Teoria per svolgere esercizi dei compitini di Geometria

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA

APPUNTI

GEOMETRIA 1

Ingegneria Civile e Ambientale

Zakaria KHELLOUK

VETTORI:

OPERAZIONI TRA VETTORI +

v w

1 1 ⌋

+

v w=⌊ +

v w

1. Somma/Differenza: (il risultato è un vettore)

2 2

+

v w

3 3

√

| | 2 2 2

| |

2. Norma: (il risultato è uno scalare)

= (w ) +(w ) +(w )

w x y z

[ ]

k ∙ w x

k ∙ w= k ∙ w ∈

3. Prodotto per Scalare: con k R , C

y

k ∙ w z | |

| | | |

¿ + +

v , w>¿ v w v w v w ∨∙cos

4. Prodotto scalare = v ∙∨ w θ

x x y y z z

(Variante del teorema di Carnot)

5. Prodotto Vettoriale:

a. (per facilitare il prodotto vettoriale usiamo la regola di Laplace che

possiamo applicare alle matrici ):

3 ×3

[ ]

₁₁ ₁₃

a a₁₂ a

A= ₂₁ ₂₃

a a₂₂ a

₃₁ ₃₃

a a₃₂ a

| | | | | |

a a a a a a

2 3 4

( )=(−1 ) (−1 ) (−1 )

+ +

det A a ∙ a ∙ a ∙

22 23 21 23 21 22

11 12 13

a a a a a a

32 33 31 33 31 32

[ ]

i j k ( ) ( ) ( )

=i −w − −w + −w

v × w= v v v ∙ v w w j ∙ v w v k ∙ v w v

b. x y z y z y y x z x z x y x y

w w w

x y z

(il risultato è un vettore)

CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOL ARITA

1. Dati due vettori generici: e sono perpendicolari tra loro se:

v w

¿ + + =0

v , w>¿ v w v w v w

x x y y z z

2. Dati due vettori generici: e sono paralleli tra loro se:

v w

=k o viceversa.

v ∙ w

COMBINAZIONE LINEARE

v , … , v

Dati vettori, e il vettore , definiamo come combinazione

u u

1 n

lineare dei

v , … , v

vettori :

1 n ₁+a ₂ ₂+ ₙ ₙ

u=a₁ v v …+a v

LINEARMENTE DIPENDENTI

I vettori v₁, v₂, …, vₙ ∈ V sono linearmente dipendenti ⇔ ∃ a₁, a₂, …, aₙ ∈ K,

non tutti nulli, tali che ₁v ₁+ ₂+…+ ₙ ₙ

=0

a a₂ v a v

LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori v₁, v₂, …, vₙ ∈ V sono linearmente indipendenti ⇔ l’unica soluzione di:

₁ ₁+ ₂+…+ ₙ ₙ

=0

a v a₂ v a v

=a =...=a =0

a

è 1 2 n

TRASPOSTO DI UN VETTORE (NEI CALCOLI NON CAMBIA NIENTE)

[ ]

x t [ ]

= =

v il trasposto diventa il vettore riga e viceversa: v x , y , z

Dato un vettore colonna y

z

RETTE E PIANO

EQUAZIONE DI UN PIANO: + ⃗ =(a

π : ax+by cz+ d=0 e con vettore normale n , b , c)

EQUAZIONE PARAMETRICA DI UNA RETTA

( ) )

A= x , y , z B=(x , y , z

3

Dati 2 punti in , ricaviamo il vettore passante

R 1 1 1 2 2 2

⃗

per i due punti: ₂−x ₁ ₂− ₁ ₂−z ₁)

AB=(x , y y , z

Scriviamo l’equazione parametrica della retta dati due punti: ⃗

(Partendo dal punto A definiamo la retta su tutta la direzione fino a un

AB

punto generico)

P

1.

⃗ ´

∨k =(e

AP=k ∙ d è un parametro che fa scorrere lungo la retta e d è il vettore direttore di AB. d ,l , m)

ab ab ab

N.B. per determinare una retta è necessario avere un Punto e il

a. vettore direzione [ ]

{ [ ] [ ]

=x +

x k ∙e x

x e

a a

= +

: k ∙

ℂ +k

y= y ∙ l y y l

∈

k R e

2. Con altra notazione:

a a

z m

=z +k

z ∙m z

a a

EQUAZIONE CARTESIANA DI UNA RETTA

{ +by +cz +d =0

ax 3

perché una retta in è l’intersezione tra due piani.

R

' ' ' '

+b +c +d =0

a x y z

PASSAGGIO DA EQ. CARTESIANA A PARAMETRICA

{ +cz +d=0

ax+ by

r : ' ' ' '

+b =0

a x y+ c z+ d

…poniamo la variabile che compare più volte in entrambe le equazioni pari a

un determinato parametro.

ESEMPIO: { +2 +4=0

x y−3 z

s: +z−4=0

x−2 y

Per evitare calcoli complessi e perdersi, possiamo applicare il seguente

ragionamento: =( ) =( )

⃗

ń 1,2 ,−3 e n 1 ,−2,1

1 2

possiamo usare il prodotto vettoriale per ricavare il vettore direzione della retta s.

= ⃗

d ń × n

s 1 2

REGOLA DI LAPLACE

(per facilitare il prodotto vettoriale usiamo la regola di Laplace che possiamo

applicare alle matrici ):

3 ×3 [ ]

₁₁ ₁₃

a a₁₂ a

A= ₂₁ ₂₃

a a₂₂ a

₃₁ ₃₃

a a₃₂ a

| | | | | |

a a a a a a

2 3 4

( )=(−1 ) (−1 ) (−1 )

+ +

det A a ∙ a ∙ a ∙

22 23 21 23 21 22

11 12 13

a a a a a a

32 33 31 33 31 32

N.B. Ricorda che, se inizi con la prima o la terza colonna, o la prima

riga o la terza riga, i segni sono (+; -; +) invece se inizi dalla seconda

colonna o riga i segni sono (-; +; -).

Applichiamo la regola di Laplace:

[ ]

i j k =(−4 )=(1,1

= ⃗ =

d ń × n ,−4 ,−4 ,1)

−3

1 2

s 1 2 −2

1 1

…possiamo moltiplicare e dividere il vettore direzione per un qualsiasi scalare

λ.

Dato un punto ricavato dalla retta in forma cartesiana .

P=(0,2 ,0)

Come faccio a ricavarlo?

{ +2 +4=0

x y−3 z uso la sottrazione in colonna tra 2 piani:

+z−4=0

x−2 y ( ) ( ) (−3 ) ( )

+ + + + =0

x+ x 2 y−2 y z z 4−4

−2

2 x z=0 quindi: x= z poniamo x=0 e di conseguenza z=0 dopodiché troviamo y=2

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

x

x e 0 1

p

= + = +k

k ∙ ∙

y y l 2 1

p

z m 0 1

z p

PASSGGIO DA EQ. PARAMETRICA A CARTESIANA

Svolgiamo l’operazione inversa alla precedente:

[ ] [ ] [ ]

x 0 1

= +k ∙

y 2 1

z 0 1

{ { {

=k

x=0+ k ∙ 1 x x=k { −2 +2=0

x y

¿ =