Topologia, Analisi 2 - Parte 2

Derivate di funzioni composte

f: X → Y

g: Y → ℜ

g(f(x)) è derivabile se (g(f(x)))' = g'(f(x)) f'(x)

Teorema di derivabilità delle funzioni composte

A aperto di ℜ²

• x(t): t ∈ I → ℜ
• y(t): t ∈ I → ℜ

(x(t), y(t)) = P(t) P(t) ∈ A ∀ t ∈ I

Sia f differenziabile in ASiano x(t), y(t) derivabili in I

Allora F(t) è derivabile e

F'(t) = d/dt f(x(t), y(t)) = ∂f/∂x (x(t), y(t)) . x'(t) + ∂f/∂y (x(t), y(t)) . y'(t)

Derivate di funzioni composte

f derivabile

g derivabile

g (f(x)) è derivabile e

(g (f(x)))' = g' (f(x)) f' (x)

Teorema di derivabilità delle funzioni composte

Sia f(x, y)

A aperto di ℝ²

x(t), y(t) due funzioni t.c.

x(t): t ∈ I → ℝ

y(t): t ∈ I → ℝ

(x(t), y(t)) = P(t) P(t) ∈ A ∀ t ∈ I

Sia f differenziabile in A

Siano x(t), y(t) derivabili in I

Allora F(t) è derivabile e

F'(t) = $\frac{d}{dt}$ f(x(t), y(t)) = $\frac{∂f}{∂x}$ (x(t), y(t)). x'(t) + $\frac{∂f}{∂y}$ (x(t), y(t)). y'(t)

Più in generale è possibile dimostrare che se x(t) e y(t) sono

derivabili in t e f(x,y) è differenziabile in (x(t),y(t)) allora

F(t) è derivabile in t e

F'(t) = f_x(x(t),y(t))⋅x'(t) + f_y(x(t),y(t))⋅y'(t)

Dimostrazione

Devo calcolare

lim_h→0 (F(t+h) - F(t)) / h

Valutiamo

F(t+h) - F(t) = f(x(t+h), y(t+h)) - f(x(t), y(t))

Sostituisco

x(t+h) = x1 y(t+h) = y1

x(t) = x y(t) = y

F(t+h) - F(t) = f(x1, y1) - f(x, y)

Dalla differenziabilità si ha

lim_{(h,k)→(0,0)} (f(x+h, y+k) - f(x, y) - f_x(x, y)h - f_y(x, y)k) / √(h² + k²) = 0

Con le sostituzione x1 = x+h y1 = y+k

lim_(x1, y1)→(x, y) (f(x1, y1) - f(x, y) - f_x(x, y)(x1-x) - f_y(x, y)(y1-y)) / √((x1-x)² + (y1-y)²) = 0

f(x_t,y_t) - f(x,y)= f_x(x,y)(x_t-x) + f_y(x,y)(y_t-y) + o(sqrt((x_t-x)²+(y_t-y)²))

x_t = x(t+ Δ) x= x(t)y_t = y(t+ Δ) y= y(t)

f(x(t+ Δ),y(t+ Δ)) - f(x(t),y(t)) = f_x(x(t),y(t))[x(t+ Δ) - x(t)] + f_y(x(t),y(t))[y(t+ Δ) - y(t)] + o(sqrt((x(t+Δ)- x(t))² +(y(t+Δ)- y(t))²)

F(t+ Δ) F(t)

divido per Δ e h -> 0

limh->0F(t+h) - F(t)h= limh->0 ((f_x(x(t),y(t)) [x(t+h)- x(t)] h + f_y(x(t), y(t)) [y(t+h) - y(t)]h

+ lim o (sqrt((x(t+Δ)-x(t))² + (y(t+Δ)-y(t)))²) 1h ->0h Deve dim essere Ø

[ lim o (√... x(t+Δ)- x(t) / h + (√... y(t+Δ) - y(t) / h )²h ->0 = 0

lim (F(t+h)- F(t)) 1 + f_x . x' + f_y . y 'h -> 0 h

f(x,y)=(sinx)e^y

h(t)=t³

g(t)=sint

F(t)=f(h(t),g(t))=sin t³e^sint

F'(t)=(cos t³)3t²e^sint+

sint³e^sintcost

f_x(x,y)=cosxe^y

f_y(x,y)=sinxe^y

h'(t)=3t²

g'(t)=cost

f_x(h(t),g(t))h'(t)+f_y(h(t),g(t))g'(t)=

cos t³e^sint3t²+sint³e^sintcost

(x₀,y₀)

x(t)=x₀+tv₁

y(t)=y₀+tv₂

(v₁,v₂)=V

||V||=1

F(t)=f(x₀+tv₁,y₀+tv₂)

F'(0)=f_x(x₀,y₀)v₁+f_y(x₀,y₀)v₂

-||Df|| ≤ (Df⋅v) ≤ ||Df||

f(x,y)=^x2+y2⁄₂

f_x=x

f_y=y

Df(x,y)=(x,y)

||Df||=√(x²+y²)

(x₀,y₀) ∈ A ⊆ ℝ²

X(t) = x₀ + t v₁

Y(t) = y₀ + t v₂

x(t) + y(t) ∈ ℂ¹(ℝ)

lim_t→0 ^{f(x₀+tv₁,y₀+tv₂)-f(x₀,y₀)}/_t = ∂f/_∂v

Dal Th.d. derivate delle funzioni composte si ha che se f è diff all'ora

∂f/_∂v = f_x(x₀,y₀)v₁+f_y(x₀,y₀)v₂ = (Df⋅v)

Teorema:

f(x,y) con grad. nulle in un aperto connesso A è costante in A

f(x,y) = arctg ^x/_y + arctg^y/_x y≠0 x≠0

f_x = ¹/_{1 + ^x2}/_y² + ¹/_{1 + ^y2}/_x² ( -^y/_x²) = ^y/_y²+x² - ^y/_y²+x² = 0

f_y = 0

f(1,1) = ^π/₂

f(1,-1) = -^π/₂

f(-1,1) = ^π/₂

f(-1,-1) = -^π/₂

A aperti comunque se esistono due insiemi aperti A₁ e A₂ per i quali A = A₁ ∪ A₂ ϕ = A₁ ∩ A₂ allora uno dei due è vuoto (l’altro è tutto A)

Considero (x₀, y₀) ∈ A

A = A₁ ∪ A₂ dove A₁ = {(x, y) ∈ A: f(x, y) ≠ f(x₀, y₀)}

A₂ = {(x, y) ∈ A : f(x, y) = f(x₀, y₀)}

A₂ ≠ ϕ perché contiene (x₀, y₀)

1. f è continua perché è differenziabile. Infatti, visto che f_x, f_y = 0 in A le derivate parziali sono continue => f è diff.

A₁ è aperti perché se (x, y) ∈ A₁ allora dalle continuità di f

e dal th. della perm. del segno ∃ I_g (x, y) tale che

f(x, y) ≠ f(x₀, y₀) in I_g (x, y)

2. Dimostrare che A₂ è aperto

prendo (̄x, ̄y) ∈ A visto che A è aperto ∃ I_g (̄x, ̄y) ⊂ A

considero (x, y) ∈ I_g (̄x, ̄y)

F(t) = f(̄x(1-t) + xt, ̄y(1-t) + yt)

̄x(1-t) + xt ∀ t ∈ [0,1] la parametrizzazione del segmento che congiunge (̄x, ̄y) e (x, y)

F(0)=f(_x̄,_ȳ)=f(x₀,y₀) (x̄,ȳ)∈A₂

F'(t)=f_x(x(t)+x*,y(t)+y*)(x-x̄)+f_y(x(t)+x*,y(t)+y*)(y-ȳ)=0

f'(t)=0 ∀ t∈]0,1[ F è continua in [0,1] e costante in ]0,1[

Quindi tutti i punti di I_δ(x̄,ȳ) appartengono a A₂

infatti

f(x,y)+F(t)=F(0)=f(x₀,y₀)

Allora A₂ è aperto

(ii) A₁∪A₂=A A₁∩A₂=∅ A₁ e A₂ sono aperti

→ uno dei due è vuoto, ma visto che A₂≠∅ allora A₁=∅

f(x,y) ∈ C²(A) in A aperto di R²

(x, y) ∈ A f(x + tλ, y + tκ) (λ, κ) in un intorno di (0, 0) di raggio suff. piccolo

F(t) = f(x + tλ, y + tκ) t ∈ [0, 1]

F(0) = f(x, y) F(1) = f(x + λ, y + κ)

F'^'(tο) = f_x(x + tολ, y + tοκ) λ + f_y(x + tολ, y + tοκ) κ

F'^'(0) = f_x(x, y) λ + f_y(x, y) κ

F'^''(t) = f_xx(x + tλ, y + tκ) λ² + f_yy(x + tλ, y + tκ) κ² =

f_xx(x + tλ, y + tκ) λ² + 2f_xy(x + tλ, y + tκ) λκ + f_yy (x + tλ, y + tκ) κ²

F(t) ∈ C²[0, 1] F(1) = F(0) + F'^'(0) + F'^''(c) /2 c ∈ ]0, 1[

f(x + λ, y + κ) = f(x, y) + f_x(x, y) λ + f_y(x, y) κ +

+ 1/2 [f_xx(x + Cλ, y + Cκ) λ² + 2f_xy(x + Cλ, y + Cκ) λκ + f_yy(x + Cλ, y + Cκ) κ²]

Formula di Taylor (Lagrange)

F. Taylor (Lagrange)

Se f ∈ C²(A)    (x,y) ∈ A    (h,k)^T vicin. (0,0)

f(x+h, y+k) = f(x,y) + f_x (x,y)h + f_y (x,y)k + 1/2 [f_xx h² + 2f_xy hk + f_yy k²]

    Dq . (h, k)    non calcolati in x+ch, y+ck                                                                                                                                                       o < c < 1

(f_xxf_xyf_yxf_yy) = D²f    Matrice Hessiana     (h, k) D²ϕ (h,k)^T

Formula di Taylor (resto di Peano)

Stesse ipotesi:    f ∈ C²_(A) A⊂R²     A Aperto

nel lim ⎡k, k)→(0,0)

f(x+ε, y+k) = f(x,y)+ f_x(x,y)h+ f_y(x,y)k+ 1/2 [r_f(x,y)k² +2f_xy(x,y)hk+f_yy(x,y)k²]+o(h²+k²)]

lim o(h²/k²) = 0(h,k)→(0,0)

Devo dim

che (f_xx(x+ch,y+ck)-f_xx(x,y))l² +(f_yy(x+ch,y+ck)-f_yy(x,y))k² +

+2[(f_xy(x+ch,y+ck)-f_xy(x,y))]hk= o(h²+k²)

Divido per h²+k² e considero lim ⎡(h,k)→(0,0)

lim_{(h,k)→(0,0)} ∣∣∣_{fX(x^'+h,y^'+k)−fX(x^',y^')} ∣∣∣^h2 /_h²+k² = 0

ch→0 se h→0 quindi ∣∣∣_{fX(x^'+h,y^'+k)−fX(x^',y^')} ∣∣∣ → 0

k→0 se k→0

Allo stesso modo per gli altri 2 termini uszo che

∣k^t2/h²+k²∣ ≤ 1 e ∣2lk k /h²+k²∣ ≤ 1

(∣l1−1lX1∣)² = -2 l1k l1 + l²+k² ≥ 0

f(x,y) definita in A ⊆ R²

(x₀,y₀) ∈ A

Def (x₀,y₀) è punto di minimo relativo di f se

∃δ>0 tale che V(x,y) ∈ A ∩ I_δ(x₀,y₀) allora f(x,y) ≥ f(x₀,y₀)

Def (x₀,y₀) è punto di massimo relativo di f se

∃δ>0 tale che V(x,y) ∈ A ∩ I_δ(x₀,y₀) allora f(x,y) ≤ f(x₀,y₀)

Condizione necessaria del I° ordine

Se (x₀,y₀) punto interno ad A è un punto di estremo relativo

allora se esistono le derivate parziali f_x(x₀,y₀) e f_y(x₀,y₀)

sono necessariamente nulle

(x₀,y₀)

f(x,y) = g(x)

A

f(x₀,y₀) = h(y)

Se esiste f_x(x₀,y₀) allora

g' è derivabile in x₀

e g'(x₀)=f_x(x₀,y₀)

lim_h→0 [f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)] / h

lim_h→0 [g(x₀+h) - g(x₀)] / h

Analogamente

f_y(x₀, y₀)=h'(y₀)

x₀ è punto di minimo relativo di g(x)

f(x, y) ≥ f(x₀, x)₀) (in I_g)

f_{x0(x0, y0) (in Ig)}

g''(x) ≥ g'(x₀)

Analogamente y₀ è punto di minimo di h(y), poiché

f(x, y) ≥ f(x₀, x₀) (in I_g)

f_{y0(x0, y0) (in Ig)}

h''(y) ≥ h'(y₀)

Dalle condiz. necessarie al 1° ordine per funzioni di una variabile

g'(x₀) = 0 e h'(x₀) = 0

f''_x(x₀, y₀) f''_y(x₀, y₀)

f(x, y) = x² + y²

f_x = 2x   f_y = 2y

• 2x = 0
• 2y = 0

(0, 0) è punto di minimo ma f non è derivabile in (0, 0)

f(x, y) = √(x²y²)

• f_x = x / √(x²y²)
• f_y = y / √(x²y)

f(x, y) = xy

• f_x = y = 0
• f_y = x = 0

(0, 0) è una sella

Δf

f(0, 0) = 0

• f(x, y) - f(0, 0) > 0   xy > 0

xy > 0   x e y hanno stesso segno

Δf < 0   Δf > 0

Δf > 0   Δf < 0

Condizioni necessarie di II^o ordine

se f ∈ C²(A) (x₀, y₀) punto interno ad A

se (x₀, y₀) è punto di minimo relativo allora

• f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0
• f_xx(x₀, y₀) ≥ 0 ∧ f_yy(x₀, y₀) ≥ 0
• f_xx(x₀, y₀) f_yy(x₀, y₀) - f_xy²(x₀, y₀) > 0 Hessiano non negativo

|_xx ^xy|

|_yx ^yy| = Det D²f = f_xx f_yy - f_xy²

se (x₀, y₀) è punto di massimo relativo allora

• f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0
• f_xx(x₀, y₀) ≤ 0 ∧ f_yy(x₀, y₀) ≤ 0
• f_xx(x₀, y₀) f_yy(x₀, y₀) - f_xy²(x₀, y₀) > 0 Hessiano non negativo

|_xx ^xy|

|_yx ^yy| = Det D²f = f_xx f_yy - f_xy²

f(x,y) = x y

f_x = y

f_xx = 0

f_xy = 1

f_y = x

f_yy = 0

f_yx = 1

0 - (1)² = -1 < 0

(x₀, y₀) punto interno ad A

Condiz. suff. di II ordine

• f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0
• f_xx(x₀, y₀) > 0
• f_yy(x₀, y₀) > 0

=> (x₀, y₀) è punto di minimo relativo

• f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0
• f_xx(x₀, y₀) < 0
• f_yy(x₀, y₀) < 0

=> (x₀, y₀) è punto di massimo relativo

• f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0

=> (x₀, y₀) è punto di sella

Hf > 0

Hf < 0

Hf = 0

f(x,y) = x⁴ + y⁴

Df = (0,0)

_fx = 0 _fy = 0

(4x³ = 0 (4y³ = 0)

= (0,0)

fxx = 12x²

fxy = 0

fyy = 12y²

Hf(0,0) = 0

(0,0) punti di minimo relativo

Hf(0,0) = 0

f(x,y) = -x⁴ - y⁴

(0,0) è punti di massimo relativo

Hf(0,0) = 0

f(x,y) = x⁴ - y⁴

_fx = 4x³

_fy = -4y³

(0,0) è l'unico punto critico; Df = (0,0)

fxx = 12x²

fxy = 0

fyy = -12y²

Hf = -144 x²y²

Hf(0,0) = 0

Df = f(x,y) - f(0,0) = x⁴ - y⁴ > 0

x⁴ > y⁴

x² > y² |x| > |y|

f(x,0) = g(x) = x⁴ ha un minimo in 0

f(0,y) = h(x) = -y⁴ ha un max in 0