Travi su suolo elastico

Travi su suolo elastico

Rimaniamo nell'ambito dello studio dell'analisi strutturale. Le travi su suolo elastico si studiano tramite una teoria che analizza il comportamento di travi appoggiate in maniera continua su un suolo elastico, che altro non è che un letto di molle. È un modello semplice che si può usare per studiare l'interazione tra fondazione e terreno.

Ipotesi del terreno

Le ipotesi principali riguardano il comportamento del terreno. La trave sarà una trave all'Eulero Bernoulli poggiata sul suolo elastico. Fino a quando le sollecitazioni del terreno rimangono basse (ricordando che il terreno non ha un comportamento elastico), questo metodo ha lo scopo di dare una stima accettabile di quello che succede nelle strutture, senza interessarsi di ciò che accade nel terreno.

Questo metodo in genere è usato per le fondazioni superficiali. Quindi, se abbiamo un plinto appoggiato sul terreno, il terreno reagisce solo a compressione. Dunque, questa ipotesi non rispecchia ciò che succede nella realtà. Ma spesso i carichi verticali in gioco sono così grandi che le sollecitazioni del terreno tendono ad essere tutte di compressione; in altri casi, invece, possiamo aggiustare i nostri calcoli se ci sono delle zone tese, eliminando la reazione del terreno e mantenendola solo nelle parti compresse.

Noi pensiamo che il terreno sia composto da tante molle messe una di fianco all'altra. Quindi, se abbiamo un carico in una zona del terreno, le molle sono indipendenti e solo le molle che sono direttamente caricate si deformano. Chiaramente, questo nella realtà non avviene perché la deformata è discontinua, c'è uno spigolo e quindi non rispetta la continuità del terreno. Quindi, anche nelle zone scariche ma in prossimità della zona caricata ci saranno delle deformazioni.

Si pensa che non ci sia attrito tra terreno e fondazione, quindi non ci sono tensioni orizzontali (cosa che nella realtà potrebbe avvenire).

Modello di comportamento

Tutto questo si traduce in un modello rappresentato come segue: se prendiamo un cubetto di terreno e applichiamo una certa pressione, il cubetto subirà un abbassamento che è legato alla pressione dalla relazione:

Se volessi fare un modello più realistico del terreno: dalla geotecnica sappiamo che caricando un terreno le tensioni che si generano interessano, in profondità, una zona che dipende da quanto è grande la superficie caricata. Se carichiamo una superficie grande, il terreno viene sollecitato per una profondità grande e viceversa. Nel modello di Winkler questa cosa non viene considerata.

In sostanza, vogliamo esprimere il comportamento del terreno tramite un numero che è il coefficiente di Winkler. Tuttavia, nella realtà ci sono diversi aspetti che concorrono nel definire un cedimento. Il nostro obiettivo è usare il modello di Winkler in modo tale che i conti siano il più attendibili possibile, cioè che si avvicinino alla realtà. Per ottenere questo, il coefficiente di Winkler non può essere definito a priori in funzione del tipo di terreno. Dovrebbe essere definito in funzione di tutti i parametri che influenzano il cedimento della fondazione. Quindi, K non è una proprietà del terreno.

Calcolo del coefficiente di Winkler

Il processo più corretto per calcolare K è quello di calcolare il cedimento con un modello complicato, applicare la pressione che penso ci sia sotto la mia fondazione e calcolare il cedimento. Una volta fatto questo posso calcolare. Chiaramente questo non si fa perché se calcolo il cedimento con un metodo complicato, poi è inutile ricalcolarlo con Winkler.

Nella realtà, però, si fa riferimento ai risultati ottenuti con una prova di carico standard. Una volta noto K1 si usano delle formule empiriche che consentono di calcolare K in funzione della forma della fondazione.

Modelli rigidi su suolo elastico

Analizziamo i modelli rigidi su suolo elastico (plinti). Scriviamo un'equazione di equilibrio. Ho l'abbassamento: potremmo calcolare anche la rigidezza nei confronti dell'abbassamento (quindi è una rigidezza alla traslazione, che è la forza da applicare per avere un abbassamento unitario). Basta quindi guardare questa relazione. Posso dire che la rigidezza alla traslazione per questo plinto è: trascurando la deformabilità assiale degli elementi, quali sarebbero i movimenti indipendenti da considerare? Questa molla si allungherà. Quanto vale k11? Che è la forza che mi serve per avere questa deformata. Invece, per allungare la molla devo applicare:

Quindi, cosa succede se il plinto non è caricato in maniera centrata? Abbiamo uno sforzo normale applicato con una certa eccentricità. Se consideriamo la retta d'azione lungo la quale agisce lo sforzo normale, per avere equilibrio la risultante delle pressioni del terreno dovrà passare per questa stessa retta d'azione.

Nella slide il problema viene diviso in due parti perché essendo un blocco rigido sono importanti le risultanti e non conta dove applico effettivamente le forze. Quindi ho uno sforzo normale centrato e un momento. Il momento tenderà a far ruotare il plinto rispetto a questo asse producendo un abbassamento da una parte e un sollevamento dall'altra con un andamento lineare perché il plinto è rigido e quindi non si deforma.

Infine, possiamo dire che la pressione massima secondo il modello alla Winkler è: questa formula l'abbiamo ottenuta sommando l'effetto dello sforzo centrato e del momento e questa formula ha senso fino a quando il terreno non va in trazione perché altrimenti il plinto di solleverebbe.

Valore delle eccentricità

Qual è il valore delle eccentricità tale per cui ottengo un diagramma delle pressioni nel quale sono al limite della decompressione? Cioè, va bene fino a quando rimango sul bordo del nocciolo centrale d'inerzia. Posso ragionare in termini di equilibrio: per avere l'equilibrio la risultante delle pressioni deve essere allineata alla retta di azione di N e deve valere in modulo: il diagramma delle pressioni poi deve avere una forma lineare.

La formula di Navier mi porterebbe ad avere una parte a trazione che non voglio. Poi so che il diagramma ad un certo punto deve andare a zero quindi avrà una forma triangolare. La risultante di un diagramma delle tensioni triangolare cade a: so dove ho la pressione max (a destra).

A questo punto posso fare l'equilibrio per trovare quanto vale la pressione massima sul terreno. Se "N" sta fuori ? quindi ho una eccentricità molto alta? Ex. Plinto con palo. Non c'è più equilibrio e quindi il plinto si ribalta.

Elementi rigidi e deformabili su suolo elastico

Fino ad ora abbiamo parlato di elementi rigidi su suolo elastico. Adesso dobbiamo studiare cosa succede quando una trave che segue la teoria di Eulero Bernoulli, quindi deformabile che si può infettare, è poggiata su un letto di molle.

In questo caso, se noi applichiamo una forza concentrata, la trave si abbasserà, ma essendo un blocco continuo avrà una deformata che dobbiamo calcolare che è legata alla sua rigidezza flessionale e dipende da come interagisce con il terreno.

Teoria di Eulero Bernoulli

Le ipotesi sono le stesse della teoria di Eulero Bernoulli: cioè scriveremo le nostre equazioni in configurazione indeformata. Questa è ancora la trave di Eulero Bernoulli, quindi ancora non abbiamo inserito le molle. Come si studia la trave di Eulero Bernoulli? Si considera una trave, poi un sistema di riferimento x y. Si considera poi il generico abbassamento della trave "vx" e facendo considerazioni sulla compatibilità delle deformazioni, equilibrio e legami costitutivi, si ricava un'equazione differenziale (equazione della linea elastica che ci permette di calcolare l'abbassamento in ogni punto della trave.

Una delle ipotesi che noi facciamo è che se abbiamo una sezione che si è abbassata, essa oltre ad abbassarsi ruota anche. E se consideriamo l'asse della trave, la sezione della trave ruota rimanendo perpendicolare all'asse: quindi noi scriviamo. Mettiamo il meno perché se consideriamo un punto nella configurazione indeformata che è negativo: quando il punto ruota verso destra la y sarà positiva, quindi noi vogliamo poter scrivere uno spostamento in direzione x come rotazione per y, e per fare in modo che una y negativa abbia uno spostamento positivo dobbiamo fare in modo che la rotazione sia negativa e quindi scriviamo "meno derivata".

Analisi dell'equilibrio

Analizziamo l'equilibrio del generico elemento di trave: l'equazione di equilibrio...