Topologia in R^n

R

0 0

ˆ ||x|| |x| → ⇐⇒ {x ∈ | |x−x |

n = 1, = valore assoluto B(x , r) = < r}

R

0 0

x 0 n

−

x r P x + r R

0 0

ˆ 2

n = 2, in R p

2 2 2

{(x, ∈ | − −

B((x , y ), r) = y) (x x ) + (y y ) < r}

R

0 0 0 0

2 2 2

− −

=⇒ (x x ) + (y y ) < r

0 0

Tutti i èunti interni esclusa la circonferenza stessa

y

2

y

0 P 0

1 x x

0

−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

ˆ 3

m = 3, in R p

3 2 2 2

{(x, ∈ | − − −

B((x , y , z ), r) = y, z) (x x ) + (y y ) + (z z ) <

R

0 0 0 0 0 0

r}

Punti interni alla sfera esclusa la sfera stessa

2

1

0

z −2

−1 −2 0

0 x

2

2

y

1.2 Definizione

n

≤

Sia A , x si dice Punto di Accumulazione se

R 0 \

∀r \ {x }) → ̸ ∅

> 0, (B(x , r) (intorno bucato) A =

0 0

∈

Attenzione Non è detto che x A

0

2

⊂ ∈ ∀r

Es. A : (0, 2) , x = 0 / A, > 0

R 0

T

\ {0}) ̸ ∅, ∀r

(B(0, r) A = > 0 =⇒ 0 è punto di accumulazione

1.3 Definizione

n

⊂ ∃M | ||x||M, ∀x ∈

A si dice Limitato se 0 A

R n

⊆ {x ∈ | ||x|| ≤ }

A B(o, M ) = M

R y B(0, M )

1 A x

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

−1 3

1.4 Definizione

n

⊆

A si dice Aperto se

R ∀x ∈ ∃r | ⊆

A, > 0 B(x , r) A

0 0

Es. n

∈ ≥

1. Fondamentale: B(z, R), z , R è un aperto ed è limitato

R

≥

n 2 − ||x − ||x − −

r = R z|| =⇒ z|| = R r

0 0

ˆ ⊆

B(x , r) B(z, R)?

0

ˆ ∀x ∈ ∈

B(x , r) =⇒ x B(z, R)?

0

||x − ||(x − −

z|| = x ) + (x z)||

0 0 →≤ ||x − || ||x − →< −

Disuguaglianza triangolare x + z|| r + R r = R

0 0

||z|| ∀x ∈

B(z, R) è limitato: M = + R, B(z, R)

||x|| ||x − ≤ ||x − ||z|| → ||z||

= z + z|| z|| + R + = M

3 y B(z, R)

2 R z

r x

1 0

B(x , r)

0 x

−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

4

{(x, | |x| |y|

2. A = y) < 1, < 1}

A è aperto perchè definito da disuguaglianze strette

⊆

A è limitato, es A B(0, 2)

2 y A

1 p 0 x

−2 −1 1 2

−1

−2

p

2 2 2

{(x, ∈ | ≤

3. C = y) x + y 1}

R | ⊆

Non è aperto perchè non è possibile trovare r > 0 B(P , r) C se

0

2 2

∈ {(x, |

P y x + y = 1)}

0 2 y

B(0, r)

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2 5

{(x, | |x| |y| ≤

4. S = y) < 1, 1} −1), |x|

Per i punti: P = (x, 1), P (x, < 1, non è possibile trovare

0 0

| ≤

r > 0 B(P , r) S

0 ⊆

S è limitato, es A B(0, 2)

2 y S

1 p 0 x

−2 −1 1 2

−1

−2

{(x, |

5. Z = y x > 1)}

Z è aperto (definito da disuguaglianze stretto)

|

Z non è limitato, preso M > 0 sia P = (xy) x > 1 e

0

p 2 2

||P || > M = x + y > M

0 2 y

1 p

0 x

−2 −1 1 2

−1

−2

∅

Convenzione (insieme vuoto) è aperto

6

1.4.1 Proprietà

n

1. R

2. L’unione di una famiglia (numerabile o non numerabile) di aperti è un

aperto

3. L’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto

Osservazione Lintersezione infinita di aperti non è detta che sia un aperto

1 ∀n ≥

Es. B(0, ), 1

n

1

T {0}

B(0, ) =

n

1.5 Definizione

n

⊆

C si dice Chiuso se

R n n

| {x ∈ | ∈

C = x / C}è aperto

R R

Es. n

{x ∈ | ||x|| ≤

1. C = 1} = B(0, 1)

R

n =2

n − ⇐⇒

C è aperto C è chiuso

R y

n − C

R 1 C p

0 x

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

−1 7

{(x, | |x| ≤ |y| ≤

2. B = y) 1, 1}

2 \

B è chiuso perchè B è aperto

R 2 y

p

0 B

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2

{(x, | |x| |y| ≤

3. S = y) < 1, 1}

2 \

S non è chiuso perchè S non è aperto

R

2 y S

1 p x

0

−2 −1 1 2

−1

−2

1.5.1 Proprietà

n ∅

1. , sono chiusi

R

2. L’intersezione di una famiglia (numerabile o non numerabile) di chiusi è

un chiuso

3. L’unione di un numero finito di chiusi è un chiuso

8

1.5.2 Proprietà n n ∅

Gli unici sottoinsiemi di sia aperti che chiusi sono e

R R

1.6 Definizione n

⊂

Un sottoinsieme k si dice Compatto se è chiuso e limitato

R

n

{x ∈ | ||x|| ≤

Es. C = 1} è compatto

R n

{w ∈ | ||w − ≤

B(z, R) = z|| R} è compatto

R

1.7 Definizione

n n

⊆ ∈

A , x : 0

R R

ˆ ∃r | ⊂

Se > 0 B(x , r) A, allora x si dice Punto Interno ad A

0 0

ˆ T

∃r | ∅,

Se > 0 B(x , r) A = allora x si dice Punto Esterno ad A

0 0

ˆ Se x non è nè interno nè esterno si dice di Frontiera pre A

0 2 y

Est(A) 1 F r(A) x

−2 −1 1 2

Int(A)

−1

−2

ˆ {punti

Int(A) = interni ad A}

ˆ {punti

Est(A) = esterni ad A}

ˆ {punti

F r(A) = di frontiera per A}

ˆ n S S →

= Int(A) Est(a) F r(A) unione disgiunta

R 9