Teoria Geometria e algebra lineare [2/5]

GL(n, ℝ) è il gruppo lineare generale

GL(n, ℝ) = {A ∈ ℝ^n×n | A è invertibile}

Proprietà:

1. ∀ A, B, C ∈ GL(n, ℝ) . A (B C) = (A B) C
2. ∀ A ∈ GL(n, ℝ) ∃ A^-1 ∈ GL(n, ℝ) . A A^-1 = A^-1 A = I_n
3. ∀ A ∈ GL(n,ℝ) ∃ A^-1 ∈ GL(n, ℝ) 3° . A A^-1 = A A A

(non vale la proprietà commutativa)

Matrici permutabili

A, B ∈ ℝ^n×n sono permutabili se AB = BA

0_m×m e I_n sono permutabili con qualsiasi matrice

A e A^-1 non permutabili tra loro

Matrice di permutazione

A ∈ ℝ^m×m che ha un elemento = 1 per ogni riga/colonna

P = ( ^{0 1 0 1 0 0 0 0 1} ) con |P| = -1

A = ( ^{a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃} ) → ( ^{a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃} )

PAP^-1 = ( ^{0 1 0 1 0 0 0 0 1} ) = ( ^{0 1 0 1 0 0 0 0 1} )

Matrici ortogonali

A ∈ ℝ^n×n ortogonale se

A A^T = A^T A = I_n

A ortogonale ⇔ (A^T = A^-1 ⇔ A invertibile)

• det(A) = 1 ∨ det(A) = -1 ⇐ A ortogonale

A ∙ A^T = I_n ⇔ |A| |A^T| = 1 |I_n| ⇔

• A² = 1 ⇔ |A| = ±1 ∨ |A| = 1

A ortogonale ⇔

1. Σ_j=1ⁿ(a_ij²) = 1   ∀ i ∈ {1..n}
2. Σ_j=1ⁿ a_ij a_kj = 0   ∀ i, k ∈ {1..n},   i ≠ k

(vale anche per le colonne)

A Èsemp.: È matrice, ortogonali sono quelle di permutazione e (rotazioni)

O(n, &Reals;) È il sottogruppo ortogonale

O(n, &Reals;) := { A ∈ GL(n, &Reals;) | A ortogonale}

• RANGO È l'ordine massimo di minori non nulli estratti da A

A = O_m,n ⇔ r(A) = 0 per convenzione

• MINORE FONDAMENTALE Uno dei minori che determina il rango di A.

(|M| ≠ 0 , M ∈ &Reals;^m con n = r(A))

Eq. lineari equivalenti

S₁ = {(x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ | a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = c}

S₂ = {(x₁, x₂, ... x_n) ∈ Rⁿ | b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_nx_n = d}

S₁ ≠ ∅ non proporzionali

∴ a₁, ..., a_n ∈ R^* ∃? b = ha a₁ = h b₁ ... a_n = b_n d = h c

↔ (u₁, u₂, ..., u_n) ∈ S₁:

a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n = c

→ h(a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n) = hc →

b₁u₁ + b₂u₂ + ... + b_nu_n = d quasi

(u₁, u₂, ..., u_n) ∈ S₂

∴ (v₁, v₂, ..., v_n) ∈ S₂

→ b₁v₁ + b₂v₂ + ... + b_nv_n = d →

→ h(a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n) = hc d

→ a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = c giusto

(v₁, v₂, ... v_n) ∈ S₁

⇒ h = ^d⁄_c ⇒ d = h c (nel caso di eq non singolare)

a_i ≠ 0 ⇒ b_i ≠ 0

∴∃x₂, x₂, ... x_n = 0 ⇒ a₁x₁ = c ⇒

⇒ (x₁, 0, 0, ..., 0) ∈ S₁ ∩ S₂

∴ h₁(x₁c) = d = hc ⇒ h = ^a₁⁄_b1

⇒ b₁ = ha₁

Questo ragionamento è applicabile presente

casi sono, estratto M con |M| ≠ 0 o il

con il capo delle 2 vertici.

Bisogna riscrivere il nuovo sistema con

solo le righe pari in considerazione da M

(queste ultime seri equivalenti a quelle

date inizialmente).

Bisogna trasformare M in forma triangolare

con permutati e la rimanente delle colonne

trasformare non quella delle colonne escluse.

{

^x + ^y + ^z = 20

2^x + ^y + _z¹⁰ = 20

A = (

1 1 1

2 1 7_/10

)

A' = (

4 1 1 20

2 1 7_/10 20

)

r(A) = r(A') ≡ 2

M = (

1 1

2 1

), |M| = -1 ≠ 0

{

^x + ^y + ^z = 20

2^x + ^y + ⁷_/10 = 20

}

cloema 2^a am tricolo

z = ℎ

e nuovo sistema ha una e seconda reiga (le are

le uniche quindi i 2 soterna sono dedenci)

{

^x + ^y = 20 - ℎ

2^x + ^y = 20 - ⁷₁₀ℎ

⟹ {

y = 20 - ℎ

y = 20 - ⁷₁₀ℎ

}

⟺ ⎯ /⎯ = 11/30 ℎ ⟹

{

x = -⁷₃₀ ℎ

y = 20 - ⁷₁₀ ℎ

}

S.- { (^ℎ_ℎ, 20 - ⁷₁₀ ℎ, ℎ) | ℎ ∈ ℝ³ }