Teoria Geometria e algebra lineare [4/5]

Vettori liberi nello spazio

L'insieme di tutti i segmenti orientati nello spazio si denota con S.

La notazione di parallela viene traslata a quella secante al piano.

V₃ è uno spazio vettoriale di dim 3.

∀ v̅ ∈ V₃: ∃ (h, k, l) ∈ ℝ³ t.c. v̅ = h v̅ + k v̅ + l v̅.

Come nelle altre figure geometriche è importante che v̅₁, v̅₂ e v̅₃ vettori lin. indipendenti.

Linearità dipendenza

Nella retta l'unico vettore lin. dep. è il vettore ø.

Nel piano 2 vettori sono lin. dep. se paralleli.

Nello spazio 3 vettori sono lin. dep. se complanari.

B₁ = {v̅} ∋ v̅ ≠ ø

B₂ = {v̅, w̅} s' v̅ ≠ a

B₃ = {v̅, ū, w̅} s' v̅, ū, w̅ non complanari

Da sopra vengono scelte delle bas. convenienti vettori ortonormati. (ortogonali due a due con modulo 1)

B₃ = { i, j, k} con i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

B_x = {v̅}

∀ x ∈ V_x, ∃ h ∈ ℝ : h * v̅ = x̅

Allora h = i + t * 0

B_x = {v̅}

∀ x̅ ∈ V, ∃ (h_x, h_y) ∈ ℝ² s.t. h_x * v̅ + h_y * u̅ = x̅

h_u * v̅ = 0̅ con (h_v, h_u) ≠ (0, 0)

t * v̅ = s * u̅ ⟺ v̅ e u̅ paralleli

PRODOTTI TRA VETTORI

0 ≤ θ ≤ π

Si chiama prodotto scalare il numero reale associato con v̅·u̅ (o solo v̅u̅) dove

v̅·u̅ = ||v̅|| * ||u̅|| * cosθ

Se ||v̅|| = ||u̅|| = 1 allora v̅·u̅ indica cos(θ)

Se ||u̅|| = 1 v̅·u̅ indica la proiezione di un rappresentante di u̅ sulla retta di v̅

Se v̅ = 0̅ oppure u̅ = 0̅, v̅·u̅ = 0 per convenzione

v̅·u̅ = 0 ⟺ {v̅ u̅} ≠ {0̅}, ⇒ v̅ e u̅ sono ortogonali (perpendicolari)

V_i è un sottospazio di V.

Cadrei sempre ò a verificare le proposte di chisura.

f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂) = λ₁v₁ + λ₂v₂ = f (v₁ + v₂)

k f(v₁) = k λ v₁ = λ k v₁ = f (k v)

L(v₁, v₂, …, v _n) ⊆ V_λ però v₁, v₂, …, v_n ∈ V_λ

O più essere sottovolore se in questo caso

K_λ ≠ 0 poichè f non è aggiunare.

Se u è un sottosvolere per un certo scalare v e ei f(u) non paralleli.

• V_λ ∩ V_μ = {o}

Almu) v ∈ V_λ ⇒ f(v) = λv ⇒ 2v = μv ⇒

v ∈ V_μ ⇒ f(v) = μv ⇒ sotto le isstem

⇒ (1-μ) v = 0 ⇒ λ = μ^" v = 0

u ∈ V_λ w ∈ V_μ sono lin. indipendenti.

Se au + bw = 0 ⇒ u = (-b/ a)w → u ∈ V_μ

(f(-b/ a w) = λ (-b/ a w) = (b/ a) (λw) = -b/ a f(v))

• C_Vi ∪ C_Vμ ∪ … ∪ C_Vj. Forma un sottoinsime di relativo lin. indipendenti.

• GEOMETRIA NELLO PIANO
• RIFERIMENTO CARTESIANO Si chiama rifer. cartesiano
  • in un piano R2 = (O, i, j) una coppia ordinata costituita da un punto O detto origine e una base B di dello spazio vettoriale Vn
  NELLA RETTA Si chiama rifer cartesiano in
  • una retta R = (O, i) una coppia ordinata costituita da un punto O detto origine e una base B dello spazio vettoriale V1
• A ciascun punto viene associato un numero reale che è le coordinate del vettore OP rispetto alla base B; il R n è chiamata ascissa del punto
(coordinate)

Sia il vettore che forma la base B: OA = x_1 u * OB = x_2 u*, dove x_1, x_2 sono le ascisse x di OA e OB

AB = OB - OA = x_2 u* - x_1 u* = u* (x_2 - x_1)

• PUNTO MEDIO Nella retta il punto medio M di 2 punti distinti A e B ha come ascissa
• (Osserv.) x - x_1 = x_2 - x ₂ -> x = ^{x_2 + x_1}/₂