Topologia per Analisi 2

ℝ² = ℝ x ℝ = { (x, y) : x ∈ ℝ, y ∈ ℝ } insieme delle coppie ordinate di numeri reali.

È possibile identificare ℝ² con i vettori del piano

In quest caso per vettore v s'intende la coppia (x, y)

Due vettori v₁ = (x₁, y₁) e v₂ = (x₂, y₂) si sommano secondo la regola v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Dato λ ∈ ℝ λ·v = (λx, λy)

Il prodotto scalare v₁·v₂ = x₁·x₂ + y₁ y₂ ∈ ℝ

o ‹v₁, v₂›

o (v₁, v₂)

La norma del vettore v = (x, y) è definita come ||v||² = v·v = √(x² + y²)

Vale la disuguaglianza (Schwartz) |v₁·v₂| ≤ ||v₁|| ||v₂||

- ||v₁|| ||v₂|| ≤ v₁·v₂ ≤ ||v₁|| ||v₂||

Graficamente rappresentiamo il vettore v₂ = (x, y)

ℝ² = ℝ × ℝ = { (x, y) : x ∈ ℝ, y ∈ ℝ } insieme delle coppie ordinate di numeri reali.

È possibile identificare ℝ² con i vettori del piano.

In quel caso per vettore v si intende la coppia (x, y).

Due vettori v₁ = (x₁, y₁) e v₂ = (x₂, y₂) si sommano secondo la regola v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂).

Dato λ ∈ ℝ. λ·v = (λx, λy)

Il prodotto scalare v₁·v₂ = x₁·x₂ + y₁·y₂ ∈ ℝ

○ ⟨v₁, v₂⟩

○ (v₁, v₂)

La norma del vettore v = (x, y) è definita come ||v|| = √v·v = √x² + y²

Vale la disuguaglianza (Schwartz) |v₁·v₂| ≤ ||v₁||||v₂||

-||v₁||||v₂|| ≤ v₁·v₂ ≤ ||v₁||||v₂||

Graficamente rappresentiamo il vettore v = (x, y)

Somma

V = V₁ + V₂

Moltiplicazione per lo scalare

Prodotto scalare

V₁ · V₂ = ||V₁|| · ||V₂|| cos α

(||V|| cos α è la lunghezza della proiezione di V₁ su V₂ con il segno + se 0 ≤ α ≤ π/2 con il segno - altrimenti)

la norma è la lunghezza del vettore

se P₁ (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂) la distanza tra P₁ e P₂ è la lunghezza del vettore V = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)

Topologia

I(0) interno di raggio dell'origine

{ (x,y)∈ℝ² : √x² + y² < }

I(x_o, y_o) ≝ { (x,y)∈ℝ² : √(x-x_o)² + (y-y_o)² < }

A ⊆ ℝ²

(x_o, y_o) è punto interno di A se ∃>0 tale che I(x_o,y_o) ⊂ A

(x_o, y_o) è punto interno di A^c se ∃>0 tale che I(x_o,y_o) ∩ A = ∅

( I(x_o,y_o) ⊊ (ℝ² \ A) )

(x_o, y_o) è punto di frontiera di A se ∀>0 I(x_o,y_o) ∩ A ≠ ∅ e I(x_o,y_o) \ A ≠ ∅

(x_o, y_o) è punto di accumulazione di A se

        ∀δ > 0     &exists; (x_r, y_r) ∈ A         (x_r, y_r) ≠ (x_o, y_o)         (x_r, y_r) ∈ I_δ(x_o, y_o)

1.                2.                3.

(x_o, y_o) è punto isolato di A se (x_o, y_o) ∈ A e (x_o, y_o) non è di accumulazione

^.Punti isolati

A ⊆ ℜ² si dice insieme aperto se ogni punto di A è interno ad A

C ⊆ ℜ² si dice insieme chiuso se è il complemento di un aperto

                                                    e contiene tutti i suoi punti di accumulo.

ℜ² e ∅ sono aperti e chiusi.

Chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme e dei suoi punti d'accumulazione

La chiusura di un insieme è un insieme chiuso perché contiene i suoi punti d'accumulazione

Def. Dominio

D ⊆ ℝ² si dice dominio se è la chiusura di un aperto

Un dominio è per def. chiuso

(x₀, y₀)

{(x, y): √((x-x₀)²+(y-y₀)²) ≤ 1}

{(x, y): √((x-x₀)²+(y-y₀)²) < 1}

Dominio chiusura dell'aperto

A ⊂ ℝ² è limitato se ∃ R > 0 : A ⊂ I_R(0)

V è Direzione se ||V||=1

P₁        P₂

A ⊂ ℝ² è convesso se ∀ (x₁, y₁) ∈ A e ∀ (x₂, y₂) ∈ A

  il segmento che congiunge P₁ e P₂ è contenuto in A

A ⊂ ℝ² insieme aperto si dice connesso

        "APERO CONNESSO"

Se ogni volta che scelgo due insiemi aperti A_t e A_s tali che A_t ⋃ A_s = A e A_t ∩ A_s = ∅ allora almeno uno dei due è vuoto

A stellato rispetto all’origine se ogni volta che P ∈ A allora tale il segmento OP è contenuto in A

ℝⁿ = {(x₁, ..., x_n) : x_i ∈ ℝ V i = 1...n }

δ > 0 I_δ(0):{(x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ: √( ∑_i=1ⁿ x_i²) < δ } punti del'intorno dell’originemeno di δ

A \subseteq \mathbb{R}^2 \quad f : A \rightarrow \mathbb{R}

f(x,y)

f(x,y) = x + y \quad \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}

1. f(x,y) = \frac{1}{x} + y \quad x \neq 0 \quad \mathbb{R}^2 \setminus \{ x = 0 \} \rightarrow \mathbb{R}
2. f(x,y) = \log(x \cdot y) \quad xy > 0

x > 0 \cup y > 0

x < 0 \cup y < 0

\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = l \in \mathbb{R} \quad \text{se} \

\forall \epsilon > 0 \exists \sigma > 0 \quad \text{tale che} \quad \forall(x,y) \in A \cap I_{\sigma}(x_0,y_0) \quad (x,y) \neq (x_0,y_0)

|f(x,y) - l| < \epsilon

Se (x₀, y₀) ϵ A ed è pto di accumulazione di A

allora f si dice continua in (x₀, y₀) se

lim (x, y) → (x₀, y₀) f(x, y) = f(x₀, y₀)

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ (x, y) ϵ I_δ(x₀, y₀ ) ∩ A allora

|f(x, y) - f(x₀, y₀)| < ε

Unità del Limite

Operasi:

1. permanenza del segno

scrivo lim (x, y) → (x₀, y₀) f(x, y) = +∞ (-∞)

∀ M > 0 ∃ δ > 0 : ∀ (x, y) ϵ I_δ(x₀, y₀) ∩ A e (x, y) ≠ (x₀, y₀) si ha

f(x, y) > M

(< -M)

Se

A ⊂ ℝ²

e B ⊂ ℝ è il codominio di f

sup B ≡ sup_A f max B ≡ max_A f (massimo di f)

inf B ≡ inf_A f min B ≡ min_A f (minimo di f)

T di Weierstrass

f continua in K compatto (K ⊆ ℝ² chiuso e limitato)

ammette max e min

D ≡ Dominio convesso (chiusura di aperto convesso)

T valori intermedi

lim_y→y0(lim_x→x0 f(x,y)) ≠ lim_x→x0(lim_y→y0 f(x,y))

f(x,y) = {1 se |y| ≤ |x|0 se |y| > |x|

lim_x→0(lim_y→0 f(x,y)) = lim_x→0 1 = 1

lim_y→0(lim_x→0 f(x,y)) = lim_y→0 0 = 0

f(x,y) = {^xy/_x²+y² (x,y) ≠ (0,0)0 in (0,0)

lim_y→0 lim_x→0 ^xy/_x²+y² = lim_y→0 ⁰/_y² = 0

lim_x→0 lim_y→0 ^xy/_x²+y² = lim_x→0 ⁰/_x² = 0

se x=y=t

lim_t→0 ^t2/_2t² = ¹/₂

non è cont. in (0,0)

f(x,y) = x²y/_x⁴+y² (x,y)≠(0,0)

0 (x,y)=(0,0)

non è continua in (0,0) infatti

lim_t→0 t³k/_t⁴+t²k = 0 x=t

y=kt però

lim_t→0 t⁴/_2t⁴ = 1/2 x=t

y=t²

f_x(x,y) =

f_y(x,y)

lim_t→0 f(x₀+h,y) - f(x₀,y)/h

lim_t→0 f(x,y₀+h) - f(x,y₀)/h

Se esistono le derivate parziali in (x₀,y₀) di^o che f è derivabile in (x₀,y₀)

Derivabilità in (x₀,y₀) ≠ Continuità in (x₀,y₀)

E_{s 1} f(x,y) = x²y/_x⁴+y²

E_{s 2} f(x,y) = (x²y/x⁴+y²)² (x,y)≠(0,0)

0 (0,0)

Es 1

f non è continua in (0,0) però

lim_h→0 (f(h,0) - f(0,0))/h = 0

lim_h→0 (f(0,h) - f(0,0))/h = 0 le derivate parziali esistono

Es 2

f non è continua in (0,0) però

lim_h→0 (f(h,0) - f(0,0))/h = 0

lim_h→0 (f(0,h) - f(0,0))/h = 0 le derivate parziali esistono

Assegniato una direzione v∈(v₁, v₂) ||v||=√(v₁² + v₂²) = 1

Si calcola lim_h→0 (f(x₀ + hv₁, y₀ + hv₂) - f(x₀, y₀))/h dice di avere la derivata direzionale nella direzione v

e indica il limite con ∂f(x₀,y₀)/∂v

In particolare se v=(1,0) ∂f/∂v = ∂f/∂x

se v=(0,1) ∂f/∂v = ∂f/∂y

Nell'Es 1

∂f/∂v non esiste in (0,0) se v₁≠0 e v₂≠0 (lim_h→0 (h² v₁ v₂)/(h² v₁² + v₂²) esiste)

quindi f non ha derivate direzionali

Nell'Es 2

∂f/∂v = lim_h→0 (h/h⁵) (v₂ v₂/v₁⁴ + v₂⁴)² = 0 ∀ (v₁,v₂) direzione

quindi f ha anche tutte le derivate direzionali (ma non è continua)

f(hv₁, hv₂)/h = ( ( (v₁)² / (v₁⁴ + v₂⁴) )² ) h⁶/^h5 = (v₁² v₂² / (v₁⁴ + v₂²) )²

Se in un punto (x₀, y₀) f ha le derivate parziali allora

indico con Df(x₀, y₀) il vettore ( ∂f/∂x (x₀, y₀), ∂f/∂y (x₀, y₀) ) che

ha le derivate parziali come componenti.

Df(x₀, y₀) è detto gradiente di f in (x₀, y₀)

Definizione di funzione differenziabile

Aperto

f(x,y): A→ℝ A⊆ℝ² (x₀, y₀)∈A

f è differenziabile in (x₀, y₀) se esistono le derivate parziali in (x₀, y₀) e

lim (h,k)→(0,0)

f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀,y₀) - f_x(x₀,y₀)h - f_y(x₀,y₀)k

√h² + k² = 0

Scrivo g(h, k) = (√h² + k²) * lim

(h,k)→(0,0)

g( h, k)

√h² + k² = 0

Se f è differenziabile in _{(x0, y0)} allora

f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)h - f_y(x₀, y₀)k = o(√(h²+k²))

0 = lim_{(h, k) → (0, 0)} f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) = lim_{(h, k) → (0, 0)} f_x(x₀, y₀)h + f_y(x₀, y₀)k + o(√(h²+k²))

Diff ⇒ continuità

lim_{(h, k) → (0, 0)} f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) - (Df(x₀, y₀), (h, k))_≥0 / √(h²+k²)

x₀+h = x   y₀+k = y   f(x, y) = f(x₀, y₀) + (Df(x₀, y₀), (x-x₀, y-y₀)) + o(√(x-x₀)²+(y-y₀)²)

z = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀) (x-x₀) + f_y(x₀, y₀) (y-y₀)   è detto piano tangente

se x = x₀ y = y₀ allora z = f(x₀, y₀)

in generale   z = ax + by + c   equazione di un piano

(x, y) A

(x, y, z) R³ : (x, y) A, z = f(x, y)

Teorema del differenziale totale

f: A R

A R² A aperto

(x₀, y₀) A

Se esistono le derivate parziali di f in A e sono continue in (x₀, y₀) allora f è differenziabile in

Devo dimostrate:

lim_{(h, k) → (0, 0)} | f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)h - f_y(x₀, y₀)k | /           √(h² + k²) = 0

| f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) - f_x (x₀, y₀)h - f_y (x₀, y₀)k | =

| f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀) + f(x₀ + h, y₀)

     f(x₀, y₀) - f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)h - f_y(x₀, y₀)k |

g(h) = f(x₀ + h, y₀)

g(h) - g(0) = h g'(c_h) = h f_x (x₀ + c_h, y₀)

0 ≤ c_h ≤ h

q(k) = f(x₀ + h, y₀ + k)

q(k) - g(0) = k g'(z_k) = k f_y(x₀ + h, y₀ + z_k)

0 ≤ z_k ≤ k