Problemi di distanza fra enti geometrici: Appunti di Disegno

PROBLEMI DI DISTANZA FRA ENTI GEOMETRICI

1. DISTANZA FRA 2 PUNTI - E' DATA DALLA VERA FORMA (LUNGHEZZA) DEL SEGMENTO PQ

MODELLO SPAZIALE

PQ È IL SEGMENTO IN VERA FORMA

Q È LA REALE INCLINAZIONE DEL SEGMENTO IN VERA FORMA

PROIEZIONE ORTOGONALE

IL PROBLEMA SI RIDUCE AD INDIVIDUARE LA DISTANZA DAL PUNTO DI VISTA GRAFICO

ASSEGNATE LE PROIEZIONI DEI DUE PUNTI:

1. INDIVIDUO UN ASSE DI ROTAZIONE IN P1 E RUOTO Q1' IN MODO CHE LA PRIMA PROIEZIONE DEL SEGMENTO RISULTI PARALLELA A T3, OTTENENDO COSI' Q1'RUOTATO
2. MENTRE Q1 RUOTA RISPETTO A P1', SUL T3, Q1'' SI SPOSTA ORIZZONTALMENTE, OTTENENDO COSI' Q1'' TRASLATO

Problemi di distanza fra enti geometrici

1. Distanza fra 2 punti - E' data dalla vera forma (lunghezza) del segmento PQ

   Modello spaziale

   PQ è il segmento in vera forma

   Q' è la reale inclinazione del segmento in vera forma

Proiezione ortogonale

Il problema si riduce ad individuare la distanza dal punto di vista grafico assegnate le proiezioni dei due punti :

1. Individuo un’asse di rotazione in P' e ruoto Q' in modo che la prima proiezione del segmento risulti parallela a T₂, ottenendo così Q'_ruotato

2. Mentre Q'₁ ruota rispetto a P'₁ sull'asse T₂, Q'₁ si sposta orizzontalmente, ottenendo così Q'' traslato

POSSO CERCARE LA VERA FORMA DEL SEGMENTO ANCHE PARTENDO DALLA SECONDA PROIEZIONE

1. INDIVIDUO UN'ASSE DI ROTAZIONE IN P1 E RUOTO Q1" IN MODO CHE LA SECONDA PROIEZIONE DEL SEGMENTO RISULTI PARALLELA A (A1) OTTENENDO COSÌ Q1" RUOTATO

2. MENTRE Q1" RUOTA RISPETTO A P1", SUL T1 Q1' SI SPOSTA ORIZZONTALMENTE, OTTENENDO COSÌ Q1 TRASLATO

OSSERVAZIONE: COME POSSO TROVARE LA LUNGHEZZA/VERA FORMA DI UNA RETTA?

DEVO RIBALTARE UNA DELLE TRACCE DELLA RETTA STESSA E PROCEDERE COME LA DISTANZA TRA 2 PUNTI.

MODELLO SPAZIALE

2 REALE INCLINAZIONE

PROIEZIONE ORTOGONALE

DEVO FARE IL RIBALTAMENTO DI UNO DEI DUE PUNTI, IN QUESTO CASO DATI DALLE TRACCE DELLA RETTA

1. INDIVIDUO UN'ASSE DI ROTAZIONE SULLA LINEA DI TERRA E RUOTO T₁' FINO ALLA LINEA DI TERRA STESSA, OTTENENDO T₁' RIBALTATO

Esercizio:

Sia assegnata una sfera e un punto P esterno ad essa.Si determini la distanza tra P e la superficie della sfera.

Proiezione ortogonale

1. Determino la distanza PC in vera forma
   1. Individuo un'asse di rotazione in C1 e ruoto P1 in modo che la prima proiezione del segmento risulti parallela a P1C1, ottenendo P1 ruotato
   2. Mentre P1 ruota rispetto a C1, sulla P2 P1 si sposta orizzontalmente, ottenendo cost P1 traslato → (P1C1)^h è la distanza in vera forma di PC
2. Determino la distanza in vera forma tra P e la superficie della sfera
   1. H1^r ribaltato è il punto di intersezione tra P1C1^h e la superficie della sfera → (P1H1^r) è la distanza in vera forma

   [in realtà C1 è il contorno apparente della sfera]

3. Determino la proiezione P2 (H1^r)
   1. Proietto orizzontalmente (H1^r) sulla seconda proiezione di PC
   2. Riporto la seconda proiezione H1^r sulla prima proiezione di PC

2. DISTANZA FRA UN PUNTO P E PIANO α

MODELLO SPAZIALE

1. Determino da P una retta perpendicolare al piano
2. Determino il punto di intersezione fra retta e piano
3. Determino la distanza fra i 2 punti

PROIEZIONE ORTOGONALE

1. Determino τ t.c. τ ⊥ α, τ ∋ P
2. Determino α = a ∩ α
3. 1. Introduco β proiettante t.c. β ⊥ τ, β ⊂ α
   2. Determino s = a ∩ β
   3. Determino Q = τ ∩ s

3) Trovo la vera forma del segmento pα

3.1) Individuo un'asse di rotazione in P e ruoto Q' in modo che la prima proiezione di PQ risulti parallela a T₂', ottenendo Q' ruotato

3.2) Mentre Q' ruota, sul T₂ Q' trasla orizzontalmente, ottenendo Q'' traslato

→ P II (α) II è la vera forma

3) DISTANZA FRA α E β PARALLELI

MODELLO SPAZIALE

1. DETERMINO UNA REITA PERPENDICOLARE AI DUE PIANI
2. DETERMINO I PUNTI DI INTERSEZIONE FRA LA RETTA E I PIANI
3. DETERMINO LA DISTANZA ATTRAVERSO IL SEGMENTO PQ

PROIEZIONE ORTOGONALE

Distanza in vera forma

1. Determino ε ∡ β → le proiezioni della retta sono perpendicolari alle rispettive proiezioni dei piani
2. Determino P ≡ δ∩β, q ≡ δ∩ε
   1. Introduco π₁ proiettante t.c. γ⊥ π₁, γ∈ ε
   2. Determino retta s ≡ β∩γ
   3. Determino retta q ≡ β∩γ
   4. Determino P ≡ s∩q, ε = qδ∪
3. Determino la distanza Pq in vera forma
   1. Individuo un'asse di rotazione in π" e ruoto q₁" in modo che la seconda proiezione del segmento risulti parallela a π₁, ottenendo q₁" ruotato
   2. Mentre q₁" ruota rispetto a π"", su π₁ q₁ si sposta orizzontalmente, ottenendo q₁ traslato → p'(q₁) è la distanza in vera forma

4) DISTANZA FRA UN PUNTO P E UNA RETTA r

MODELLO SPAZIALE

IN GEOMETRIA DESCRITTIVA NON E' POSSIBILE DETERMINARE TALE DISTANZA, ALLA RETTA PERPENDICOLARE A QUELLA DATA. INFATTI NON BASTA UNA COMUNIONE DI PERPENDICOLARITA' TRA RETTE FARO' ALCUNI PASSAGGI:

1. DETERMINO UN PIANO PERPENDICOLARE ALLA RETTA PASSANTE PER P
2. DETERMINO L'INTERSEZIONE RETTA-PIANO
3. DETERMINO LA DISTANZA

PROIEZIONE ORTOGONALE

1. Determino A t.c. A ∈ P₁, 2 ∈ π
   1. Determino retta orizzontale a t.c. π₁ 1 a₁', ∂₁ ⊂ P
   2. Determino A t.c. A ∈ P₁, 2 ∈ π
2. Determino Q = ℓ ∩ α
   1. Introduco β proiettante t.c. β₁ ⊥ π₁, β ⊂ α
   2. Determino S ≡ β ∩ π
   3. Determino Q ≡ ℓ ∩ α
3. Determino la distanza PQ in vera forma
   1. Individuo un'asse di rotazione in P' e ruoto Q' in modo che la prima proiezione del segmento risulti parallela al π12, ottenendo Q₁' ruotato
   2. Mentre Q₁' ruota intorno a P₁, Q₂ si sposta orizzontalmente su π12 ottenendo Q₁" tale che P1 Q₁" è la distanza in vera forma

5) Distanza fra 2 rette parallele

Modello spaziale

Riconduco il problema a uno già visto:

1. Determino un punto su una delle 2 rette
2. Determino la distanza punto-retta

Proiezione ortogonale

1) DETERMINO UN PUNTO P ∈ g

2) DETERMINO LA DISTANZA FRA P E LA RETTA s

2.1) DETERMINO q t.c. q ∈ ℘ P, q ⊥ s

• 2.1.1) DETERMINO UNA RETTA ORIZZONTALE t t.c. α ∥ t, q ∈ ℘ P
• 2.1.2) DETERMINO q t.c. q ∈ ℘ t, q ⊥ s

2.2) DETERMINO q ≅ s ∩ q

• 2.2.1) INTRODUCO β PROIETTANTE t.c. β ⊥ π₁, β ∈ s
• 2.2.2) DETERMINO RETTA ℓ ≅ q ∩ β
• 2.2.3) DETERMINO q ≅ s ∩ q

2.3) DETERMINO LA VERA FORMA DEL SEGMENTO ℘ q₁

• 2.3.1) INDIVIDUO UN ASSE DI ROTAZIONE IN P e FACCIO RUOTARE Q'₁ IN MODO CHE LA PRIMA PROIEZIONE DI ℘ q₁ RISULTI PARALLELA A π₂, OTTENENDO Q'₁ RUOTATO
• 2.3.2) MENTRE q₁ RUOTA, SUL π₂ q₁" TRACCIA ORIZZONTALMENTE, OTTENENDO q₁" TRACCIATO ⟹ P"(Q'₁) È LA VERA FORMA DI ℘ q

6) Distanza fra rette sghembe

Modello spaziale

Le rette sghembe sono rette che non si trovano sullo stesso piano.

Proiezione ortogonale

Riconosco che sono sghembe dal fatto che le intersezioni delle proiezioni, prima e seconda, non corrispondono.

Vera forma