · _AB

_AB' e _AB hanno stessa direzione

_AB' e _AB sono discordi:

=> si definisce k · [_AB] = [_AB']

Si possono verificare le proprietà:

1. h · ([_AB] + [_CD]) = h · [_AB] + h · [_CD]
2. (h + k) · _AB = h · _AB + k · _AB
3. (h · k) · _AB = h · (k · _AB)
4. 1 · _AB = _AB

∀h, k ∈ ℝ∀_AB, _CD ∈ ℇ₃

ℇ₃ è detto spazio vettoriale geometrico.

Spazio vettoriale "insulto" su ℝ²

Se ℝ_(+,·) un campo dove 0,1 sono gli elementi neutri rispetto a + e ·

Definiamo su ℝ² un’operazione interna + : ℝ² x ℝ² -> ℝ² ponendo

(x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁ + y₁ + t, x₂ + y₂ + t)

Esempio

(2, λ) + (0, -λ) = (3, 1)

L’operazione + : ℝ² x ℝ² -> ℝ² è associativa, posti u = (x₁, x₂), v = (y₁, y₂), w = (z₁, z₂)

(u + v) + w

( (x₁ + y₁ + t) + z₁ + t, (x₂ + y₂ + t) + z₂ + t )

= (x₁ + y₁ + t + z₁ + t, x₂ + y₂ + t + z₂ + t)

= (x₁ + (y₁ + z₁) + t, x₂ + (y₂ + z₂) + t)

= ((x₁, x₂) + (y₁ + z₁, y₂ + z₂) + t )

= (x₁ + y₁ + z₁ + 2t, x₂ + y₂ + z₂ + 2t)

= ((x₁, x₂) + ((y₁, y₂) + (z₁, z₂)) + t) : (u + v) + w

Operazione + : K² x K² -> K² è commutativa infatti:

(u₁ + u₂ (x₁, x₂)(y₁, y₂ )

(x₁ + y₁, x₂ + y₂ + Δ) = = (u₁ + y₁; u₂ + y₂ + Δ)

= (y₁, y₂ ) ∘ (x₁, x₂ ) = u + v

Esiste l’elemento neutro, ovvero Ω = (- Δ, - Δ) infatti:

(x₁, x₂) + ( Δ, - Δ) = (x₁ + (- Δ) + Δ, x₂ + (- Δ) + Δ) = (x₁, x₂) = u

Ogni elemento di K² e’ invertibile infatti inverso di (x₁, x₂) e’ (x₁ + 2, - x₂ + 2) infatti

(x₁, x₂) = ( - x₁, x₂ )

Abbiamo che (K² + Υ) è un gruppo abeliano

Definiamo in K² un’operazione esterna : K x K² -> K² ponendo ∀ d∈K,∀ (x₁, x₂) ∈ K²:

d (x₁, x₂) = (d ⋅ x₁ + d ⋅ Δ, d ⋅ x₂ + d - 1)

Esempio

( -Δ, -Δ) = ( -6, ≠, 3- Δ, 3 + 7 - 1) = ( -u, 5)

∀ d∈ K, e ∀ u∈ K², si ha:

d (u + v) = d ⋅ u + d ⋅ v, infatti

d (u + v) = = d(((x₁, x₂) + (y₁, y₂ )) = d (x₁ + y₁ + Δ, x₂ + y₂ + Δ)

= μ₁, x₂, + d t ⋅ Δ, d ( x₂, y₂, t inf^• (d ⋅ x₁, d ⋅ x₂, + d - 1)

= (d ⋅ a_{x1 + y1 + d Δ, s - Δ)}

Δ, x=_{2, d ⋅ -Δ + 1 Δy2+ d - 1) = d}

= ((dx₁ + d² + Δ+ ty +d ⋅ x₂ + (d₂. x)_{3, m2, d + a1) = ((d x1 dx + d = + d}3)

∀ λ ∃ β ∈ K, ∀ u ∈ G² si ha:

(a, β) · u = a · (β, u), infatti...

= d₂(βx₁, x₂)

4) ∀ u ∈ G₂, si ha:λu = u_{λ ⇔}= (x₁, x₂) = u

V è uno spazio vettoriale sul campo K

Legge di annullamento del prodotto

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K in cui vale la seguente legge:

a ∈ K u ∈ V ⇒ a · μ = θ ⇔ a = θ oppure μ = θ

Per la (①)

Per la (②)

Per la (③)

Per la (④)

Per la (⑤)

μ = θ

Scansionato con CamScanner

Conseguenza

∀ r ∈ V consideriamo i vettori r, v ∈ V (inverso additivo di V) ∃ (-λ) ∈ V (prodotto esterno di -λ ∈ K per v) Si ha:

-v = (-λ) ∙ v infatti

⇒ v + ((-λ) ∙ v) = λ ∙ v + (-λ) ∙ v = λ ∙ v + ((-λ) ∙ v) = 0 ∙ v = 0

Più in generale si ha che ∀ a ∈ K, ∀ v ∈ V si ha (-a ∙ v) = (-a) ∙ v infatti

∀ 0: λ ∙ v + (-a) ∙ v = (a + (-a)) ∙ v = 0 ∙ v = 0

Sistema di vettori

Un sistema di vettori di V è una "collezione" di vettori di V non necessariamente distinti, cioè in cui dei vettori possono comparire più volte.

Esempio

A = [u, v, w] A [u, v, v, w] mentre [u, v, w] ≠ 3 [u, v, w]

Osserva

In Algebra lineare, si ha l'esigenza di considerare sistemi di vettori in cui alcuni vettori possano comparire più volte.

Sia A = [v₁, v₂, ..., vₙ] un sistema di vettori di V. Possiamo considerare la seguente combinazione lineare:

λ₁ v₁ + 0 ∙ v₂ + ... + 0 ∙ vₙ = 0 (Per la legge)

Il sistema A si dice linearmente indipendente e libero se l'unica combinazione lineare dei vettori di A uguale al vettore nullo è quella in cui i coefficienti sono tutti uguali a zero.

Esempio

in K³ A = [(λ,0,0), (0,λ,0) (0,0,λ)]

a (λ,0,0) + b (0,λ,0) + c (0,0,λ) = (0,0,0)

(a,b,c) = (0,0,0) ⇒ a=b=c=0

Combinazione lineare

∀ λ, ν ∈ V ai, a1, ..., a_n ∈ K.

Si definisce combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n con coefficienti a₁, a₂, ..., a_n il vettore.

a₁∙ v₁ + a₂∙ v₂ + ... + a_n∙ v_n a_n, v ∈ V

Esempio

in K³ 2∙(λ,0,λ) + 3 (0,0,λ) +λ(0,λ,λ) + (λ, λ, 2) =(-2,0,0) + (-3,0,3) + (λ,λ,2) = (-3, -λ, -λ)

in K⁻² 5 (0 2) + λ (1 1) + 2(2 5) = (5 5) 5 0 λ 2