Teoria di base - Geometria

Geometria

Teoria di base

Capitolo 1

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: (v ∙ w) ≤ (v∙v)(w∙w)

2

• Diseguaglianza Triangolare: |v+w|≤|v|+|w|

• Angolo tra vettori: θ=arccos[(v∙w) / |v||w|]

• Indipendenza lineare: S è linearmente indipendente se genera 0 in maniera unica

• }

Base: un insieme S={s ,s ,s di vettori in V è una base per V se S genera ogni vettore di V in modo univoco

• 1 … k

Capitolo 3

Spazio Vettoriale: un insieme non vuoto di vettori con una struttura algebrica, ha due operazioni (+, *λ)

• Sottospazio Vettoriale: W è un S.V. se soddisfa gli assiomi di chiusura e contiene lo zero

• Dimensione: la dimensione di V è la cardinalità di una base di V

• Base: un sottoinsieme S di V è una base per V se S è linearmente indipendente e la cardinalità di S è uguale a dimV

• Spazio Euclideo: un insieme non vuoto con una struttura algebrica, ha tre operazioni (+, *λ,•)

• Complemento ortogonale: dato un sottoinsieme finito S di V, è l’insieme dei vettori perpendicolari ai vettori di S

• ⟂

® },

S={s ,s ,s S ={vÎV | (v, s )=(v,s )=(v,s )=0}

1 … k 1 … k

® Se S è generato da una base, S=Span(s), controllo solo che (v,s)=0

⟂

® Dato V spazio euclideo e S V, dimV=dimS + dimS

Í

Capitolo 4 – Applicazioni Lineari

Applicazione Lineare: una funzione tra due spazi vettoriali tale che T(v)+T(w)=T(v+w) e λT(v)=T(λv)

• ® Se T è un’applicazione lineare T(0)=0

® ®

T: A B

Immagine: Im(T)={bÎB |$aÎA con T(a)=b} B

• Í

® L’Immagine di T è un sottospazio vettoriale

Fibra: bÎB, T (b)= )={aÎA | T(a)=b} A

-1

• Í

Nucleo: fibra su 0, b=0, Ker(T)= T (0)= )={aÎA | T(a)=0} A

-1

• Í

® Il Nucleo di T è un sottospazio vettoriale

Nullità di T: N(T)= dimKer(T)

• Rango di T: Rg(T)= dimIm(T)

• Teorema Nullità + Rango: dimV=dimKer(T)+dimIm(T)= N(T) + Rg(T)

• Applicazioni Ortogonali: (v,w)=( T(v),T(w)), Ker(T)={0}, conservano lunghezze e angoli

• Û Æ Û

Applicazioni Iniettive: T è iniettiva Ker(T)= se S è lin. Indipendente anche T(S)

• Applicazioni Invertibili: Se T, lineare, è invertibile allora T è lineare

-1

• ®

Teorema: T: V W

• ® Se T è iniettiva, allora dimV≤dimW

® ³

Se T è suriettiva, allora dimV dimW

® Se T è biunivoca, allora dimV=dimW

Classificazione Applicazioni Lineari

Applicazioni lineari: T è un’applicazione lineare se T(v)+T(w)=T(v+w) e λT(v)=T(λv), in particolare T(0)=0

Applicazioni Ortogonali: (v,w)=( T(v),T(w)), Ker(T)={0}, conservano lunghezze e angoli

• Applicazioni Iniettive: Ker(T)={0}

• Applicazioni Suriettive: dimIm(T)=dimC

• Applicazioni Invertibili: Ker(T)={0} e dimIm(T)=dimC

•

Gruppi di Applicazioni Lineari:

Omomorfismi: Hom (V,W)={applicazioni lineari da V in W}, è uno spazio vettoriale

• Endomorfismi: End(V,V)={applicazioni lineari da V in V}, è una R-algebra

• Gruppo Lineare Generale: Gl(V)={applicazioni invertibili in V}, non è un sottospazio vettoriale

• Gruppo Ortogonale: O(V)={applicazioni ortogonali in V, spazio euclideo}, non è un sottospazio vettoriale

•

Endomorfismi di V

Esiste una funzione da R in End(V) che associa ad ogni numero reale l’omotetia corrispondente. Questa funzione è iniettiva,

quindi possiamo identificare R con il sottoinsieme di End(V) dato dalle omotetie.

Valgono le seguenti proprietà:

® la somma e la moltiplicazione di End(V) ristrette ad R sono le operazioni usuali.

® la moltiplicazione di un elemento T di End(V) per uno scalare è uguale alla composizione di T con l’omotetia

λ

corrispondente a λ.

® le omotetie sono il centro di End(V)

Dunque, valgono le due affermazioni seguenti:

1. le omotetie commutano con tutti gli elementi di End(V), ovvero data un’omotetia e un elemento qualunque T di

λ

End(V), vale = T

λT λ;

2. dato un elemento T di End(V) che non è un’omotetia, esiste almeno un altro elemento S di End(V) che non commuta

con T, ovvero TS ≠ ST.

Capitolo 4 - Matrici

Spazio delle Matrici: Mat(m,n) con la somma e la moltiplicazione per uno scalare è uno spazio vettoriale

• Base delle Matrici mxn: ha cardinalità mxn ed è formata da tutte le matrici E , con 1 in ij e tutti 0

• ij

Prodotto Riga per Colonna: data A e B posso fare il prodot