Teoria Geometria e algebra lineare [5/5]

Il sistema

{ax + by + c = 0

{ax + by + c = 0

è in criterio di Cramer

se il n. rale ac ≠ 0. In questo caso il

sistema ammette un'unica soluzione e quindi le

rette risultano incidenti.

Se ac = 0 allora:

(ka₁ + b₁ = c)

• 1 ⇒ r//s e coincidenti (r=s)
• 2 ⇒ r//s e distinte

In entrambi i casi |ac| = 0 ⇔ r//s

cioè a2 + b₁ + c = 0 // a2 + b₁ + c = 0 con a

stessa coppia di parametri (−b, a) > k ∈ R

FASCIO PROPRIO DI RETTE

È la rappresentazione

simultanea di tutte le rette del piano passanti

per un punto (x₀, y₀) del tipo

• a (x x₀) + b (y y₀) = 0 dve le scelte dei
• parametri direttori (−b, a) oppure (b, −a)
• con unica esclusione

(a, b) ≠ (0,0)

che è equivalente al _{za − x0}/_l = _{yb − y0}/_m con (l m)

Si può usare anche la forma esplicita

y y0 = m (x x)

che esclude le rette parallèle

all'asse delle ordinate.

• RETE PERPENDICOLARI Sono ad ad rehta ad a ad . altrimi obettivi : q ala q b c det F = ₁ ^c HT cos i = 0 o anche a b e ad ade = 0
• DISTANZE NEL PIANO d(A,B) = lABl ₂ ^{/ (z₂ - z₁)2 + (y₂ - y₁)2}

Ankeet brendo per cesso quni ono da khereno ke z ehekdat enempa

Seeno P en ponto C ad (a, b)

1. direttri: il: na eltere

mi : { x - =. = nat ebt}

si sostitino ad ed e da ecsuina di. H eon Os x_o + et_t, y - t(t) esuino a (_2o + et_t) + b(y_y+bt) + c = 0 e nuolvo pur τ hrerere de nelbro di t

• τ = -_{a 2o + bye + c} / a₂ + b₂

Si mitngo on ad corenehe di. H (_xo + _eth + yt_o - d(t)

d(P,H) lrad g+ τh z_t)² + (gy_o + t_h - gy) = HH

e = -d_{2 et} + (_{b tk})_HH a b_d = l_tk -+ b gora ² + b ^e huso

g = - a_{2 yb} + c l ₂ + _{b kuse 22 ^{b 2 ril - a a} g ide} lC G>

1. Rette Complamari e Sghembe

2 rette non complanari se esiste un piano che le contenga. Se non esiste, allora sono sghembe. Se 2 rette sono complanari possono essere incidenti o parallele.

Rette sghembe non hanno parametri direzioni proporzionali.

2 rette sono complanari se _v × _u ⋅ _w = 0

2 rette sono sghembe se _v × _u ⋅ _w ≠ 0

Dove _u è un rappresentante del segmenti AB (^A e ^B ∈ ^s), _v è vettore parallelo alla retta ^r, _w vettore parallelo alla retta ^s.

Angoli tra Rette nello Spazio e tra Piani

_n parametri direzioni: t, r _v parametri direzioni: t, s

cos α = (_n ⋅ _v) / |_n| |_v|

^r ⊥ ^s ⇔ _n ⊥ _v ⇔ _n ⋅ _v = 0

π: ax + by + cz + d = 0, ha _n () come parametri direzioni del piano π (un vettore non nullo perpendicolare al piano π)