Teoria Geometria e algebra lineare [3/5]

Vettori Lin. Indip.

Siano \( \overline{v_1}, \overline{v_2}, \ldots, \overline{v_n} \) vettori

elementi di \( V \); \( v_i \) ess. non lin. indip. se

\( a_1 \overline{v_1} + a_2 \overline{v_2} + \cdots + a_n \overline{v_n} = \overline{0} \Leftrightarrow a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0 \)

\( \overline{w} \) dipende linearmente da \( \overline{v_1}, \overline{v_2}, \overline{v_n} \) se

\( \overline{w} = a_1 \overline{v_1} + a_2 \overline{v_2} + \cdots + a_n \overline{v_n} \)

Questo significa che \( \overline{w}, \overline{v_1}, \overline{v_2}, \ldots, \overline{v_n} \) sono lin.

dip. tra loro perché

\( a_1 \overline{v_1} + a_2 \overline{v_2} + \cdots + a_n \overline{v_n} - 1 \overline{w} = \overline{0} \)

Base di uno Spazio Vettoriale

Se \( V(K) \) uno spazio vettoriale e siano

\( \overline{v_1}, \overline{v_2}, \ldots, \overline{v_n} \) vettori elementi, questi vettori

formano una base di \( V(K) \) se:

1. sono lin. indipendenti.
2. sono generatori (ogni \( \overline{v} \in V \) è comb. lineare

di questi vettori)

Sia \( B = \{ \overline{v_1}, \overline{v_2}, \ldots, \overline{v_n} \} \) una base di V,

allora ogni vettore si esprime come comb. lin.

di questi vettori ed i coeff. di tale comb. lin.

sono chiamati componenti del vettore rispetto

alla base \( B \)

LEGAME TRA 2 BASI

Siano B₁ = {v₁, v₂, ..., v_n}

B₂ = {u₁, u₂, ..., u_n} basi di V allora si ha che:

• u₁ = a₁₁v₁ + a₁₂v₂ + a₁₃v₃ + ... + a_1nv_n
• u₂ = a₂₁v₁ + a₂₂v₂ + a₂₃v₃ + ... + a_2nv_n
• u_m = a_m1v₁ + a_m2v₂ + a_m3v₃ + ... + a_mnv_n

e viceversa

• v₁ = b₁₁u₁ + b₁₂u₂ + b_1nu_n
• v₂ = b₂₁u₁ + b₂₂u₂ + ... + b_2nu_n
• v_m = b_m1u₁ + b_m2u₂ + ... + b_mnu_n

Si estrapolano 2 matrici quadrate

A = (a_ij) B = (b_ij)

Le relazioni precedenti si possono scrivere come

( v₁ v₂ v_n ) A^t = ( u₁ u₂ u_n ) (u₁ u₂ u_n) B^t = ( v₁ v₂ v_n)

Da qui si dimostra che A e B sono inversi dell’altro.

( u₁ u₂ u_n) = A^t ( v₁ v₂ v_n ) = A^t B^t ( u₁ u₂ u_n )

↔ A^t B^t = I_n → B A = I_n → AB = I_n

VERIFICA DEL SOTTO SPAZIO

Condizione necessaria e sufficiente affinchè W sia sottospazio vettoriale è che soddisfi le proprietà. Si chieda:

1. (v₁, v₂) ∈ K x W² : v₁ + v₂ ∈ W
2. ∀ v ∈ W, ∀ k ∈ K : k v ∈ W

Dalla seconda proprietà consegue che il vettore nullo O deve essere presente in ogni spazio vettoriale (con K = 0).

SOTTOSPAZI NOTEVOLI

Se V spazio vettoriale : V e {O} sono sottospazi vettoriali. Questi non detti impropri. {O} è chiamato sottospazio banale.

Se K è campo infinito l'unico sottospazio un numero finito di elementi è {O}.

Se v₁, v₂, ..., v_n non son basi in W lo non anche in V .

De quest'osservazione deriva che dim W ≤ dim V (dim W = dim V s.s.d W=V)

- dim {O} = 0 per convenzione (O il n. max b. vetoro indipendenti)

f iniettiva ↔ ker f = {ō_V}

1. Se ũ ∈ ker f Supponiamo che ō_V ∈ ker f sempre perché f(ō_V) = ō_U in ogni appl. lineare. Supponiamo che f(ũ) = ō_U e che f è simgleton perché f(ũ₁) = f(ũ₂) → ũ₁ = ũ₂ cioè f(ũ) = f(ō_U) = ō_U → ũ = ō_U
2. Se con ũ ≡ ŵ_U e ker f. Supponiamo che ō_U è l'unico elemento di ker f quindi: ũ = ŵ = ō_U quindi f(ũ) = f(ŵ) → ũ = ŵ

f iniettiva ↔ f conserva la lin. ind.

1. Si di ũ₁, ũ₂, fin., vettori lin. ind. vogliamo dimostrare che f(ũ₁), f(ũ₂), f(ũ_n) nd. cioè che a₁f(ũ₁) + ... a_nf(ũ_n) = ō_U → f(a₁ũ₁ + a₂ũ₂ + ... + a_nf(ũ_n)) = ō_U cioè a₁ũ₁ + a₂ũ₂ + ... a_nf(ũ_n) ∈ ker f che e.cisponte che a₁ = a₂ = ... = a_n = 0
2. → f(a₁ũ₁ + a₂ũ₂+ ... + a_nf(ũ_n)) = ō_U, ũ ∈ ker f, ũ ≠ ō_V a₁ũ₁ + a₂ũ₂ + ... a_nũ_n = ũ ≠ ō_V quando non lin. ind.