Travi su suolo elastico

ESEMPIO NUMERICO SULLA LUNGHEZZA D'ONDA

Trave di fondazione a travi rovesci

K lega l'abbassamento alla pressione

•Abbiamo trovato la volta scorsa la soluzione di una trave semi illimitata con forza concentrata:

Poi dobbiamo analizzare altri casi:

Se risolviamo questi altri casi noteremo che ci sono dei termini che si ripetono per cui possiamo porre delle simbologie per comodità:

Quindi possiamo scrivere in maniera sintetica:

Trave semi illimitata con coppia ad una estremità

In sostanza otteniamo la soluzione:

Introduco le posizioni fissate prima e ottengo:

Andamenti

Abbiamo una coppia in questo senso

Quindi tendiamo a far sollevare la trave per cui abbiamo un "v" positivo. La rotazione dove applichiamo la coppia non sarà nulla perché la coppia farà anche ruotare quindi partiamo da una tangente non nulla. Abbiamo poi un andamento armonico smorzato.

Abbiamo sempre una coppia che fa sollevare la trave quindi tende le fibre inferiori. Partiamo

quindi da un momento positivo (dal basso). Il taglio nel punto iniziale deve valere zero, per cui la tangente è orizzontale (quindi nulla) e poi abbiamo un andamento armonico smorzato. Partiamo da un momento "mo" perché è la condizione che abbiamo imposto. Il taglio parte da zero. La rotazione parte positiva perché se andassi a calcolare il lavoro del momento (moltiplico il momento per la rotazione), il lavoro deve essere positivo e quindi la rotazione deve andare nella stessa direzione del momento. La derivata della curvatura è la rotazione, per cui parto da una curvatura non nulla perché la curvatura è proporzionale al momento. Sempre con andamento armonico smorzato. Costruisco una tabella con i risultati appena trovati: Trave illimitata con forza concentrata Poiché la trave è illimitata, se applico una forza in quel punto la lunghezza della trave è uguale a destra e a sinistra, per cui il punto nel quale...applico la forza è un punto per il quale passa un asse di simmetria. Questo quindi è un problema simmetrico caricato simmetricamente. Possiamo dunque studiare il sistema a metà e avrò:

Le deformata deve essere simmetrica se c'è una rotazione simmetrica. In questo caso la rotazione da una parte va verso il basso e dall'altra parte verso l'alto quindi la rotazione non ci può essere. Posso dunque inserire un incastro scorrevole per bloccare la rotazione è consentire l'abbassamento:

Vediamo le condizioni al contorno:

Questo potrebbe essere un modo. Ma posso sfruttare anche le due soluzioni trovate prima per la trave semi illimitata. Guardo la struttura come se fosse una sorta di iperstatica e quindi la vado a svincolare riconducendomi ad una isostatica:

Sto usando quindi il metodo delle forze. Dunque devo scrivere l'equazione di congruenza: Vado nella tabella E mi prendo la rotazione data da una coppia e quella data da una forza. Io

devo valutare la rotazione in x=0. In x=0 tutte queste funzioni: La somma delle due rotazioni deve essere uguale a zero per congruenza: Questa è la coppia che si genera nella sezione in cui abbiamo messo l'incastro scorrevole. DIAGRAMMI Nel punto di applicazione della forza (e nulla nel punto di applicazione della forza perché li passa un asse di simmetria) Trave illimitata con coppia concentrata È una trave simmetrica caricata antisimmetricamente. MODO 1: Taglio a metà e metto un vincolo che blocca non le rotazioni ma le traslazioni Impongo le condizioni al contorno Metodo delle forze Metodo delle forze Svincolo studiando il problema in due parti ed imponendo la congruenza: Diagrammi: Abbassamento nullo nella sezione di applicazione del momento perché ci deve essere antisimmetria. Abbiamo una rotazione diversa da zero che segue l'andamento del momento. Andamento armonico smorzato Se applichiamo una coppia la rotazione ha una cuspide perché la

La derivata della rotazione è una curvatura che è proporzionale al momento, quindi ci sarà un salto nel diagramma del momento pari al momento applicato e quindi la curvatura cambia segno dove applico il momento. Se cambia segno nella rotazione ho una pendenza positiva e dall'altra negativa. Poi c'è un andamento armonico smorzato. Il taglio deve essere simmetrico. Possiamo costruire una tabella dove mettiamo insieme tutti i risultati. Analizziamo questo caso: Trave su suolo elastico sulla quale applichiamo 3 forze. Come risolviamo questa trave? Possiamo pensare di applicare le forze una alla volta e poi sommare gli effetti perché è un problema lineare (ipotesi: materiali hanno comportamenti elastico lineare, scriviamo le equazioni di equilibrio in configurazione indeformata, deformazioni piccole). Uso quindi il principio di sovrapposizione degli effetti. Poi ci riconduciamo ai casi notevoli. La posso studiare come una trave illimitata perché la forza ha un effetto

che diventa trascurabile prima della fine della trave: In definitiva disegno e sommo di diagrammi dei momenti: Noi abbiamo studiato la semi illimitata con la forza applicata all'estremità. Potrei inventarmi un modo per spostare la forza? Noi possiamo spostare le forze e inserire le relative coppie solo quando abbiamo elementi rigidi. In questo caso, per ricondurmi ad un caso notevole, posso pensare di attaccare un pezzo di trave fittizia: Nella trave iniziale in A, essendo un estremo libero, il momento ed il taglio valgono zero. Nella nuova trave invece avrò un certo taglio ed un certo momento perché sono vicino al punto di applicazione della forza e quindi la soluzione non si è attenuata abbastanza. A questo punto devo togliere il pezzo di trave ed applicare Ma e Ta cambiati di segno. Adesso ho due schemi che si risolvono: Andamenti Guardo quindi gli andamenti, ho un certo M e un certo T, li vado quindi ad applicare cambiati di segno: Mi riconduco alla traveillimitata con la forza nella sezione generica Andamenti Applico quindi momento è taglio cambiati di segno togliendo il pezzo di trave che avevo aggiunto: (Questo diagramma l'ho preso dal caso dellatrave semi illimitata •ho quindi queste coppie che quando le sommo sono pari a zero (come deve essere•il taglio parte da zero perché quando applico la coppia il taglio è nullo nel punto di estremità Poi risolvo il secondo caso notevole: Applico quindi una forza. Questo taglio è opposto a questo quindi quando li sommo vana zero. A questo punto i 3 diagrammi : Potrei pensare di spezzare la trave, dividerla quindi in due travi, ed una trave di sinistra corta e quella di destralunga, e devo mettere in evidenza le componenti delle azioni interne (M e T&, devo prendere un sistemaequilibrato e poi devo scrivere delle equazioni di congruenza: Quindi la parte corta di sx la devo risolvere imponendo le condizioni al contorno. La parte di destra

La posso risolvere con il caso notevole di trave semi illimitata e devo scrivere poi che abbassamento e rotazione delle due parti sono congruenti.

Ho una trave corta, per trovare la soluzione impongo le condizioni al contorno. 4 condizioni al contorno e 4 costanti (in questo caso C3 e C4 non sono nulle perché la trave è corta).

Qui trovo la trave semiillimitata. Quando uso però la trave semi illimitata poiché il pezzo nero è corto, in B mi troverò altri momenti ed altri tagli. E così via. Diventa un metodo iterativo e mi fermerò quando i valori di momento e taglio cominciano a diventare piccoli, quindi li trascuro, e poi sommo i vari casi.

Se le forze sono più di una uso il principio di sovrapposizione degli effetti quindi faccio il procedimento visto adesso per ciascuna forza.

Io risolvo questa con la trave semi illimitata, qui mi ritrovo taglio e momento non nulli perché sono vicino alla zona di applicazione della forza.

(travi corte &Quindi io applico Ma e Ta cambiati di segno:Poiché il tratto AB è corto l'effetto di Ma mi provoca un momento un B che non è nullo: (analogo il taglio&Io poi devo applicare anche Mb e Tb cambiati di segno quindi li vado a sommare :Quando faccio questa operazione in A io avrò un Ma e un Ta che non sono nulli perché essendo il tratto corto sonovicini al punto di applicazione della forza. Questi a loro volta li vado ad applicare cambaiti di segno:Oggi volta che faccio questo le quantità chiaramente diventano sempre più piccole.Questi schemi di travi su suolo elastico vengono usati non solo sulle travi ma anche per i pali di fondazionequando abbiamo delle forze orizzontali.ESEMPIO PLINTO SU PALO:Questo palo lo posso studiare come una trave susuolo elastico:In sostanza uso poi il momento che esce fuori da questi schemi per armare il palo.Se prendiamo la nostra tabella dei casi notevoli: Queste espressioni valgono

Se passiamo sul lato sinistro e mettiamo un valore negativo in queste funzioni salta fuori qualcosa che non ha senso. Quindi si prende semplicemente il vapore assoluto di x. Cioè si prende la soluzione che abbiamo per x positiva e ribaltarla dall'altra parte rispettando la simmetria.

NUOVO ARGOMENTO

In genere noi abbiamo un solaio caricato con una trave di fondazione. Il modo per studiare questo tipo di problema potremmo pensare di mettere dei vincoli ausiliari che bloccano i movimenti alla base dei pilastri. Questi vincoli mi daranno delle reazioni che vado ad applicare poi cambiati di segno. Queste forze andranno a scaricare sul terreno ma coinvolgeranno la deformazione sia del telaio che delle travi, quindi la trave non è libera di deformarsi come vuole ma è un telaio sopra che, in funzione della sua rigidezza, può influire su come si deforma la trave.

Quindi da questo punto di vista ho un problema dove interagiscono 3 cose:

Nella progettazione

Spesso si fa riferimento a degli schemi limite che fanno riferimento a dei casi estremi, quindi noi andiamo a progettare nei confronti di questi casi estremi con l'idea che il comportamento reale stia all'interno di questi casi estremi.

Quindi ragioniamo su due fronti:

Vediamo nel caso di interazione fondazione/telaio quali possono essere i casi estremi:

Dobbiamo capire come la Rigidezza del telaio influenza il modo di deformarsi del terreno.

Abbiamo 2 possibilità in termini di casi estremi.

Pensiamo che il telaio sia molto rigido rispetto alla trave. O meglio: le travi del telaio nel loro insieme siano molto rigide rispetto alla trave di fondazione.

Ad esempio facciamo finta che questo punto si vuole abbassare:

La trave di fondazione si deforma. Il telaio complessivamente tende a deformarsi così:

• Si deformano prevalentemente le travi rispetto ai pilastri

In sostanza, se la trave di fondazione si vuole abbassare, si deve portare dietro tutte le travi del telaio.